什么不是数学物理
经常有人问我是研究什么的, 我一般就回应说, 我是做数学物理的. 大多数人听到数学物理这个词,一般有几种反应. 有的说: 啊, 好难学, 我的数学不好, 物理也不好. 还有的会调侃说, 我上学的时候, 数学都不及格, 物理也听不懂. 还有的说: 啊,你好聪明, 那么抽象的东西我都学不会. 如果是数学专业或者理工科背景的, 一般都会认为我是研究偏微分方程的, 因为他们大都学过或者至少听说过大学里的两门课程, 分别叫做"数学物理方程"和"数学物理方法". 前者的主要内容就是介绍来自于物理学中三类典型的偏微分方程, 即波动方程, 热方程和调和方程, 它们分别给出了波动现象, 扩散现象和稳定平衡现象的数学刻画, 属于经典场论中最基本的数学模型. 该课程的目标就是通过介绍三类具体的例子让大家对偏微分方程理论有初步的理解, 掌握其基本概念和基本的理论框架.
至于数学物理方法,除了包含数学物理方程中的三类偏微分方程之外, 还包含更多的数学内容, 如复变函数, 特殊函数等等. 其课程的目标就是教学生们对物理问题进行数学建模的方法以及掌握它们的求解方法. 这些大概就是一般的人们听到"数学物理"这个词的所能想到的内容.有的时候,更好奇一点的会接着问, 那具体研究什么呢? 我一般会根据对方的背景回答. 对有的人说研究量子引力, 也可能说图论和图形演算, 或者范畴学, 或者量子场论, 对有的人还可能说时空本质, 量子基础,等等. 基本上随便说几个名词, 就可以应付了. 听到这些, 基本上对方的兴趣就终止了, 接下来就只能谈其它的话题了.
所以, 目前大多数人对于"数学物理"这个名词比较陌生, 即使听说过这个名词的人也常常是有很多的误解. 那么到底数学物理是一个什么样的学问, 我觉得有必要把我所理解的数学物理给大家解释一下.
数学物理作为"高级版本"的理论物理
如果单独说数学一词, 或者单独说物理一词, 一般人都不会困惑. 但是数学物理是什么? 人们最可能想到的就是前面说到的"数学物理方程"和"数学物理方法", 这些当然可以和我要谈的数学物理有关系, 但不会是其核心内容.
在本文中我要介绍的"数学物理"是一个专有名词, 它不是前面提到的大学课程, 也不是数学+物理, 即数学和物理的综合, 而是一个全新的研究领域. 简单地说, 它其实是"理论物理"的升级版, 其研究对象和研究方法比较高级一点. 或者说, 数学物理是理论物理发展到高级阶段的产物. 但它到底是怎么个高级法, 就值得说道说道了. 本文以后出现的数学物理就都是我要介绍的数学物理了.
数学物理的诞生时间也不长, 大概可以说是从1982年开始. 在这一年,威腾用超对称量子力学解释了莫尔斯理论[1], 这一事件可以算作现代数学物理诞生的起点(当然,这不是公认的说法). 不过坦白地讲, 这个名字起得也不太好, 因为很难从名字本身看到其内涵. 因此也有人建议用"物理数学"更好一点, 表示其研究的内容是"物理问题启发的数学". 相较而言, "数学物理"更像表示的是"用数学方法研究物理问题"意思, 这个意思好像土里土气, 似乎没啥新意. 那么未来是否会出现更好的名字, 现在还不清楚, 我们拭目以待.
先不管数学物理的定义是什么(事实上现在也没有公认的定义), 我们可以先用一些例子来说明一些它都包括哪些内容. 比如, 拓扑量子场论, 同调场论, 超对称量子场论, 圈量子引力, 超弦理论, 超引力理论, BPS代数理论, 无穷维可积系统, 量子可积系统, 非交换几何, 量子群和无穷维李代数, 共形场论, 拓扑共形场论, 顶点算子代数, 因子化代数, 因子化同调, 拓扑序和量子序, 量子不变量, 高阶规范理论, 等等. 当然, 文小刚和莱文发明的弦网凝聚模型, 我发明的因果凝聚框架也都是数学物理的内容. 作为例子的这些理论, 其背后其实都有一个共同的目标, 那就是理解量子场论和量子引力理论.
这些理论的研究对象都不过是量子场论的某种简化或者退化的版本(物理学家习惯称为玩具模型 toy model), 其不寻常的地方在于其底层的数学结构和数学框架非常的丰富, 抽象, 稳健和普适, 这些简化模型的研究极大地促进了数学的发展, 其中很多物理思想在一些数学发现中起到了决定性的作用.
