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具有边界时滞的一维波网络模型的指数稳定性研究

已有 255 次阅读 2025-6-17 10:14 |个人分类:文章推荐|系统分类:博客资讯

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本文聚焦于含边界时滞的一维N根波网络耦合系统的指数镇定问题，旨在解决时滞对系统稳定性产生的负面影响。波网络系统广泛应用于工程（如机械与航空航天）、生物学等领域，但输入时滞会导致控制失效和系统响应滞后。现有研究中，有限维时滞系统的稳定性分析已较为成熟，但无限维波网络系统的延迟控制仍存在挑战，尤其是如何通过控制器设计消除时滞并保证闭环系统的指数稳定性。

Exponential stabilization of 1-D wave network with boundary delay（具有边界时滞的一维波网络模型的指数稳定性研究）

作者：Yaru Xie · Ruiqing Gao

机构：中国民航大学数学系

引用：Xie, Y., Gao, R. Exponential stabilization of 1-D wave network with boundary delay. Control Theory Technol. (2025). https://doi.org/10.1007/s11768-025-00256-8

全文链接：https://rdcu.be/eqBHt

摘要

本文深入探讨了带有边界时滞的一维波网络模型的指数稳定性问题。我们的目标是设计一种通用的控制器策略，确保系统稳定。研究假设系统状态已知。我们采用积分型反馈控制器来实现系统稳定，其中积分核函数作为参数。我们尝试选择一个相应的指数稳定系统作为目标系统，然后构建一个有界可逆变换，以证明目标系统与原始系统之间的等价性，从而消除时间延迟对系统的不利影响。关键在于确定核函数必须满足的方程。在此，我们主要介绍了一种控制器设计方法，用于在这一变换中选择参数函数实现系统指数稳定。

引言

本文所研究的是一类具有边界时滞的 N 根波网络一维耦合系统的指数稳定问题。该系统的动态行为由以下方程决定：

偏微分网络系统在众多领域有着广泛应用，例如工程领域（机械、电子信息、交通和航空航天等）、生物学和医学。系统通过具体或抽象的网络结构传递一个或多个物理量，其复杂的动态行为可由偏微分方程精确描述。此外，在量子力学和神经科学等领域，许多问题都高度依赖于偏微分网络系统的控制技术。此外，很多学者研究了变系数网络系统的节点连接性和控制问题。还有诸如系统的可观性和可控性以及反馈控制等复杂问题也有很多学者给出结果。

时滞是指信号或实体在演变与转化过程中表现出的滞后效应。多数动态系统的演进不仅依赖于当前状态，还与一个或多个过去时刻的状态显著相关。时滞可依据不同标准分类，例如内部与外部时滞，以及固定与可变时滞。在工程系统中，时滞还可能引发控制效能不足、系统响应迟缓等问题。为应对这些挑战，可采用多种策略。例如，在控制系统设计中融入预测性与自适应控制机制，以提前预判并抵消时滞影响。此类应用实例可见于生物学、电气工程及机械工程领域。此外，已有大量文献表明，时间延迟可能会导致系统不稳定。分布式控制系统的反馈环节一旦存在微小延迟，即使原系统为稳定双曲型，也会激发周期性振荡。有学者证明了带有边界或内部反馈延迟项的波动方程的稳定性。针对一端固定、另一端存在时滞边界控制的波动系统，也有学者建立了系统的理论分析框架。

当发生时间延迟时，对于包含此类延迟的有限维系统，已有大量且详尽的研究成果。然而，有限维系统所具有的许多特性无法无缝地转移到无限维系统中。涉及输入时滞和边界控制的应用场景在特定工程领域具有重要的实际意义。本文主要探讨了包含边界输入时滞的无限维波网络系统，特别是时不变类型的延迟。受许研究的启发，我们利用系统反馈等价的概念，设计了一种积分型全状态反馈控制器，也称参数化控制器。控制器设计的核心在于确定参函数满足的方程、连接条件和非局部条件等。因此，我们首先指出了一个指数稳定的耦合系统作为目标系统。随后，我们证明了一种有界可逆变换，有效地将原始系统映射到目标系统。最终，通过利用原始系统与目标系统之间的等价性，我们严格证明了闭环系统的指数稳定性。这样，我们不仅消除了时滞的负面影响，还证明了系统的稳定性。我们希望通过本模型中提出的控制器设计，扩展积分型控制器的应用。我们的目标是开发一种多功能的积分型控制器，能够有效应对无限维系统中的时间延迟和稳定性挑战。

接下来，我们将介绍控制器的设计方法。首先，参考研究思路，我们来介绍辅助函数。

结论

本文研究了一个具有边界延迟的一维（1-D）耦合波网络系统的指数稳定性问题。为了选择合适的核函数，首先需要选择一个指数稳定的目标系统。接下来，构造一个等价的无时滞系统，构建正逆变换，旨在证明该系统与目标系统的等价性。通过这种方法，可以生成反馈控制律。证明过程基于对核函数和参数方程的严格选择，这些选择表明所考虑的系统与目标系统在反馈上是等价的。由于目标系统具有指数稳定性，因此受控系统也继承了这一稳定性特性。这种控制器设计方法确保了闭环系统的稳定性，从而避免了复杂的稳定性分析。本文确定了在没有时间延迟的情况下稳定系统的函数 β_1(s, x)， α_1(s, x)，... ， β_n (s, x)， α_n(s, x)。一旦这些函数被确定，就可以使用等式来获得核函数的解，从而确定反馈控制器。然而，目前尚不清楚这一结果是否适用于所有情况。我们将进一步探讨这一主题，以确定一个通用原则，然后将其应用于更广泛的模型。

作者介绍

Yaru Xie，于2013年获中国民航大学理学院信息与计算科学专业理学学士学位，随后进入天津大学运筹学与控制论专业直博，主攻分布参数系统控制理论研究，于2018年获博士学位。现为中国民航大学理学院教师。她曾参与国家自然科学基金面上项目"具无界观测和控制算子的控制系统若干问题研究"，其研究成果已在Networks and Heterogeneous Media, Journal of Dynamical and Control Systems等期刊发表多篇学术论文。

Ruiqing Gao，本科毕业于淮北师范大学，现于中国民航大学理学院攻读数学硕士学位，主要研究方向为偏微分方程控制理论。她曾在AIMS Mathematics期刊发表文篇。

期刊简介

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Control Theory and Technology (CTT), 中文名《控制理论与技术》, 创刊于2003年，原刊名为Journal of Control Theory and Applications，2014年刊名更改为Control Theory and Technology。由华南理工大学与中国科学院数学与系统科学研究院联合主办，主要报道系统控制科学中具有新观念、新思想的理论研究成果及其在各个领域中的应用。目前被 ESCI (JIF 1.7)、EI、Scopus (CiteScore 3.2)、CSCD、INSPEC、ACM 等众多数据库收录, 并于2013–2018年获得两期中国科技期刊国际影响力提升计划项目资助。2017–2021年连续获得“中国最具国际影响力学术期刊”和“中国国际影响力优秀学术期刊”称号，获得广东省高水平科技期刊建设项目(2021-2024年)，2022-2024年进入中国科协自动化学科领域高质量科技期刊目录。

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