在古希腊文明中，欧氏几何是“古希腊奇迹”中一朵盛开的不朽之花。

欧几里得（约公元前330—前275）

古希腊数学家。雅典人。著有《几何原本》13卷，是世界上最早公理化的数学著作。欧几里得在这部书中，总结了前人的生产经验和研究成果，从公理和公设出发，用演绎法叙述几何学，其中还包括整数论的许多成果，如求两整数的最大公约数的“辗转相除法”。

欧几里得《几何原本》的演绎体系，为牛顿的物理学巨著《自然哲学的数学原理》和爱因斯坦的《狭义相对论》和《广义相对论》提供了标准范本。欧几里得把数学上当时零散的、片段的几何集大成于《几何原本》，也给物理学方面牛顿和爱因斯坦的研究树立了榜样。

爱因斯坦指出：“西方科学的发展有两个基础: 希腊哲学家发明的形式逻辑体系(如欧几里得几何)，文艺复兴时期发现通过系统实验找出因果关系的方法。”

 几何学之父——欧几里得

说出来也许会使你感到惊奇：原来，今天你所读的几何课本中的大部分内容，来自2200多年前的一部数学著作——《几何学原本》（又称《几何学原理》）。这部书的作者，便是被誉为“几何学之父”的古希腊著名数学家欧几里得。《几何学原本》在2000多年间，一直被沿用作为几何学的课本。欧几里得是第一个把几何学系统化、条理化、科学化的人。欧几里得是希腊亚历山大大学的数学教授。著名的古希腊学者阿基米德，是他“学生的学生”——卡农是阿基米德的老师，而欧几里得是卡农的老师。

关于欧几里得的生平，没有详细的记载。然而，却流传着许多关于他的有趣的故事……

那时候，人们建造了高大的金字塔，可是谁也不知道金字塔究竟有多高。有人这么说：“要想测量金字塔有多高，比登天还难！”

这话传到欧几里得的耳朵里。他笑着告诉别人：“这有什么难的呢？当你的影子跟你的身体一样长的时候，你去量一下金字塔的影子有多长，那长度便等于金字塔的高度！”

欧几里得的名声越来越大，以至连亚历山大国王多禄米(又译托勒密 Ptolemy)也想赶时髦，学点几何学。于是，国王便把欧几里得请进王宫，讲授几何学。谁知刚学了一点，国王就显得很不耐烦，觉得太吃力了。国王问欧几里得：“学习几何学，有没有便当一点的途径，一学就会？”

欧几里得笑道：“陛下，很抱歉，在学习科学的时候，国王与普通百姓是一样的。科学上没有专供国王行走的捷径（小编注：也可译为：通往几何并没有皇家大道Thereis no royal road to geometry.）。学习几何，人人都要独立思考。就像种庄稼一样，不耕耘，就不会有收获的。”

前来拜欧几里得为师，学习几何的人，越来越多。有的人是来凑热闹的，看到别人学几何，他也学几何。一位学生曾这样问欧几里得：“老师，学习几何会使我得到什么好处？”欧几里得思索了一下，请仆人拿点钱给这位学生，冷冷地说道：“看来，你拿不到钱，是不肯学习几何学的！”

欧几里得沉醉于他的几何学。他对做官、赚钱之类事情，没有多大兴趣。他认为，科学与权势、金钱无缘。正因为这样，他把毕生的精力献给了几何学。如今，人们还把他所研究的几何学称为“欧氏几何”，它是现代几何学的一门学科。

欧几里得（Euclid）生平和故事：

欧几里得是古希腊最负盛名、最有影响的数学家之一。当时古希腊文明的中心，有浓郁的文化气氛。当他还是个十几岁的少年就迫切想进柏拉图学园学习。一天一群年轻人来到雅典城郊外林荫中的柏拉图学园。只见大门紧闭，门口挂着一块木牌，写着：“不懂几何者，不得入内! ”，是当年柏拉图立下的规矩，为让学生们知道他对数学的重视，前来求教的年轻人给闹糊涂了：正是因为我不懂数学，才来这儿求教，如果懂了还来这儿做什么? 正在他们进退两难时，欧几里得果断地推开了学园大门，头也没有回地走了进去。

著作和主要成就(欧几里得几何Euclid geometry)

几何学兴起于公元前7世纪的古埃及，后经古希腊人传到古希腊的都城，又借毕达哥拉斯学派奠基。在欧几里得前，古希腊人已积累了大量几何知识，然而缺乏系统性，多为片断、零碎的知识，对公式和定理没有严格的逻辑论证和说明。