数学物理所使用的语言和过去理论物理所使用的语言大不相同, 比如过去理论物理学家使用的主要是微积分, 线性代数, 微分方程, 费曼图, 代数方程, 傅里叶变换, 概率论, 纤维丛, 微分几何等这些传统的数学概念, 而数学物理则主要使用范畴学, operad, 层和余层, 同调理论, 同伦理论, 形变理论, 同伦代数, 张量网络等比较新近出现的数学对象和理论. 鉴于其使用语言的高级性, 我们可以说数学物理是一种高级版本的理论物理.
数学和物理的关系
要谈数学物理是什么? 我们也避不开数学和物理的关系的讨论, 并且也非常有必要从数学和物理历史发展的大脉络下来认识它.
首先, 这样的问题, 肯定是仁者见仁, 智者见智, 不会有标准的答案. 不同的时期, 大家的感受会有不同. 即使是同一个时期, 不同的采访对象, 可能会给出不同的答案. 对于不同的领域的回答, 即使是出现矛盾的回答, 也不必稀奇.
对于数学和物理的关系, 数学家陈省身和物理学家杨振宁, 在上个世纪, 分别从不同的角度给出了形象的描述和精彩的比喻. 两位大家关系比较亲密(可以说是师徒关系), 在学术研究上也是有很近的关系, 他们之间有一些很经典的交流和对话, 很值得大家去搜索了解, 在本文中我就不再介绍了.
1979年, 杨振宁先生[2]用一个双叶图来形象的描述数学和物理的关系, 其描述的角度主要是逻辑的. 他把数学和物理的内在关系给形象地描述出来, 认为数学和物理学像一对「对生」的树叶, 他们只在基部有很小的公共部分, 多数部分则是相互分离的. 杨振宁先生解释说: 「它们有各自不同的目标和价值判断准则, 也有不同的传统. 在它们的基础概念部分, 令人吃惊地分享着若干共同的概念, 即使如此, 每个学科仍旧按着自身的脉络在发展.」
1982年, 陈省身先生[3]曾用"同气连枝,同胞共哺"来形容微分几何和理论物理的关系. 之后他画了一个周期图来形容数学和物理的关系, 这个视角总体上是历史的. 其描述可以用三国演义中的名句"天下大势,合久必分,分久必合"来形容, 这是对数学和物理历史的一个贴切概括. 只不过, 陈先生的描述更加形象直观, 他把这个意思直接画出来了.
陈先生是一个几何学家, 对黎曼几何和广义相对论的关系, 非常清楚. 他画出的这个数学和物理的关系可以认为是一个大历史大尺度上的规律, 是他对黎曼几何和广义相对论关系理解的推广. 历史也确实如此过来, 在将来也不会有大的问题, 毕竟我们都相信更大范围的科学还是统一的, 作为科学基础的数学和物理的关系一定会越来越统一.
杨先生是一个理论物理学家, 他对数学和物理的统一性有大的惊奇, 比如他的吴-杨字典的发现就让他感到不可思议. 当然他更深的体会是数学家和物理学家工作方式的巨大差异, 比如他对这个双叶图的解释就侧重于两个领域发展的相对独立性.
陈先生的周期图画于1982年, 杨先生的双叶图画的更早一些, 是1979年[4]. 这两个时间都在现代数学物理诞生之前, 因此新生代的数学物理学家再看到这两个图可能会有不同的感受, 至少在解释方面会有差异.
接下来, 我们要看比陈省身和杨振宁两位先生更年轻一代数学物理学家的看法. 我要大篇幅引用安德烈·洛塞夫(Andrei Losev)的一段文章, 他是一位犹太裔俄国数学物理学家.
在2007年, 为了纪念英年早逝的苏联数学家别列津(Berezin), 他写了一篇文章[5], 在前言中是这样来描述现代数学物理的.
数学物理作为一种新型的理论物理
不管你喜欢与否, 在过去的四十年间, 理论物理的风格有了很大的改变. 它的风格多样化了.
