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4.实无限思想的矛盾

一、希尔伯特的无限思想

希尔伯特是人类近代历史上最伟大的数学家之一，他在巴黎第二届国际数学家大会上（1900年）提出了新世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的至高点.对这些问题的研究有力推动了20世纪数学的发展，在世界上产生了深远的影响.希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜，因此希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”，他是天才中的天才.

他对数学界的影响还特别体现在他对无限的认识上，他的无限思想深刻地影响、改变了世界数学发展的进程.在《论无限》那篇文章中有一段激动人心的内容：“自从远古以来，无限问题就比任何其他问题更加激动人的情感.几乎没有任何其他概念如此有成效地刺激着心智.然而也没有任何其他概念比它更加需要阐明”.然而他的无限思想存在着自我矛盾，我们如何去正确认识他的无限思想呢？

关于希尔伯特无限思想的矛盾主要表现在：一方面，他承认实无限的存在（客观存在或逻辑存在）和合法地位，充分肯定了康托尔（Cantor）的实无限理论，指出“任何人都不能把我们从康托尔给我们创造的天堂里驱逐出来”、“尽管如此，无限仍然很可能在我们思维中占有合法的地位，起着一个不可缺少的概念的作用”、“在我看来，这理论是数学天才的最精美的产物，而且是人类纯理智活动的最高成就之一”.另一方面，他又认为我们无法在现实世界中找到无限，我们只能通过有限性才能掌握无限.他认为，“利用纯粹思辨证明空间的无限性的企图中包含着重大的错误”、“前面我们已经看到，不论依靠何种经验、观察和知识，在现实世界中无处能找到无限”.与此同时，希尔伯特又高举数学确定性的大旗，提出“我们必须知道，我们必将知道”，认为通过有限性的方法我们完全能掌握真理.他在文章中指出，“正像对无限小的运算被对有限的运算代替而产生完全相同的结果和导致完全相同的优美的形式关系一样，以无限为基础的演绎法一般地也必须用有限过程来代替，这些过程产生完全相同的结果，也就是说，它们使相同的证明链和获得公式和定理的相同的方法成为可能.”要理解希尔伯特矛盾的无限思想其实也很简单，那就是坚持黑格尔的辩证无限思想.我们知道，黑格尔先生最伟大的贡献是提出了辩证法思想，尤其在数学上提出了“辩证无限”（真无限、潜无限）思想，伟大的革命导师、哲学家恩格斯先生发扬光大了这种辩证无限思想.

希尔伯特无限思想的矛盾主要表现在：一方面，他承认实无限的存在（客观存在或逻辑存在）和合法地位，充分肯定了康托尔（Cantor）的实无限理论，指出“任何人都不能把我们从康托尔给我们创造的天堂里驱逐出来”（[1],p.219）、“尽管如此，无限仍然很可能在我们思维中占有合法的地位，起着一个不可缺少的概念的作用”（[1],p.214）、“在我看来，这理论是数学天才的最精美的产物，而且是人类纯理智活动的最高成就之一”（[1],p.216）.另一方面，他又认为我们无法在现实世界中找到无限，我们只能通过有限性才能掌握无限.他认为，“利用纯粹思辨证明空间的无限性的企图中包含着重大的错误”（[1],p.213-214）、“前面我们已经看到，不论依靠何种经验、观察和知识，在现实世界中无处能找到无限”（[1],p.220）.与此同时，希尔伯特又高举数学确定性的大旗，坚信数学的有机统一，提出“我们必须知道，我们必将知道”，认为通过有限性的方法我们完全能掌握真理.他在文章中指出，“正像对无限小的运算被对有限的运算代替而产生完全相同的结果和导致完全相同的优美的形式关系一样，以无限为基础的演绎法一般地也必须用有限过程来代替，这些过程产生完全相同的结果，也就是说，它们使相同的证明链和获得公式和定理的相同的方法成为可能.”（[1],p.211）所以希尔伯特无限思想的矛盾深刻的体现、反映了主客体间的核心矛盾，即有限无限矛盾.

