电路是一种载流子传输系统。其中，电荷是载流子；导体及电容的电极是载流子容器；二端子的电压源、电感、电阻等元器件及其串联组合，是电荷的传输通道；传输通道将载流子从一个容器传输到另一个容器，实现电能与电信号的传输、转化（发光发热等）。载流子、载流子容器及传输通道等概念和特性已在 《“哥尼斯堡” 电路学(1) — 认识载流子》、《“哥尼斯堡”电路学(2)—认识载流子容器》、《“哥尼斯堡”电路学(3)-理解载流子传输》里进行了详细介绍。
类似的，自来水网络是一个以水为载流子的输送系统。在学习电路的过程中，不自觉的，会用水流类比电流，水压类比电压，带阻力的水管类比电阻元件等。为什么这种类比有效，因为“水路”和“电路”都是载流子传输系统，都包含一组载流子容器和传输通道，容器间通过传输通道互连，交换载流子。
从具体到一般，任意一个载流子传输系统，其中包含X个载流子容器，容器间通过 Y个传输通道互连（X和Y为正整数）。该系统的完整数学描述，由 4个公式 和 1组二端子元件的传输函数构成，归纳如下：
图1. 载流子传输系统的数学描述
以上数学描述可绘制成图2所示的动力学模型[4]。该系统模型描绘了载流子容器（ECC, energy-carrier container）与传输通道（ECP, energy-carrier pipeline）间的物质和能量交换，即，
1） 载流子容器将传输通道输入或输出的载流子流量Qcp储存起来，获得净流入量Qn；
2） 容器产生与载流子净流入量Qn对应的价格或势能vn；
3） 容器的价格vn，在传输通道的两端，形成价格差或势差vcp;
4） 通道的vcp，加上vb，减去传输惯性（电路中的感应电势），形成总电压或费用vEIS，用于驱动传输通道以一定的流速输出Qcp。
图2. 载流子传输系统的动力学模型[4]
因此，载流子传输系统具有通用的动力学模型。下一步，将介绍载流子流（ECF, energy carrier flow）图，以描述动力学模型中的对象（ECC 和ECP）及其相互作用，… (未完待续)
附：系统模型变量释义
一）载流子容器及其定价公式
一个载流子传输系统，包含一组载流子容器，每个容器的状态由4个变量描述，即vn， Qn，Qconst，Qe。其中，Qn与 vn 之间的关系式就是所谓的定价公式。
图3 总结了一组载流子容器及其通用的定价公式，其中，容器自身及其相互间的量-价比参数，构成了矩阵Cn。
图3. （a）一组载流子容器及其（b）定价公式
图4. 水路系统中的水箱及其水量-水压关系
图5. 虚拟城中的城区及其 持房产家庭数-房价 关系
图6. 电路中的导体及其 电量-电压 关系
这些变量及其关系，在“水路”中的示例见图4，在“虚拟城”中的示例见图5，在“电路”中的示例见图6。具体说明如下：
1）vn，在“水路”中，是水箱的水位（对应产生水压）;
在“虚拟城”里，是城区房产的价位；
在“电路”中，是导体的电位。
2）Qn，在“水路”中，是水箱里存储的水量；
在“虚拟城”里，是城区净流入家庭数量；
在“电路”中，是导体中的净电荷量。
相应的，Qconst，Qe，则是与Qn 对应的基准常量及其外部输入的调节量。
3) Cn_i，在“水路”中，是水箱上升单位水位对应增加的水容量；
在“虚拟城”中，是城区房价上升一个单位对应增加的家庭净流入量；
在电路中，是导体自身的总电容，是导体电压上升一伏特对应增加的电荷量。
4) Cn_ij，在“水路”中，水箱间，不接触，不会相互影响，因此Cn_ij = 0；
在“虚拟城”中，是城区i房价上升一个单位引发城区j增加的家庭流入量（受市场影响）。
在“电路”中，是导体i与导体j的互电容（通过电场相互作用）。
二）传输通道及其传输消耗公式
载流子传输通道实现载流子容器的连通，输送载流子，同时从容器间获得势差。每个通道的状态由4个变量描述，即vEIS， vcp， vb，Qcp。其中，Qcp与 vEIS 之间的关系式就是所谓的传输消耗公式。
图7 总结了一组传输通道的构成及其传输消耗公式。其中，通道自身及其相互作用的惯性系数，构成了矩阵Lcp。
图8 总结了容器与通道间的相互作用。其中，容器储量公式 描述了容器 载流子净流入量与通道间流量关系；通道势差公式，描述了传输通道价（势）差与容器价（电）位的关系；关联矩阵σn定义了容器与通道间的连通关系。
图7.载流子传输通道及其传输消耗公式（以电路元件为例）
图8.载流子容器与传输通道间的关联矩阵、储量公式、势差公式
图9.仿照“哥尼斯堡”搭建的载流子传输系统：(a)输水系统，（b）虚拟城市，（c）类比电路。连接载流子容器的传输通道：（d）水管，（e）桥，（f）二端子元件串行连接构成的线路。