在过去的美好时光里，理论研究就像是在实验证据的岛屿之间航行。如果不是在海岸线附近航行（出于安全考虑，强烈建议在海岸线附近航行），水手们就会一直向前看，希望看到陆地--越快越好。试图漂洋过海的智力赌徒大多失望、迷失和被遗忘；幸运的幸存者被誉为天才，但是--在家里想都不要想--没有人会向他的朋友或亲戚推荐这条路。
如今，一些理论物理学家（让我们称他们为水手）找到了在纯理论构造的公海中生存和航行的方法。他们不看地平线，而是仰望星空, 因为星空能准确地告诉他们所处的位置。水手们知道，星星永远不会告诉他们新大陆在哪里，但星星可以告诉他们自己在地球上的位置。通过这种方式，水手们共同绘制了一张地图，这张地图最终将为海上航行提供便利，并有助于发现新大陆。
这里的 “星星 ”指的是组织数学世界的内部逻辑，而非社区内的一些杰出成员。
通过这种方式，水手们共同绘制了一张地图，这张地图最终将为海上航行提供便利，并有助于发现新大陆。理论家成为水手只是因为他们喜欢。被船长和船员们诱惑着去 “统一量子场论 ”或 “量子引力 ”的 “新埃尔拉多 (黄金之城)”的年轻人很快就会意识到，他们的一生都将在海上度过。那些不喜欢航海的人放弃了航行，但对于真正有潜质的水手来说，大海成了他们的激情所在。他们可能会把这个诱人而又可怕的事实告诉自己的学生--合适的人就会加入他们的行列。这些水手被称为数学物理学家；他们构成了现代理论物理学的风格之一(洛塞夫认为自己就是其中之一)
下面，我将阐述我对别列津积分--一种真正了不起的导航装置--的观点。读者可以将此视为数学物理学家如何对待世界的一个范例，也可以与笔者一样，对别列津积分在数学物理中出人意料的功效表示钦佩。费利克斯-别列津（Felix Berezin）在他的第一本书《二次量子化方法》（Method of Second Quantization）中提出了反交换变量的 “积分演算”，该书于 1965 年以俄文出版，1966 年译成英文（见附录），成为几代数学物理学家珍爱的手册。
我认为，数学物理学应该利用一切可用的工具和方法，研究所有可能的量子场论（QFT）。乍一看，这是一个非常困难的问题，因为我们几乎无法描述所有可能的 QFT，更不用说求解它们了。然而，它们在一定程度上是按其复杂性排序的。将其与研究所有可能空间的几何学进行比较。所有空间的集合是难以捉摸的；然而，最简单的空间，如点、线或圆，却很容易想象和理解。在实数维度 2 中，我们可以按照亏格对所有光滑定向曲面进行分类。在更高的维度中，情况会变得越来越复杂。我认为数学物理学家的主要任务是把 QFT 的普遍现象作为所有可能 QFT 空间上的函数来研究。在最简单的 QFT 中，大多数现象都是同义反复，如 0 = 0。随着复杂性的增加，有趣的现象开始出现，起初是以最简单的形式出现。在这一阶段，它们是驯服的，可以得到详尽的定量描述。随着复杂性的增加，给定 QFT 所描述的典型现象也会变得更加复杂，最后只剩下整体的定性描述。因此，我假定，理解 QFT 中的现象等同于找到最简单（门槛）的 QFT，在那里，非平凡现象 “开始飞翔”。
引用完毕. 概括一下主要内容:
数学物理是一种新型的理论物理. 理论化就像在不同的海岛(实验证据)之间航行, 数学物理学家就像水手. 当航行远离海岸线的时候, 基于安全的原因, 水手们总是希望尽快地看到陆地. 在尝试渡海的聪明水手中, 大多数收获的都是失落和失望, 并被人遗忘; 只有极少数幸运的水手可以渡海成功, 而被称之为天才. 而在现实中, 没有人愿意推荐自己的朋友或亲人走这种冒险的道路.
现在一些理论物理学家找到了一种在纯理论的广阔海洋中生存和航行的方法. 他们看的不是海岸线,而是星星 (数学的内在逻辑), 星星可以告诉他们所处的确切位置. 水手们知道, 星星永远不会告诉他们新大陆的位置, 但是可能会告诉他们自己在地球的位置. 用这种方式, 水手们最后会一起绘制出一副世界地图,这副地图有助于在海上航行, 并有助于发现新大陆.
这些理论物理学家们成为水手仅仅是因为兴趣. 年轻人在船长的引诱下成为船员, 去寻找统一量子场论和量子引力的黄金之城. 很快他们将意识到他们将要在海上度过一生. 那些不喜欢航海的人放弃了他们的航行. 但对真正有潜力的水手, 海洋成为了他们的激情. 他们可能会把诱人而可怕的真相告诉他们的学生, 合适的人会加入他们的行列. 这些水手现在被称为数学物理学家, 他们形成了现代理论物理的一种新的风格.