那么，我们如何来理解他的矛盾的无限思想呢？众所周知希尔伯特坚持用有限主义原则来解决无限问题，作者分析有如下几个原因：首先，他看到了魏尔斯特拉斯用潜无限方法为数学分析奠定了严格而牢固的逻辑基础，解决了由无穷小概念所产生的各种困难，认识到潜无限作为一个有限方法是把握无限的一个很有用、可靠的工具.他在文章指出，“魏尔斯特拉斯的分析确实通过把有关无限大和无限小的陈述归约为【有关】有限量之间的关系【的陈述】而消除了无限大和无限小.”（[1],p.210）

其次，作为康德哲学的忠实信徒，他认为在物理现实世界中无法找到无限，无限是一个作为理性概念存在于经验之外的假象，是某种依靠直觉的东西.他说，“我们也必须认识到，仍旧在演绎法中使用的无限总体意义上的无限仅仅是一种假象而已.”（[1],p.211）因此在他看来，“无限总体”是一个假象、只能作为理念概念出现，实无限不属于可能经验的范畴.正是这种“不可经验性”决定了我们人类认识无限的困难，导致不同学派提出了不同的认识方法、途径，包括唯物的、唯心的.

再者，从艺术角度上看，他也不愿放弃实无限思想，因为他看到了数学分析基础（经魏尔斯特拉斯严格化的基础）、康托尔的无限集合理论的优美之处，看到了“实无限”对数学理论的不可或缺性.他是如此的欣赏数学分析之美，在文中他写到：“在某种意义上，数学分析是有关无限的交响乐.”（[1],p.215）；“尽管如此，无限仍然很可能在我们思维中占有合法的地位，起着一个不可缺少的概念的作用.”（[1],p.214）

最后，在他的思想深处他认为，世界是可以认识的，数学的确定性是一个不可违背的哲学信念.他说：“我的理论的目的在于一劳永逸地建立数学方法的明确可靠性.”（[1],p.211）；“应该看到，作为数学家，我们是站立在精确科学研究的高山之巅.除了义不容辞地担当起这个崇高的职责，我们别无其他选择.”（[2],p.202）纵观希尔伯特的一生，都在致力于寻找数学中的普遍规律（如其对数学科学的诸多重大贡献：不变量理论、几何基础、数论报告、积分方程、数学基础等），坚信数学科学的有机统一性.这种理念必然驱使他寻找掌握无限奥秘的方法；在他看来，这种理念无限是人类可以掌握的，而且已有实例可以佐证（如无穷数列的极限问题）.由于他未能掌握黑格尔的辩证法思想，所以这又必然的让他回归到有限主义（潜无限）的思路上来.

我们知道，黑格尔先生最伟大的贡献是提出了辩证法思想，尤其在数学上提出了“辩证无限”（真无限、潜无限）思想.基于这一思想，黑格尔对“极限”概念进行了正确的哲学阐述，从质量互变规律揭示了数学中的潜无限、真无限思想，有力批判了数学中的形而上学思潮，让我们彻底认清了“极限”的本质，为第二次数学危机的彻底解决提供了可靠的哲学依据.伟大的革命导师、哲学家恩格斯先生发扬光大了这种辩证无限思想.“实无限观”存在不可克服的内在矛盾，总是用有限性、机械性的“方法”去处理、对待一个个“无限性”的客体，从而带来了一个又一个更大、更坏的“矛盾”.第三次数学危机其本质就是“实无限”------这种“穷尽了无限”(穷尽了一个不可穷尽的东西)───-所导致的危机.最大序数悖论、最大基数悖论、罗素悖论都集中体现了“实无限”观的内在矛盾.

无限作为一种存在，不能用一种限制性的概念去定义它，如“固定的无限大”这一概念，无法描述真实的无限客体；一旦给了一个“界限”，这种无限就成为了一种有限.有限制的无限不是真的无限，而是一个有限.“实无限”是这样的一种有限制的无限，“完成的无限”是一个有限制的无限，如最大基数、最大序数、概括原则.

关于实无限思想的内在矛盾，哥德尔不完备性定理自身就是一个完美的证据.哥德尔基于“实无限”的方法论，证明了任何一个形式系统（包含一阶谓词逻辑与初等数论），如果其是自洽的，则必存在一个命题，它在这个形式系统内既不能被证明为真，也不能被证明为假（用哥德尔自身的话讲，就是“不可能给出一个对于它本身的完全的认识论描述”）.这个定理的哲学意义就在于它彻底打碎了希尔伯特建立“具有实无限性质的数学大厦基础”的美梦.因此哥德尔一生中最伟大的发现就是用实无限方法否定了实无限思想，从而彻底地否定了自己.

