fourier_transform_animation.gif

日更不能断，今天拆解傅里叶变换。

傅里叶变换的基本公式：

：时间序列

：频域序列

看着挺唬人，其实没有那么恐怖。

欧拉公式：

令，

所以，实际上就是在以角速度w顺时针旋转（-）。

针对做旋转，然后找是否可以匹配w。如果匹配，那么复平面上的图形不对成，时间平均值（积分）就不为零。

这就好比拿一系列标准的模板，逐个去套。如果有该特定频率，那么就在时间平均值上展现出来。

顶上是一个动图，拆解其中的基本过程。

简单来说，傅里叶变换做的事情，就是把原始信号乘以旋转因子，然后对整个时间轴积分（求平均），看结果是否为零。

如果中含有与相匹配的频率成分，旋转后的信号在复平面上会形成一个不对称的轨迹，其中心偏离原点，因此时间平均值不为零。这个非零值的大小，就反映了该频率成分的强度。同理，如果中不含有与相匹配的频率，旋转后的信号在复平面上形成一个中心在原点的对称轨迹（比如圆或椭圆），正负半周期相互抵消，时间平均值趋近于零。

 这就好比拿一系列标准的旋转模板（不同频率的）逐个去套原始信号，套中了（频率匹配），模板“卡住”了信号，平均结果不为零；没套中（频率不匹配），模板“空转”，平均结果归零。通过扫描所有可能的，我们就能知道信号中包含了哪些频率成分，以及各自的强度——这就是傅里叶变换的本质。

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