可以看出, 在新型的理论物理学家中, 数学已经不像杨振宁的双叶图描绘的那样被视为独立的存在, 而是理论物理学家手中唯一可用的导航工具. 因此, 新型的数学物理已经更加重视数学的指导作用, 甚至在没有工具的情形下, 还要学会用数学家的逻辑和物理学家的直觉去亲自发展可用的工具, 这种状况好像又回到了牛顿的时代, 为了描述他的物理, 牛顿需要自己发明微积分.
在洛塞夫文章的开头, 他说在过去的四十年间, 理论物理的风格发生了很大的改变. 但是他没有介绍这种改变是如何发生的, 为何会发生这样的改变, 这个问题我希望以后能够专门写文章讲清楚. 现在, 我来引用nLab上的一些资料, 来说明数学物理这个名词代表的观念在人们心中发生变化的历史.一 观点
数学物理学是一门位于数学与物理学交界处的学科，主要研究物理现象的数学理论和模型，以及在这些模型中出现或需要的数学装置。
数学物理学与理论物理学相交叉，后者涉及对物理现象的理论论证以及已知和猜想物理模型的开发。理论物理的概念通常更为广泛，因为它也涉及从实验或从不同模型和各种实验数据的粗略比较中得出的解释、非严谨的、有时是推测性的论证，但不一定在数学上令人满意。
例如，根据复杂的实验数据拟合参数和调整模型的计算，被称为现象学，是理论物理学家工作的一部分，但如今大多数此类工作并不被认为属于数学物理，除非有人正在为此类工作开发一个真正新的数学模型或工具。
另一方面，自 1623 年伽利略（“自然之书是用数学语言写成的“）、希尔伯特 1930 年（”理论与实践、思维与观察之间的中介工具是数学“）和维格纳 1959 年（”数学在自然科学中的不合理效力"）以来，我们可以理解为，最终，当尘埃落定时，所有物理学都是数学物理学。
二 历史
从历史上看，“数学物理 ”究竟包括哪些内容，一直存在一些分歧。
20 世纪初，人们对这一术语的理解非常宽泛：
不仅亨利-庞加莱，阿尔伯特-爱因斯坦也被称为数学物理学家。新设立的理论教席被称为数学物理教席。从诺贝尔奖委员会的档案文件中可以看出，在诺贝尔物理学奖候选人的提名和讨论中，《数学物理学》都有权出现。粗略地说，数学物理学的概念涵盖了使用数学公式的理论论文。(法捷耶夫)
此外，在希尔伯特的数学问题清单中，第六个问题将物理学的数学表述视为数学的核心问题之一：
6. 物理学公理的数学处理。对几何学基础的研究提出了这样一个问题：用同样的方法，通过公理来处理那些今天数学已在其中发挥重要作用的物理科学；排在第一位的是概率论和力学。
然而，到了 1920 和 1930 年代，“数学物理 ”一词开始被更多地专用于理论物理学家或多或少已经非正式地理解的精确论证活动。该术语开始被用来指物理学中使用的数学工具，或者更具体地说，在经典物理学中被用来指偏微分方程理论和变分微积分，在量子物理学中被用来指函数分析和表示理论。
人们看到的是对物理学家以自己的方式理解的结果的严格数学定理的追求。(法捷耶夫）
最近，这种狭隘的理解受到了质疑：
我认为数学物理学的主要目标是利用数学直觉推导出基础物理学的真正新结果。从这个意义上说，数学物理学和理论物理学是竞争对手。它们在揭示物质结构规律方面的目标是一致的。然而，它们的工作方法，甚至对工作成果重要性的估计都可能有很大的不同。
格雷戈里-摩尔（Gregory Moore）本着类似的精神，试图打破对 “数学物理 ”一词过于狭隘的理解，一直主张用物理数学这一替代术语来研究受理论物理模型启发的数学构造。
一些最伟大的数学物理学家认为，描述自然需要非常深奥的数学思想，因此他们寻求让数学物理发挥更深远的作用。例如，保罗-狄拉克就在这里表达了这样的观点：
自然界的基本特征之一似乎是，基本物理定律是用一种非常优美和强大的数学理论来描述的，需要相当高的数学水平才能理解它。你可能会问 为什么自然界是按照这种思路构建的？我们只能回答说，我们目前的知识似乎表明，大自然就是这样构造的。我们只能接受它。我们或许可以这样来描述这种情况：上帝是一位非常高超的数学家，他在构建宇宙时使用了非常先进的数学。(保罗-狄拉克，《物理学家眼中自然图景的演变》，《科学美国人》，1963 年）