综上所评，对无限思想进行了全面的分析，认为无限过程可以完成的“实无限”观存在着不可克服的内在矛盾.在哲学、数学层面，黑格尔给出了符合辩证唯物主义思想的“真无限”概念（马克思、恩格斯进一步澄清和发展了这种思想），它集中体现了无限对象内在的本质和联系，这是实无限思想这种较低层次的、形而上学的、主观的唯心主义的无限观所无法相比的，坚持辩证唯物主义无限观，一定会给基础数学的研究带来更加光明的未来.

数学发展史上的三次危机已经说明了上述结论，而集合论发展中所出现的一系列悖论再次佐证了上述论述.如，康托悖论说明，不存在包含一切集合的集合，集合永远处于不断生长之中，这又是一个潜无限概念；抛球问题（引伸的芝诺悖论）说明，那个抛球过程根本不可能完成，而“无限交换悖论”又用“实无限”思想推翻了“希尔伯特旅馆”的可能性.伟大的逻辑学家哥德尔（Godel）用其不完全性定理彻底否定了希尔伯特“实无限性”的纲领，表明事物的发展形态是一种非“实无限”的形态，也即对事物的认识是处于一种不断前进却不能一劳永逸的状态.

凌鄂生先生在《潜无限性造成三次数学危机》一文中指出，“人们企图把矛盾推移到无限远去，这是一种从直觉看来很合理的回避矛盾的方法.但从逻辑上分析的结果是：被设想为不矛盾目标的无限远处也是一个矛盾的陷阱.希氏依然犯了潜无限性毛病.”（参见凌鄂生，1992年，第71页）.也就是说，希尔伯特想抛弃“潜无限”，但最终还是被“潜无限”所困.以罗素（Russell）为代表的逻辑主义派，为解决集合论中的悖论发展他的分支类型论、抓住“恶性循环原则”不放，其实是重新回归到“潜无限”这条道路上来（参见徐利治，2000年，第156-157页）.

上述表明，人们在用“实无限”思想发展数学理论时，出现了一个又一个矛盾，不得不再次回去重新处理一个新的、更大的“潜无限”.

二、历史上数学家、哲学家对“实无限”观的质疑和朴素否定

历史上亚里士多德(Aristotle)是第一个明确地只承认潜无限而反对实无限的学者，而柏拉图（Plato）则是第一个承认实无限而反对潜无限的学者，集合论创始人康托（Cantor）是“实无限”的捍卫者.亚里士多德这样描述他对无限的认识，“因为分割过程永远不会告终（going）；这个事实保证了这种活动存在的潜在性，但并不能保证无限独立地存在”，他又指出，“空间和时间是可以无限地划分的（going）,但并没有被无限地划分开来”（参见朱梧槚，2008年，第203页）.在《物理学》一书中，亚里士多德明确反对有现实的无限,认为无限不能以现实的方式存在，他说：“事物被说成‘存在’，一种指潜能的存在，另一种是指现实的存在.…….现在，如我们已经说过的，量在现实上不是无限的，但分起来却是无限的（驳斥‘不能再分的线’是不难的），因此，只有潜能上的无限.……，但无限不是这样，不会有现实的无限.”（参见亚里士多德，物理学，2016年，第85页）、“总的说来，不可能有感性物体是无限的.”（参见亚里士多德，物理学，2016年，第82页）.他进一步解释了“无限”的含义：“‘无限’的真正涵义正好与平常大家理解的相反，不是‘此外全无’，而是‘此外永有’.”（参见亚里士多德，物理学，2016年，第87页），也就是说，在亚里士多德看来无限是永无止境、不可穿越的.

