在1920年，W. Lenz为了探索磁性材料中的有序-无序（磁性）相变，率先提出了今天广为人知、极为简单、且图像清晰的物理模型—Ising模型（Physikalische Zeitschrift，1920, 21, 613-615）。之所以被称为Ising模型，是因为Lenz的学生Ising在五年后精确求解了一维Ising模型(Zeitschrift fur Physik, 1925, 31, 253-258)，发现并不存在有限温度的相变。不管怎样，这个结果并不能简单地推广到高维情况。在1941年，H. A. Kramers和G. H. Wannier根据本征值问题中矩阵的对称性，确定了二维Ising模型中唯一的居里温度（Phys. Rev. 1941, 60, 252-276）。随后， L. Onsager 利用算符代数开创性地获得了二维Ising模型的精确解（Phys. Rev. 1944, 65, 117-149)，通过对偶（dual）变换，固定了相变温度。 在1949年，Onsager的博后B. Kaufman雇用旋子方法重新精确求解了二维Ising模型（Phys. Rev. 1949, 76, 1232-1243）。

自从二维Ising模型被精确求解以来，为了破解三维Ising模型，无数学者前赴后继，熬过了无数的不眠夜晚。不同于二维Ising模型，三维Ising模型没有dual或self-dual对称，因此，临界温度不能靠此对称来确定。十年前，笔者根据Onsager的方法， 获得了在螺旋边界（X方向）和周期性边界（Y和Z方向）下三维Ising模型的精确解 (ChinaXiv：201607.00046）。像这样的边界条件，自然满足没有dual或self-dual对称的要求，通过转移矩阵方法和算符重整化，三维经典Ising模型变化成一维横向场量子Ising模型，这是解决三维Ising模型的关键，三个居里点被确定。该解投了多个国内、国际杂志，均被拒稿。J H H Perk 反复来信提问题（如：高温展开、为什么相变公式没有交换对称、为什么不将转移矩阵方向选在无相互作用方向等问题），我耐心地一一回复。非常幸运地，我的论文于2021年10月1日在期刊Symmetry上发表 (Symmetry 2021, 13, 1837）。其后，Perk写了一篇comment（Symmetry 2023, 15, 374），他根本就没读懂Onsager和我的论文，并误解了文中求和符号（是对格点上自旋组态求和，而不是对格点求和），也不懂在热力学极限和趋于热力学极限的区别。由于我使用的边界条件和以前的工作不一样，高温展开没有可比性，但当温度等于无穷大时（热力学极限），结果一致，与边界条件无关。我立即进行了反驳（Symmetry 2023, 15, 375）。最近，我也采用旋子方法，重新求解了三维Ising模型（DOI: 10.13140/RG.2.2.24642.96968）。当X或Y方向上的相互作用为零时，我的解完全退回到Onsager的结果。请注意Perk已承认他的关于三维Ising模型的工作，包括他在北京师大的学术报告（ppt)，不能重复Onsager的解，因为他的第三维方向上的哈密顿量是错的。

关于三维Ising模型的数值计算，以前的所有工作都是二维时的简单推广，违背了三维Ising模型没有dual或self-dual对称的要求，因此都是错误的。这里我强调一下，我的三个临界温度与以前用唯象方法得到的结果一致（Zandvliet, H. J. W., Saedi, A., & Hoede, C. (2007). The anisotropic 3D Ising model. Phase Transitions, 80(9), 981–986. https://doi.org/10.1080/

01411590701462708），这是因为有三个自发磁化方向。

如对我的论文有疑问，我们可以交流一下（degangzhang@yahoo.com 或

dgzhang@sicnu.edu.cn）。