随着农林畜牧业的发展，土地开发增多，把这些几何学知识系统化，已刻不容缓。欧几里得通过早期对柏拉图数学思想的研究，察觉到了几何学理论的发展趋势。他下定决心，要完成这一重任，他不辞辛苦，从爱琴海边的雅典古城，来到尼罗河流域的埃及新埠——亚历山大城，为的是在这座新兴的，但文化蕴藏丰富的异域城市实现初衷。他一边收集数学专著，向学者请教，一边著书立说，终于在公元前300年，几经易稿而最终定形《几何原本》一书。几何学第一次实现了系统化、条理化，而且又孕育出全新的领域——欧几里得几何学（欧氏几何）。欧几里得几何有时单指平面上的几何，即平面几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何。高维的情形请参看欧几里得空间。这是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的巨作，囊括了几何学从公元前7世纪到欧几里得生活时期——前后共400多年的数学发展历史。

《几何原本》大概是亚历山大(Alexandria)大学(有人评其为世界上第一所大学，欧几里得在此当数学教授)的课本。亚历山大大学是希腊文化最后集中的地方，亚历山大大帝自己到过亚历山大，建立了当时北非的大城，靠在地中海。但是他远征到亚洲之后，很快就死了。之后，他的大将托勒密管理当时的埃及区域。托勒密很重视学问，就成立了一个大学，就在他的王宫旁边。

不少人称《几何原本》为数学工作者的“圣经”，在数学史乃至人类思想史上有着无比崇高的地位。著作分13卷，包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个（也有说465个）命题。内容安排上，由浅到深，从简至繁，先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭法等内容。有关穷竭法的讨论，成为近代微积分思想的来源。有八卷讲述几何学，包含了现今中学所学平面几何和立体几何。《几何原本》的意义不限于其内容的重要，或其对定理的出色证明。真正重要的是欧几里得在书中创造的公理化方法。

证明几何命题时，一个命题总是从再前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如“两点确定一条直线”。同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。在一个数学理论系统中，我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。

欧几里得正是先摆出公理、公设、定义作为已知要素，再由简单到复杂地证明一系列命题。论证之精彩，逻辑之周密，令人叹为观止。欧几里得被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人。两千多年来，《几何原本》一直是学习几何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就。包括中国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。

一、《几何原本》五条几何公理

1.过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。

2.线段(有限直线)可以任意地延长。

3.以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆(圆公理)。

4.凡是直角都相等(角公理)。

5.两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小于两个直角，则两直线会在该侧相交。

上述前三条公理是尺规作图公理，用来定直线与圆。第四条不一样，好像是一个未证明的定理，即直角的不变性或空间的齐性 (the homogeneity of space)。它规范了直角，为第五公理铺路。第五条公理称为平行公理(平行公设the parallel axiom)，可以导出命题：通过一个直线外一点，有且仅有一条不与该直线相交(即平行)的直线。许多人尝试用其他公理来证明这条，都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里得几何，说明平行公理是不可证的（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何）。

二、《几何原本》五条一般公理（a,b,c,d皆为正数）

1.跟同一个量相等的两个量相等；即若 a=c 且 b=c，则 a = b（等量代换公理）。

2.等量加等量，其和相等；即若 a=b 且 c=d，则 a+c = b+d（等量加法公理）。

3.等量减等量，其差相等；即若 a=b 且 c=d，则 a-c = b-d（等量减法公理）。

4.完全叠合的两个图形是全等的（移形叠合公理）。

5.全量大於分量，即 a+b＞a（全量大於分量公理）。

三、《几何原本》六个定义

《几何原本》开宗明义是由23个定义出发，接著才是十条几何公理与一般公理。在23个定义中，首六个特别值得提出来讨论：

1.点是没有部分的(A point is that which has no part.)。

点只占有位置而没有大小，这是修正毕氏学派「d>c」的失败而得到的。然而，在谈论线段的长度时，欧氏直接诉诸常识，根本不用这个定义，避开了「由没有长度的点累积成有长度的线段」之困局。

2.线段只有长度而没有宽度(A line is breadless length.)。

3.线的极端是点(The extremities of a line are points.)：线段是由点组成的且只有长度没有面积。

4.直线是其组成点，均匀地直放著的线 (A straight line is a line which liesevenly with the points on itself.)

5.面只有长度与宽度(A suface is that which has length andbreath only.)

6.面的极端是线(The extremities of a surface are lines.)。

4～6表示，面是由线所组成的，没有厚度。因此，面只有面积，而没有体积。

利用23个定义、10条几何公理於一般公理，可以推导出：等腰三角形的正逆定理，三角形三内角和定理。还可推导出泰利斯 (Thales) 基本定理，用同一种正多边形铺地板只有三种样式，正多面体恰好有五种。事实上，这10条公理就是欧式几何的总源头，已经可以推导出整个欧式几何了。

对欧氏建立几何的动机的猜测

(i)对毕氏学派失败的回应。

(ii)为堵住怀疑派 (Sceptics) 与诡辩派 (Sophists) 哲学家之口，因为他们利用「无穷回溯法」(the infinite regress method)而论证说：「为何知道甲？因为乙；为何知道乙？因为丙；……没完没了，所以我们无法知道甲。」。面对挑战，最好的回应方式是去建立让人信服的知识殿堂，欧氏办到了。