这些变量及其关系，在“水路”中，“虚拟城”中，以及“电路”中的具体含义，如图9所示。具体说明如下：
1）Qcp，在“水路”中，是通过管道的水流量; 一个容器所连接管道流量的代数和即为该容器的储水量Qn；
在“虚拟城”里，是通过桥迁移的家庭数量；一个城区所联通桥的流量的代数和即为该城区的家庭净流入数Qn；
在“电路”中，是通过元件的电荷量。一个导体的净电荷数Qn，等于其所接线路流量的代数和。
2）vcp，在“水路”中，是水管两端所在容器的水压差，等于水管正端所接水箱的水压 减去 负端所接水箱的水压；
在“虚拟城”里，是桥两端所在城区的房价差，等于桥正端的所在城区房价 减去 其负端 所在城区的房价；
在“电路”中，是联通两块导体的元件串行线路两端的电压差，等于串行线路正端所接导体的电压 减去 负端所接导体的电压。
3）vb，在“水路”中，是水管中增压泵提供的额外水压;
在“虚拟城”里，是桥中对迁移家庭进行补贴或收税；
在“电路”中，是元件串行线路中接入的偏置电压源。
4）vEIS，在“水路”中，是水流通过该水管，要抵抗的总阻力；
在“虚拟城”里，是家庭通过该桥完成迁移，要消耗的总费用；
在“电路”中，是电荷通过元件消耗的总电压。
5) Lcp_i，在“水路”中，是水流的惯性参数，水流加速产生惯性阻力；
在“虚拟城”中，是居民迁移的惯性参数；迁移加速产生惯性费用；
在“电路”中，是元件串行线路的自感。
6) Mcp_kj，在“水路”中，Mcp_kj = 0 ，因为水管之间，不接触，不会相互影响；
在“虚拟城”中，反映了桥i居民迁移加速度对桥j迁移费用的影响（受市场影响）；
在“电路”中，是元件串行线路i与线路j间的互感（通过磁场相互作用）。
类比是一种本能思维模式，虽不严谨，但符合直觉，可以加快对复杂事物的理解。
电磁场通量分配模型（Electromagnetic-Flux-Distribution Model）[1]是一种以电荷和磁通为载流子，分析电路，特别是相位相关（phase-dependent）电路（如约瑟夫森结电路，相滑移结电路）的通用模型；其对应的 磁通流通图（Magnetic-Flux-Flow diagram，MFF diagram）[2][3]和电通流图（Electric-charge-flow diagram，ECF diagram）[4]是描绘电荷和磁通传输的新型交互式电路图，能帮助我们更直观地分析载流子的电磁场相互作用，加深对电路功能的理解。特别的，MFF图 以磁通为载流子，直观地诠释了 具有宏观量子效应的超导约瑟夫森结电路 的工作原理。
[1] Y. L. Wang, "An Electromagnetic-Flux-Distribution Model for Analyses of Superconducting Josephson Junction Circuits and Quantum Phase-Slip Junction Circuits," IEEE Transactions on Applied Superconductivity, vol. 32, no. 5, pp. 1-6, Aug 2022.
[2] Y. L. Wang, "Magnetic-Flux-Flow Diagrams for Design and Analysis of Josephson Junction Circuits," IEEE Transactions on Applied Superconductivity, vol. 33, no. 7, pp. 1-8, Oct 2023
[3] Y. L. Wang, "A general flux-Based Circuit Theory for Superconducting Josephson Junction Circuits," arXiv:2308.01693, pp. 1-35, 2023.https://doi.org/10.48550/arXiv. 2308.01693
[4] Y. L. Wang, " Electromagnetic-Field-Based Circuit Theory and Charge-Flux-Flow Diagrams," arXiv:2403.16025, pp. 1-40, 2024.https://doi.org/10.48550/arXiv.2403.16025
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