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声波运动方程具有伽利略变换的不变性

摘要：简单地验证了声波的波动方程具有伽利略变换下的形式不变性.

关键词：声波;运动学方程;波动方程;伽利略变换不变性

中图分类号：O 313.1  文献标识码：A

波动方程是波的动力学方程，给出了介质内体元的运动和受力的关系，反映了波动传播的机制，波的运动学方程是波动方程的解.由于波动方程在推导过程中利用了牛顿第二定律，因此应当满足伽利略变换.声波波动方程是否具有伽利略变换下的形式不变性，即声波的波动方程是否满足力学相对性原理的问题，文献[1]说：“其实不协变的定律很多，例如：

例1    对于均匀各向同性介质，如果介质是静止的，则声波方程是

 ▽²                                                      

 这里U为波动量，为声速.容易验证此定律不具有伽利略变换下的形式不变性.”

      由于声波的运动动方程由牛顿第二定律得出，如果波动方程不满足伽利略变换，说明经典力学存在着严重的问题，因此研究这个问题意义比较重大.  

     下面我们假定媒质空气静止，声源静止，证明声波的运动学方程和波动方程经伽利略变换形式不变，望力学界的专家学者批评指正.

为简单起见，设介质在惯性系S中静止，波函数用ψ表示，同时假定单频平面声波沿x轴正方向传播，波速为v， 频率为f，声源静止，观测者S′向声源右方运动，速度为u，则声波的运动学方程为 在S系ψ（x，t）=Acos2πf（  ）                                （1）

在S坐标系，波动方程为                                                             （2）

S、S′两坐标系坐标变换关系为

x=x′+ut

t=t′                                                                                                                                  (3)

将式（3）式代入式（1）式，可以得出在S′坐标系声波的运动学方程为

ψ′（x′，t′）=Acos2πf（  ） =  Acos2πf［  ］

=Acos2πf（  ）                    

假如观察者接近波源S是沿着他与波源的连线方向由A向B，则相对运动速度为，周期是，所以，此时接收频率增加；

假如观察者靠近波源S是沿着他与波源连线的方向由B向A，则相对运动速度为，周期是，所以，此时接收频率减小；

令f′=f，v′=v-u，则有ψ′（x′，t′）=Acos2πf′（  ）                 （4）

将式（4)与式（1)比较，说明声波的运动学方程经伽利略变换后形式不变.

，

        由这两个式子我们便得到，   .                                                       (5)

  比较式（2)、(5)，说明波动方程经伽利略变换下的形式不变性.根据多普勒效应可以得出声波运动方程具有伽利略变换的不变性，反之根据声波运动方程的伽利略变换不变性也可以得出多普勒效应，多普勒效应是坐标变换的结果，二者是等价的.当观察患者静止，波源运动或者观察者和波源同时运动分析类似，本文不再分析，有兴趣的读者自行分析.由于机械波必须在媒质中传播，而波相对于媒质的速度是恒量，所以在多普勒效应中起作用的是波源及观察者相对于媒质的速度，而不是波源与观察者之间的相对速度^[2]，所以在这里声速不是不变量.但是在本题中由于我们假定波源相对于媒质不变，因此观察者相对于波源的速度等价于观察者相对于媒质的速度.在S′系我们只对波的运动学方程和波动方程进行坐标变换，不用管介质的问题，如果按照运动介质处理就错了，牛顿力学适用于绝对时空，介质不变.文献[3]得出与本文一致的结论.研究多普勒效应对于非均匀介质，还需要考虑折射率的变化，限于篇幅本文不再讨论.英国哲学家斯宾塞所言：“一个从未从事过科学研究的人，永远难以了解日常他所生活的环境里，处处存在着奇情丽景，宛如诗般的节奏和韵律.”

说明：1. 多普勒效应为了纪念奥地利物理学家及数学家克里斯琴.约翰.多普勒，这一理论是由他首先发现的。多普勒效应中提出频率由波源和观测者的相对运动而产生变化的问题：在运动的波源前面时，变为压缩波，频率变高；在运动的波源后面时，变为伸张波，频率变低；其效果跟运动速度成正比例关系;波源的运动速度的估算就可以以此来进行.多普勒效应是坐标变换的结果^[4～20]，f′=f，此即为波源静止，观察者远离波源方向运动时的多普勒效应；波源静止而观察者向着波源方向运动、观察者静止而波源远离观察者方向运动、观察者静止而波源向着观察者方向运动时的多普勒效应公式参见文献^[8]，根据本文的分析方法考察声波运动学方程和波动方程得出的结果一致——声波运动学方程和波动方程具有伽利略变换下的形式不变性，本文不再分析.

2.在S系我们只对波的运动学方程和波动方程进行坐标变换，不用管介质的问题，如果按照运动介质处理就错了，此时声波的运动学方程（4）的伽利略变换式是文献[1]的（8）式的结果部分，在一维情况下简化为

                       （6′）

此式与（4）式明显不是同一形式！所以，声波方程不具有伽利略变换下的形式不变性！但是如文献[1](8)式所示，它属于以介质平动速度u为参数的声波运动规律最小协变集， 一维情况下为:

声波方程为    (7′)}     在单向波的特殊情况下成立

于是，（6′）式才能化为（6）式.这是对于伽利略变换的错误理解.类似的，研究机械能守恒定律满足伽利略变换时，场的坐标与质点的坐标不一样，不能混为一谈，重力、弹簧弹力和万有引力都是稳定场，不是显含时间的力场.

 研究多普勒效应对于非均匀介质，还需要考虑折射率的变化，限于篇幅本文不再讨论.本文在此从略，有兴趣的的读者可以自己研究这个问题.文献[10]得出与本文一致的结论.

声波运动方程满足伽利略变换，电磁波的麦克斯韦方程组满足洛伦兹变换，关于这个问题的证明的文献很多，文献[11～20]是其中一部分.

参考文献

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