(iii)为安置柏拉图的五种正多面体，正多面体是柏拉图的宇宙论之基石。《几何原本》的末册(第13册)以建构这五种正多面体、研究它们的性质为主。欧氏以它们作为总结。

(iv)为体现柏拉图与亚里斯多德对科学与数学的看法，欧氏属柏拉图学派。他为真理而真理，用几何展示逻辑推理的威力，由第一原理（公理）导出几何知识。

其他成就

1.完全数研究

完全数(Perfectnumber)，是特殊的自然数,它所有的真因子（除自身以外的约数）的和，恰好等于它本身。如6=其真因子之和1+2+3，28=其真因子之和1+2+4+7+14。公元前6世纪的毕达哥拉斯最早研究。

欧几里得在《几何原本》中对完全数有探究，他通过2^(n-1)·(2^n-1)的表达式发现头四个完全数。当 n= 2: 2^1(2^2-1) = 6 当 n= 3: 2^2(2^3-1) = 28 当 n= 5: 2^4(2^5-1) = 496 当 n= 7: 2^6(2^7-1) = 8128 。一个偶数是完全数，当且仅当它具有如下形式：2^(n-1).(2^n-1)，此事实的充分性由欧几里得证明，而必要性则由欧拉所证明。

其中2^（n）-1是素数，上面的6和28对应着n=2和3的情况。我们只要找到了一个形如2^（n）-1 的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完全数。手算时代梅森素数使人们更方便的计算完全数，计算机时代的CPU可以更方便的计算。

尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是12p+ 1或36p+ 9的形式，其中p是素数。在10^300以下的自然数中奇完全数是不存在的。

2.欧几里得算法

又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

3.《几何原本》之外的著作

大都失传，有五本著作流传至今，同样包含定义及证明:

a.《已知数》（Data），体例和《原本》前6卷相近，包括94个命题。指出若图形中某些元素已知，则另外一些元素也可以确定。

b.《圆形的分割》（On divisions of figures）论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分，内容与希罗（Heron of Alexandria）的作品相似。

c.《反射光学》（Catoptrics）论述反射光在数学上的理论，尤其论述形在平面及凹镜上的图像。有人置疑是否真正出自欧几里得之手，作者可能是塞翁（Theon of Alexandria）。

d.《现象》（Phenomena）关于球面天文学的论文，现存希腊文本。与奥托吕科斯（Autolycus of Pitane）所写的On the Moving Sphere相似。

e.《光学》（Optics）早期几何光学著作之一。研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角等。认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果。

完善和质疑（非欧几何）

公理化方法渗透于数学各个领域，完成公理化结构的《几何原本》用现代标准衡量，在逻辑的严谨性上存在缺点，如：1.一个公理系统都有若干原始概念(或称不定义概念)，如点、线、面。欧几里得对这些都做了定义，但定义本身含混不清。2.其公理系统也不完备，许多证明不得不借助于直观来完成。3.个别公理不是独立的，即可以由其他公理推出。这些缺陷直到1899年德国数学家希尔伯特的《几何基础》出版时得到完善，建立了欧几里得几何的完整、严谨的希尔伯特公理体系。使欧氏几何成为逻辑结构完善而严谨的几何体系。也标志着欧氏几何完善工作的终结。

《几何原本》里的公理五又称之为平行公设（ParallelPostulate）衍生出“三角形内角和等于180度”的定理。在高斯（F. Gauss）的时代，就备受质疑，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基、匈牙利人波尔约（Bolyai）阐明第五公设只是公理系统的一种可能选择，并非必然的几何真理，即“三角形内角和不一定等于180度”，从而发现非欧几里得的几何学，即“非欧几何”（non-Euclideangeometry）。

几何学远不止欧几里得这么简单，非欧几何才是现代几何学的重点！非欧几何的分类主要分为罗氏几何和黎曼几何。欧氏几何的第五条公设（平行公理）：若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。也可以简单的说：过直线外一点有且只有唯一一条直线与已知直线平行，这是欧氏几何的理论基础。

罗氏几何也称双曲几何，由俄国数学家罗巴切夫斯基创立，它是独立于欧氏几何的公理系统，欧氏几何的第五公设被替代为＂双曲平行公理＂：过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行。在这种公理体系中，通过演绎推理可以证明一系列与欧氏几何不同的命题，例如三角形的内角和小于180度。凡是涉及平行公理的结论，罗氏几何的结论都是不成立的。

黎曼几何：由德国数学家黎曼创立，也称椭圆几何，在这套公理体系下，并不承认平行线的存在，任何一个平面内两条直线一定有交点，认为平面内的直线可以无限延长，但总的长度是有限的，黎曼几何的模型可以看作一个经过改进的球面．随着黎曼几何的发展，发展出许多的数学分支，（代数拓扑学、偏微分方程、多复变函数理论等）成为微分几何的基础，甚至成为广义相对论理论基础。