康托尔：自由与孤独之子

武汉理工大学：刘永红

1870年康托尔 图片来源于网络

康托尔，德国数学家，集合论的创始人，19、20世纪之交的基础数学先驱者，生于俄国圣彼得堡一个丹麦商人家庭，母亲出身艺术世家。康托尔的大部分成年生活是在德国的哈雷（萨勒）市度过的。1867年，他在柏林大学以解决不定方程的一个求解问题的论文获博士学位，后因受数学家魏尔斯特拉斯的影响，由数论转向严格的分析理论的研究。他在哈雷大学任教，1877年成为教授。

学术高山深涧

由于学术观点上受到的沉重打击，1884年5月，他首次被确诊了躁郁症，时年39岁。1886年，康托尔决定不再教授数学，开始转向哲学和文学。虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直病魔缠身。康托尔的遭遇令人痛心，都怪法国数学家庞加莱，德国数学家克罗内克和外尔等人恶毒攻击集合论。然而，希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。一个半世纪来，康托尔一直是后人无法绕过去的一座高山。

学术成就概览

《关于所有实数集合的特征性质》：康托发表了关于集合论的第一篇重要论文，介绍了集合之间一一对应的概念，证明了实数集（直线上的点）比自然数集“更大”，尽管这两个集合都是无限的。他的想法是非常大胆非常超前的，彻底背离了传统观点中对于无穷的认知。其代表作《一般集合论基础》，引进超穷数，并给出了良序集和无穷良序集编号的概念，指出整个超穷数的集合是良序的，而且任何无穷良序集都存在唯一的一个第二数类中的数作为表示它的顺序特性的编号。康托尔还借助良序集定义了超穷数的加法、乘法及其逆运算。《对超穷数论基础的献文》：康托尔最后一部重要的数学著作，经历了20年之久的艰苦探索，康托尓希望系统地总结一下超穷数理论严格的数学基础，这篇论文标志集合论已从点集论过渡到抽象集合论。

价值和意义

虽然集合论在诞生之初经历不少挑战，当然包括一系列集合论悖论，但经过岁月留迹，集合论已成为支撑数学思想大厦的支柱。其价值和意义在于，为数学提供了全新的基础框架，将几乎所有数学对象（如数、函数、空间、结构等）统一为集合或集合之间的关系，更是彻底改变了人们对数学本质的认知，如，它催生了拓扑学、测度论、范畴论等现代数学的新型分支出现，并在计算机科学、数理逻辑、AI等多领域有广泛的应用。例如，在自然语言处理领域，集合论为语言模型的推理、分类、匹配等运算提供了理论基础。

康托尔认为，“数学在它自身的发展中完全是自由的，对他的概念限制只在于：必须是无矛盾的，并且与由确切定义引进的概念相协调。……数学的本质就在于它的自由。”

如果你研究数学，如果你想写数学原创性论文，你就没有理由不读集合论。否则，康托尔会很生气要你研究神学。因为他攻读数学和神学两个专业，神学就靠你了。

命名和上演

在哈雷，有一所高中和一座大学建筑是以康托尔的名字命名的。2006年，为了庆祝哈雷市建城1200周年，上演了一部以康托尔为主题的歌剧《康托尔——测量无限》。（"Measuring the Infinite"）。

歌剧《康托尔——测量无限》 图片来源于网络

看吧！康托尔揭开了“无穷”神秘的面纱。