导语：复杂网络是描述和理解现实世界中复杂系统的有力工具。近年来，为了更准确地描述复杂网络中的交互关系，或者从高阶视角分析成对交互作用网络，许多学者开始使用高阶网络进行建模，并在研究其动力学过程中发现了与成对交互作用网络不同的新现象。然而，与成对交互作用网络相比，高阶网络的研究相对较少；而且，高阶网络结构相对复杂，基于结构的统计指标定义较为分散且形式不统一，这些都给描述高阶网络的拓扑结构特征带来了困难。鉴于此，本文综述了两种最常见的高阶网络——超图和单纯形网络——常用的统计指标及其物理意义。本文有助于加深对高阶网络的理解，促进对高阶网络结构特征的定量化研究，也有助于研究者在此基础上开发更多适用于高阶网络的统计指标。该论文以“高阶网络统计指标综述”为题发表于《物理学报》，作者刘波、曾钰洁、杨荣湄、吕琳媛。

    一、引言     

现实世界可被视为一个高度复杂的巨系统，由各种不同类型的子系统构成， 包括社会系统[1,2]、生物系统[3,4]、电力系统[5,6] 和交通系统[7,8] 等。为了全面深入地理解这些复杂系统，网络科学应运而生[9–11]。网络科学的主要研究目的是找出这些复杂系统的共性， 定量和定性地刻画它们所具有的普适性规律， 从而为理解和研究复杂系统提供理论基础和实证应用途径[12–14]。为实现这一目的， 将复杂系统抽象成复杂网络通常是研究的第一步，也是后续研究网络结构和动力学的基础。

传统的复杂网络通常将系统中的主体抽象为节点， 主体之间的成对作用关系抽象为连边。然而，对部分复杂系统而言， 只利用这种成对作用关系进行建模并不合理。例如，一篇论文经常由多名科学家共同合作完成[15,16]，  完成一次新陈代谢需要多个反应物的参与[17]，一个社交群组往往包含多个成员间的互动[18,19]。在这些情况下，描述节点之间的作用关系需要超越成对关系， 建立具有高阶相互作用关系的网络模型， 即高阶网络[20–23]。

相较于成对交互作用网络，高阶网络不仅能更加精确地描述复杂系统的结构，而且可揭示系统中的一些新型动力学现象[24–30]。例如，在同步动力学领域，传统网络中的爆炸相变现象只在满足严格条件时才会发生[21,31]，而在高阶网络中这种现象却能自发出现；即使存在负耦合的情况下，高阶相互作用仍能有效地维持系统的同步，并且在系统中形成与网络结构有关的集群[32]；此外，高阶相互作用还有助于产生多稳态 [32,33]、嵌合状态 [34,35]以及混沌动态[32,33,36]。在传播动力学领域，传播过程可以在网络的高阶结构上发生，个体不但会受到其最临近邻居的影响，还会受到它所参与的高阶交互关系对它的作用，并且高阶传播还具有非连续相变的特性[28,37–40]。

网络结构是研究复杂网络的基础，结合统计量有利于定量化描述网络的结构特征。利用网络结构特征, 可以衡量不同网络结构对动力学的影响, 还可进行图分类[41]、重要节点挖掘[42–44]、链路预测[45–47]、社团检测 [48,49] 等信息挖掘任务；通过挖掘一些有共性的结构特征，也可以建立基于通用统计特性的模型网络[50–53]。然而， 由于高阶网络的结构复杂,其统计指标也相对复杂，同一类型的统计指标往往还存在多种定义。因此，刻画高阶网络的结构特征具有一定挑战性。现有高阶网络研究主要集中于度相关的指标、聚集系数、节点之间的距离、中心性指标、熵和与代数拓扑相关的一系列指标。这些指标既有从成对交互网络统计指标中拓展出来的，也有高阶网络的特有指标。本文首先介绍了两种最常见的高阶网络——超图和单纯形网络的基本定义，然后综述了这两类高阶网络中常用的统计指标及其物理意义，最后对于高阶网络统计指标的使用场景进行了总结和展望。

    二、高阶网络的基本概念     

高阶网络考虑了两个及以上节点之间的高阶关系，能够更全面地捕捉节点之间的复杂关联和多元交互关系。高阶网络的两种主要表示形式为超图(hypergraph) 和单纯形网络(simplicial network)[20,54]。