归纳法从有限到无限，本质上是一种“实无限”思想，但是却是很多哲学家所反对的，他们对归纳法的质疑实际就是对“实无限”观的质疑.比如，康德（Kant）提出“因果律不来自于经验”，反对归纳思想.波普尔（Popper）提出：归纳法不能给人们以未来的必然性知识.休谟（Hume）提出：运用归纳法的正当性永远不能从理性上证明；他在《人性论》中阐述：“由此看来，不但我们的理性不能帮助我们发现原因和结果的最终联系，而且即使在经验给我们指出它们的恒常结合以后，我们也不能凭自己的理性使自己相信，我们为什么把那种经验扩大到我们所观察的那些特殊事例之外.我们只能假设，却永远不能证明，我们所经验过的那些对象必然类似于我们所未曾发现的那些对象”（参见休谟，2015年，第105页）.恩格斯也明确反对“归纳万能”的思想，在《自然辩证法》中，他指出：“给归纳万能论者.我们用世界上的一切归纳法都永远不能把归纳过程弄清楚.只有对这个过程的分析才能做到这一点.------归纳和演绎，正如分析和综合一样，是必然相互联系的.不应当牺牲一个而把另一个捧到天上去，应当把每一个都用到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系、它们的相互补充.------按照归纳派的意见，归纳法是不会出错误的方法.但事实上它是很不中用的，甚至它的似乎是最可靠的结果，每天都被新的发现所推翻”（参见恩格斯，1971年，第206页）；接着他又用这一句话----“只要自然科学在思维着，它的发展形式就是假说”（参见恩格斯，1971年，第218页）----进行了强调.

伟大的数学天才高斯（Gauss）明确反对“实无限”.他在给舒马赫（HeinrichSchumacher）的信件中以十分坚决的口气表明了他的见解:“我反对把无穷量当作一种完成的实体来使用，这在数学中是绝对不允许的，无穷不过是谈及极限时的一种说话方式而已.”伟大的法国数学家、天体力学家、科学哲学家彭加勒（HenriPoincare）先生也明确反对“实无限”.在他所著《科学与方法》一书中，他指出：“…….不存在实（给定的完备的）无穷.康托尔主义者忘记了这一点，他们陷入了矛盾之中.…….像康托尔主义者一样，逻辑斯谛也忘记了这一点，而且碰到了同样的困难.但是，问题是要知道，他们是偶然地走上这条道路呢，还是受到必然性的驱使呢.在我看来，该问题是无可怀疑的；在罗素的逻辑中，对于实无穷的确信是基本的东西.正是这一点，把它与希尔伯特的逻辑区分开来.……”（参见彭加勒，2008年，第148页）.彭加勒先生对康托（Cantor）、罗素的思想进行了深刻的剖析.在《最后的沉思》中他对有限无限矛盾、主客体关系问题进行了深刻的阐述：“存在着一个已知的实在，它在我们的外部，不依赖于我们，但是，我们关于它所能知道的一切都依赖于我们，于是这一切只不过是生成，是一种相继获得的层次.其余的东西是实在的，却是永远不可知的.”（参见彭加勒，2015年，第96-97页）

以布劳威尔（Brouwer）为代表的直觉主义派是“实无限”的坚决反对者，他们认为只有“潜无限”而没有客观存在的真实的无限.以希尔伯特（Hilbert）为代表的形式主义派，承认“无限”的实在性，是典型的“实无限观”的拥护者，但是在具体的应用中又坚持“有限主义原则”，因此又是一个“潜无限”论者.这充分说明希尔伯特在“无限问题”上的矛盾性.他在一次著名的演讲中讲到：“没有任何问题能象无限那样，从来就深深地触动着人们的情感；没有任何观念能象无限那样，曾如此卓有成效地激励着人的理智；也没有任何概念能象无限那样，是如此迫切地需要予以澄清”（参见朱梧槚，1987年，第296页），可见他对“无限”的研究有着无比的热爱和期待.朱梧槚先生更是生动地称之为“幕前的实无限论者”和幕后的“有穷主义者”（参见朱梧槚，2008年，第146页）.

以罗素（Russell）为代表的逻辑主义派，认为能把全部数学化归为逻辑，承认“实无限”观下的无限集理论，确认“实无限”性研究对象在数学领域中的合理性.因此，就无穷观而言，他们是典型的“实无限观”论者（参见朱梧槚，1987年，第271页）.普遍认为，罗素及其追随者明显地承认无限性对象的存在性，但由于罗素为排除集合论中的悖论而发展他的分支类型论，因而在罗素系统中的“实无限性对象”就在不同的类和级中表现为一定的层次结构，这又变相地回归到“潜无限”观念上去.