这一观点促使狄拉克提出了以下方法论：
数学和物理学走向统一的趋势，为物理学家提供了一种研究其学科基础的强有力的新方法，这种方法尚未得到成功应用，但我相信它的价值将在未来得到证明。这个方法就是，首先选择自己认为将构成新理论基础的数学分支。在选择过程中，数学之美的考虑对我们的影响很大。此外，优先选择那些以一组有趣的变换为基础的数学分支可能也是一件好事，因为变换在现代物理理论中发挥着重要作用，相对论和量子论似乎都表明，变换比方程更为重要。在确定了数学分支之后，我们就应该按照适当的思路去发展它，同时寻找它似乎可以自然地用于物理解释的方式。(数学与物理学的关系）
正如 Michael Atiyah 所说，赫尔曼-韦尔帮助发展了现代数学物理的许多要素：
在过去的 25 年里，随着物理学家们努力应对将自然界的所有基本力量整合到一个包罗万象的理论中这一挑战，高维度的规范理论--卡鲁扎-克莱因模型、弦理论以及现在的 M 理论应运而生。这需要涉及李群、流形、微分算子的复杂数学，而所有这些都是韦尔的遗产。毫无疑问，他会是这种数学与物理学融合的热情支持者和崇拜者。没有任何其他数学家可以声称自己开创了更多现在正在探索的理论。他的远见经受住了时间的考验。(迈克尔-阿蒂亚，《赫尔曼-韦尔：1885-1955》）。
[与韦尔同时代的人早已逝去，只有一些个人回忆留存下来。另一方面，时间的流逝使我们更容易评估韦尔工作的长远意义，了解他的思想如何影响了他的后继者，并帮助塑造了二十世纪下半叶的数学和物理学。事实上，在过去的五十年中，正是在魏尔开创的这些领域中，出现了令人瞩目的繁荣景象。回想起来，我们几乎可以说，他为后来的发展确定了议程，提供了适当的框架。他对数学的大多数分支都做出了根本性的贡献，同时也对理论物理学产生了浓厚的兴趣。(迈克尔-阿蒂亚，《赫尔曼-韦尔：1885-1955》）。"
最后, 我来表达一下我自己对数学物理的认识. 数学物理显然是一个历史的概念, 在不同时代的人心中代表不同的意义. 对我而言, 数学物理是数学和物理的统一体, 数学代表语法, 物理代表语义. 只不过, 数学这种语法足够丰富和复杂, 完全可以以自己为语义而存在, 这就是数学本身获得一定独立性的原因.
现在, 数学和物理的关系就像中学时代所强调的方程与几何的关系, 我们用一个熟知的术语来概括这种关系, 即数形结合, 它是中学时代数学教学过程中的一个贯彻始终的思想. 我认为现代数学物理的大发展潮流中, 一种新型的数形结合思想产生了, 暂且称之为数物结合吧.
这一新思潮的产生, 完全是伴随着理解量子场论的过程而产生的, 代表着数学和物理的再一次联姻. 可以相信, 未来的数学家和物理学家的隔阂会越来越小, 他们会同时接受数学的和物理的训练, 就像我们中学时代同时学习方程和几何一样.
在现代数学和理论物理中发生了很多件大事, 可以说是它们催生了现代数学物理, 慢慢塑造了数学物理学家的思维风格. 本文中我就提两个事情, 其一个是数学家发明了范畴学, 并把它成功应用到对量子场论的理解中去; 其二就是物理学家独立发明了BV框架, 它本是为了量子化规范理论而设计的工具箱, 但发现它具有丰富的数学意义. 现在, 我想了解了这两件事情的人都会非常明显地感受到数物结合思想的存在, 并会感受量子场论在统一数学结构方面的独特能力.
在下一篇文章中, 我将分享由我主导发起的一个新的数学物理纲领, 它将统一量子引力和人工智能, 为数学物理注入新的发展力量.
[1] Edward Witten, Supersymmetry and Morse theory J. Differential Geom. 17 4 (1982) 661-692.
[2] 杨振宁教授漫谈：数学和物理的关系.
[3] 陈省身：微分几何与理论物理.
[4] 【科大瞬间】杨振宁妙语连珠论数理.
[5]
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