2.1 超图

相比于成对交互作用网络，超图可以表示点边之间的多元关联关系。超图可以定义为H = (V, E) ，其中 V 为节点集，每个节点被称为超节点 (hypervertex)；E 为边集，每条超边 (hyperedge) e∈E 由它所连接的节点组成，是节点集 V 的一个子集， 即 e ⊆ V，并且一条超边可以由任意数量的节点组成。使用超图表示高阶网络不受闭包特性的限制，例如，超图的一条超边 e, e′ 是 e 的子集，e′ 不一定是超图的超边。如果一个超图中的每条边都恰好包含 d 个节点，则称此超图为 d-均匀超图 (d-uniform hypergraph), 表示为 d-H。图 1 是两类超图的简单示例：图 1(a) 是一个普通超图，其中包含了11个超节点和7条超边；图 1(b) 是一个 3-均匀超图，包含 9 个节点和 4 条超边，并且每条超边中都包含 3 个超节点。

图1  两种不同类型超图的简单示例 

(a) 一个拥有 11 个节点的超图；(b) 一个拥有 9 个节点的 3-均匀超图

2.2 单纯形网络

单纯形网络是另一种常用的高阶网络表示方式，它基于代数拓扑的单纯复形 (simplicial complex) 思想，用单纯形 (simplex) 来表示高阶网络中的节点交互关系。因此，单纯形网络也可被认为是一个由若干个单纯形组成的单纯复形，其维度是其中最高阶单纯形的阶数。一个 k 阶单纯形由k + 1 个节点组成，例如节点为 0 阶单纯形，边为 1 阶单纯形， 三角形为 2 阶单纯形，四面体为 3 阶单纯形。相比于超图， 单纯形网络有更严格的数学定义，每个单纯形都要满足闭包性，即一个 k 阶单纯形不仅包含 k 阶交互关系，还包含组成该单纯形的 k + 1 个节点所能组成的所有低阶单纯形。单纯形网络的构建方式主要有两种，一种是将高阶交互数据构建为单纯形，另一种是将传统成对交互作用网络中的团 (clique, k 阶团为 k + 1 个节点组成的全连通子图) 结构抽象为单纯形。

2.2.1 基于高阶数据的单纯形网络

利用高阶交互数据可以构建单纯形网络，如图 2(a) 中每个时间戳对应的数据都表示一个单纯形，利用这些数据可以构建出图 2(b) 所示的单纯形网络。基于单纯形网络可以提取出一个骨架/投影网络 (skeleton/projected network)，该网络由原网络中所有的 0 阶单纯形和 1 阶单纯形组成，是一个成对交互作用网络。基于这个网络可以计算出所有的团结构，借助单纯形网络中的高阶信息可以把这些团划分为开团 (open clique) 和闭团 (closed clique)：如果一个团的所有节点都在同一个单纯形内，则该团为闭团，否则为开团。例如，图 2(b) 中的(1, 4, 5) 3 个节点组成了一个闭团，对应图 2(a)单纯形数据中的 t2 时间戳；(5, 9, 10) 组成了一个开团，因为这1 个节点没有同时出现在任意一个单纯形中。

图2 单纯形网络相关示意图

 (a) 一组时序高阶交互数据； (b) 一个 11 节点的单纯形网络

 (c) 基于图 (b) 中单纯形网络的骨架网络； (d) 一个 11 节点的团复形网络

2.2.2 团复形网络

将成对交互作用网络中的团结构抽象为单纯形可以构建团复形 (clique complex)。对于给定的一个由节点和连边组成的成对交互作用网络, 计算网络中所有的团结构, 再将每个 k 阶团视为 k 阶单纯形, 可以得到这个网络所对应的团复形网络，也是一个单纯形网络。如图 2(c) 所示的这个成对交互作用网络，可以计算出其中包含 11 个 0 阶团 (节点)、16 个 1 阶团 (连边)、2 个 2 阶团 (三角形)、 1 个 3 阶团 (四面体)，将这些团看作对应阶数的单纯形就可以得到如图 2(d) 所示的团复形网络。团复形网络满足单纯形网络的所有性质，同样满足闭包性，并且其中任意两个单纯形的交集只有空集或团复形集合中的子集两种情况，生成团复形网络的原始成对交互作用网络即为其骨架网络。

基于高阶数据的单纯形网络和团复形网络的主要区别在于：基于高阶交互数据生成的单纯形，其节点之间存在真实的高阶交互关系；而团复形中的单纯形是基于对应阶数的团生成的，即是基于一个成对交互作用网络生成的，节点之间不一定存在真实的高阶交互关系。因此，两个网络的应用场景不同，基于高阶数据的单纯形网络通常被用来探究具有高阶交互关系的复杂系统的特性和动力学；团复形网络则用于为传统的成对交互作用系统提供更高阶的向量空间或高阶视角，以研究高阶结构在网络中的作用和功能。