即是是现代非标准分析的创始人鲁滨逊（Robinson）也反对“实无限”，他认为：无论在现实经验里或理性思维里都不存在实无限，但数学家为了进行数学工作只好把并不存在的东西当作似乎是存在着的那样.

关于“无限之间的大小问题”，黑格尔给出了明确的论述.黑格尔认为无限大小是可比较的，而且只有在真无限的意义上才可以比较大小，即在无限的质的规定性意义上比较大小.仅仅处于比例中的东西不再是定量，而是质的规定，“与此相反，质的东西恰恰只是在它与一个他物相区别那样的东西.因此，那些无限的大小不仅是可以比较的，而且只有作为比较或比例的环节”.（参见黑格尔，1974年，第276页）.比例中的两个无限，是两个无限进展，而它们的变化率就是一种真无限，体现了一个质的大小规定性.

两个不同的无限，除非我们事先知道它们之间的“关系”（即内在的质的联系），否则我们将无法把它们区分.如自然数集N与它的幂集P（N）存在着幂集关系，正是基于这种关系，我们才能区分它们、比较其大小.我们只能在“真无限”的意义上比较不同无限之间的大小，即在不同无限的内在质之间的联系上比较大小；也就是说，有内在联系的不同无限才可以比较大小，没有内在联系的不同无限不可以比较大小，正是基于这一点，我们才认为选择公理的正确性.

维特根斯坦是20世纪最有影响力的哲学家之一，特别是他的数学哲学思想引来了旷日持久的争论.他的无限思想主要是：他反对实无限，反对无限的客观存在，认为无限是一种以法则表示的无限可能性而不是现实性；他反对一个无限集合与自己的子集的一一对应，反对使用康托的“对角线法”，因而是一个典型的潜无限论者.他否认无限的现实性.他认为无限的现实性是不能证实的，符号不能表述无限的现实性.正如他在《数学基础研究》中所说，“它说，实无限根本不能用数学的符号系统来把握，因此它只能被描述出来而不能被表现出来.这种描述或许是以类似于下面这样的方式将它把握住的：对于不能全部拿在手中的大量的东西，人们是通过将其打包放入箱子中的方式将其提起来的.”（参见维特根斯坦，2013年，第210页）

他反对使用康托的“对角线法”，认为有限不能穷尽无限.“因为我们有如下正当的感觉：在能够谈论最后一个东西的地方，在那里便不能出现‘根本没有最后一个东西’.”（参见维特根斯坦，2013年，第207页）；“（请不要忘记：数学家们有关无穷的思考毕竟都是有穷的思考.借此我想说的是这点：它们都有一个尽头.）”（参见维特根斯坦，2013年，第228页）他认为无限、有限是完全不同的范畴，无限是一种内在的规定性.他认为无限不是数字，无限不是一种同有限相竞逐的量的大小，而是一种内在的规定性（即是一种真无限）.他指出，“‘无穷集合’和‘有穷集合’是两个不同的逻辑范畴，可以有意义地表述给一个范畴的东西不能有意义地表述给另一个范畴.”（参见维特根斯坦，2013年，第206页）.以数字π为例，数字π表达了一个与实际的观察相伴随的无限的规律，即数字π是一个规则，这实质上就是黑格尔的“真无限”思想.他认为无限是一种可能性.他认为有限与无限不是量的差别，而是一种逻辑上的区别；无限不是量也不是广延，无限是以法则表示的无限的可能性，无限本身不可比较大小，因而其认为的这种无限可能性实际上是一个变量、一个过程（潜无限）而不是结果.因此，维特根斯坦又是一个潜无限论者.因此，维特根斯坦的无限思想基本遵循了黑格尔的辩证无限思想.他唯一的欠缺是否认无限的客观存在，并与直觉主义者为伍但是又超越了他们.然而，他的无限思想最终没有能够上升到黑格尔辩证无限观的层面，没能把握无限作为“自为无限”---“真无限”的哲学意义.

所谓“无限交换悖论”是指我们使用实无限思想----也就是认为无限过程可以完成的思想，我们可以将两个等价（具有“一一映射”关系）的无限变换成相互不等价的无限.这深刻的揭露了实无限思想存在的内在缺陷，它将矛盾推移到无限远处，可是矛盾从没有消失.也就是说无限过程根本不可能完成，从而进一步佐证了辩证唯物主义无限观（参见ZhangHong,2019）.该悖论具体如下：