等周问题

等周问题，是周长相等的图形中，求面积最大的图形。或者说，给了一条一定长度的绳索，要求你用它围出最大面积的图形。

这是一个有很长历史的极值问题，据说在古希腊就已经提出，一直到18世纪随着数学学科的变分学的成熟，才彻底解决。最后的答案是圆，即等周长的图形中圆是面积最大的图形。

我们在这篇短文，不想追溯这个问题研究的漫长历史，而是用最简单的初等方法来证明问题的结果。

我们先来介绍两个预备结果。

1. 在等周的平面图形中，最大的图形一定是凸的。所谓凸图形，是指在图形中的任何两点连线上的点，都处于图形内。如图1，在凹形区域上边界A、B两点连线，将凹曲线对直线AB做镜面反射，得到一个凸区域，周界的长度没有变，面积却扩大了凹进部分的两倍。就是说任何凹区域都能够在周界不变的条件下使面积扩大。所以定周界最大的图形一定是凸的。

图1

2. 长为a、b的两条线段，当且仅当它们为直角时 形成的三角形面积最大。如图2，当它们形成直角三角形时，面积的二倍是矩形，其余都是平行四边形。显然边长相同的平行四边形中矩形面积最大。

图 2

现在，我们来讨论等周问题本身。如图3，设A、B两点把整个周边二等分，而且我们假定图形是对AB直线是对称的。我们来看直线AB的上半，在周边是任取一点C连接AC与BC。如果角C不是直角，则我们可以沿AB直线移动A或B，使角C成为直角这时边界长度没有变，面积却扩大了。

我们看，如果边界上任何点C都能够使角C为直角，显然边界就是圆。在等边界长度的条件下面积不能再扩大，如果边界上有任一点C使角C不是直角，那么就能够使边界长度不变的情况下使面积扩大。这就是我们的结论。在等周条件下圆面积最大。

图3