具体而言，基于高阶数据的单纯形网络更多的是探索网络中的动力学行为的研究。例如，在高阶传播中，研究者提出了多种单纯形网络上的传播模型[28,29]，也有研究分析了高阶相互作用的引入为网络动力学带来的新特性[63]，单纯形网络还可以用于研究网络中的振荡和同步现象[26,64]。此外，在高阶网络重构[65]、高阶链路预测[66]等多种领域也有广泛的应用。团复形网络常用于高阶结构相关的研究， 包括团、洞等高阶结构的计算[67]，以及探索脑网络中的高阶结构对大脑认知和信息传播的影响等 [68,69]，也有研究者提出团复形网络的生成模型，进行高阶网络建模和分析[70]。不过，无论是用高阶交互数据构建的单纯形网络，还是由成对交互网络构建的团复形网络，其最终的形式都属于单纯形网络，后续介绍的基于单纯形网络的统计量均可使用。

    三、基于超图的统计指标     

本节对超图的一些核心统计指标进行了全面的概述。这些指标在超图分析和应用中起着至关重要的作用，有助于更深入地理解超图的结构和特性。表 1 列出了这些指标的概览，涵盖了多个维度。其中，度相关指标是描述超图中节点连接情况的基础指标，它反映了节点在超图中的直接连接情况，对于分析超图的连通性和复杂性具有重要意义。其次，介绍了关于节点的局部聚集系数和关于网络整体的全局聚集系数，能够揭示超图中节点群聚的紧密程度，对于理解超图的结构特性具有重要意义。此外，本节介绍了考虑多方面因素的超图节点距离的度量方式，以及反映连边或者网络连接紧密程度的密度指标。另外，曲率作为超图的一个几何特性指标，能够揭示超图的形态和弯曲程度，在超图嵌入和形状分析等领域具有广泛应用。本节还介绍了几种可用于衡量超图中节点的重要性和影响力的中心性指标。最后，熵作为信息论中的一个重要概念，也被引入到超图分析中，通过描述超图中信息的不确定性和复杂性，来量化超图结构的复杂性。这些指标为全面而深入地分析超图结构和特性提供了工具和方法。

关于本节的详细内容，请参见论文原文。

    四、基于单纯形网络的统计指标   

本节对单纯形网络的重要统计指标进行了综述，指标概览如表 2 所列，主要从度相关指标、路径和距离相关指标、中心性指标、聚集系数和拓扑不变量等多个维度展开。首先，度相关指标详细地综述了关于单纯复形不同的邻接状态的捕捉方式，并定义了对应度值的计算方法；关于单纯形网络的路径，本节介绍了两种游走的方式，根据定义的路径可以进而计算出距离、离心率和直径等相关指标；对于中心性指标，本节也介绍了基于度定义的中心性指标以及结合路径的一些常见的中心指标的扩展；关于聚集系数，本节介绍了基于单纯形网络中节点的聚集系数和两种关于单纯形的聚类系数；最后，介绍了关于拓扑空间内描述单纯复形特征的拓扑不变量在单纯形网络中的相关指标。

关于本节的详细内容，请参见论文原文。

    五、总结     

本文详细阐述了超图和单纯形网络这两类高阶网络的基本概念，并系统综述了在这两类网络中常用的统计指标及其物理意义。高阶网络的统计指标具有广泛的应用场景。它们能够更准确地量化描述各类复杂系统的结构信息，进而揭示其内在的演化规律。具体而言，在超图的实证分析中，统计指标的应用尤为重要。由于超图中超边的基通常存在较大差异，如何更细致地考虑结构因素来定义或拓展相关统计指标，成为未来研究的一个重要方向。同时，如何在大规模超图中实现这些统计指标的高效计算，也是亟待解决的问题。

单纯形网络的实证分析目前主要集中在网络的高阶度分布和高阶连通性研究上。未来，可以基于代数拓扑开发更多统计指标，或提出新的基于代数拓扑理论的方法以深入分析单纯形网络的结构特性。在网络信息挖掘方面，高阶统计指标如高阶距离的定义和高阶度的概念，可以进一步用于定义节点的中心性指标，从而评估网络中的关键节点。这不仅可以用于超边或单纯形的预测，还可以利用这些统计特性进行高阶社团检测、图分类等任务。在网络建模方面，可以构建保持网络特定统计特性的配置模型和零模型，或是根据演化特征构建生长模型。目前面向超图建模的研究相对较多，基于单纯形结构的模型开发是一个值得探索的领域。

此外，高阶网络的结构信息与动力学关系的研究也具有重要意义。利用高阶网络的结构信息或结构相关的模型，有助于我们更深入地理解高阶动力学。例如，基于统计指标构造的中心性指标可用于研究高阶网络中的传播能力，而高阶网络的结构相关模型则可用于高阶同步优化等动力学过程的研究。本文仅介绍了基于无向无权高阶网络的统计指标，因此，研究包含权重、有向和时序特征的高阶网络，将是一个极具挑战性的研究方向，对于这些网络的研究也有望提供更丰富、更深入的网络分析手段。

感谢中国科学技术大学范天龙博士对本文的讨论。

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