自然数集合的定义和表示
李鸿仪，Leehyb@139.com
摘要:讨论了自然数集合的常规定义及表示方法的缺陷并分析了造成这些缺陷的原因，给出了一种新的定义和表示方法，并讨论了其各种性质如自然数集合不是唯一的，无限自然数集合元素数目是一个无上界的自然数变量等。证明了无限集合不能与其真子集一一对应。消除了有理数与自然数一样多，又比自然数多的悖论。分别给出了能与有理数和实数一一对应的自然数集合等应用实例。
1自然数集合的常规定义和表示
通常将自然数集合定义为由全体自然数组成的集合，并表示为N={123...}。
2常规定义和表示的缺陷
这种定义和表示过于简单，容易引起各种混淆和矛盾，也无法做到自洽。
例如，假定有两个可以无限招生的班级，学生的学号当然都是自然数，根据自然数集合的常规表示，两个班级的学号都只能表示为{123...}，看不出任何区别。但如果规定其中一个班级(其学号用集合A表示)每招一个学生，另一个班级(学号用集合B表示)必须招二个学生，这种表示就会造成混淆:我们会误以为A和B是同一个集合，且两个班级的人数相同。
实际上，由于在任何一个时刻乃至永远，A的元素显然永远都只是B的元素中的一部分，所以A可以看作是B的真子集。由于两者都可以表示为{123...}，所以根据自然数集合的常规表示法，两者都是自然数集合，但显然并不是同一个自然数集合。由此可见。用{123...}表示的自然数集合并不是唯一的。自然数集合也不可能包含了所有的自然数:如果自然数集合包含了所有的自然数，A和B哪一个是包含了全体自然数的集合？
另外，如果在N中存在着也可表示为{123...}的真子集，常规表示法也无法区别它们和N的区别。
3造成上述缺陷的原因
虽然自然数是离散的，但每个自然数都是实数，所以对自然数集合的可靠研究只能在实数域内进行。然而
命题1在实数域内并不存在一个包含全体自然数的固定区间。
证明(反证法):假定存在包含全体自然数的固定区间，不妨以[1，a]表示之，则总能找到自然数m，使得m>a，即∃m∈N，m∉[1，a]，与假定矛盾，证毕
这就用反证法证明了不存在这样一个区间。
另一方面，通过加1得到无限个自然数的过程，也永远不会停止于某一个自然数而形成全体自然数。因此，如果我们希望在实数轴上找到一个能够包含任何一个自然数的区间，这个区间就只能是不固定的。例如，如果我们引入以下概念:
定义1 称一个其取值永远在递增的自然数的变量为自然数变量，用n表示。
命题2区间[1，n]包含任意一个自然数，即∀m∈N，m∈[1，n]。
证明，对任意一个自然数m，总存在变量n的取值，使n﹥m，从而使m∈[1，n]，证毕
这就证明了:只要n的取值足够大，这个区间就可以包含任何一个自然数，
但这里仍然要注意:
命题3区间[1，n]只能包括任意一个自然数，不能包括全体自然数。
证明:假定该区间可以包括全体自然数，则对n任意大的取值，总存在自然数m，使得m>n，即总存在这个区间没有包含的自然数，与假定矛盾。证毕
原因其实非常简单，自然数集合的元素是可以通过加1而无限增加的，"道高一尺，魔高一丈″，怎么可能把它们全部包括进去？
这里可以看到，在实数域内，虽然可以存在比任意一个自然数都要大的数，但不存在比全体自然数都要大的数。因此全称代词至少在这里只能解释为″任意一个"，而不能解释为"全体"或"所有"。"任意″不等于"全体"的另一个例子是我们可以把苹果园内任意一个苹果放入篮子，但并不能把全体苹果放入篮子。
所以，对自然数集合，我们只能将其定义为:
定义2包含任意一个自然数的集合，称为自然数集合。
而把自然数集合定义为包含全体自然数的集合这一常规定义实际上是无法成立的，这是常规定义会引起各种矛盾的根本原因。
4自然数集合的科学表示方法
根据定义1，定义2，自然数集合可表示成
N={123...n} (1)
用这种表示方法表示的自然数集合具有以下性质:
性质1:(1)可包含任意一个自然数但不能包含全体自然数。
这里还要注意，由于n的取值没有上界，所以
性质2:根据n的定义(定义1)，(1)中没有最大自然数，所以(1)是一个无限集合.
性质3:当且仅当自然数变量n1=n2时，{123...n1}与{123...n2}表示同一个自然数集合，所以一般而言，自然数集合不是唯一的。
性质4:用(1)表示的自然数集合的元素数目为n。
由此可见，这种表示方法解决了困惑数学界至今的所谓无限集合的元素数目问题:至少对于自然数集合，其元素数目就是变量n的取值。
从这里还可以看出，N的元素数目不是一个常数而是一个变量，所以不存在外延固定的自然数集合:
性质5:无限自然数集合的外延不是固定的。
5自然数集合的新的表示方法的应用
例1:用(1)可以很好地解释无限班级问题:
将A，B分别表示成
A={123...n}
B={123...2n-1，2n}
显然无限班级的问题就解决了:A，B并不是同一个自然数集合:对n的任意取值，A班的人数永远是B班人数的一半，B班中存在A班没有的元素:n+1~2n。
由以上例子可以看出，用本文的表示法可以很清楚地看出自然数集合常规表示法{123...}省略号里面有些什么东西，比常规表示法科学、清楚得多。
例2:证明N1={0}UN不能与与其真子集N={123...}一一对应。
证明:根据(1)，N1和N应该分别改写为
N1={0123...n}
N={123...n}
式中n是无上界的自然数变量。显然，无论n等于多少，N1和N永远不可能一一对应:N1中的n在N中永远没有原像。
这样，集合论中最重要也是最荒唐的所谓无限集合可以与其真子集一一对应这一定理自然也就不成立了。
该定理的错误，其实也是源于对省略号里面的东西并没有仔细考察所致。
根据性质3，所有误以为自然数集合是唯一的而导致的各种悖论和错误就都不再存在。
例如，最明显的悖论:自然数与有理数集合Q一样大(因为两者可一一对应)，又远比Q小(因为N只是Q的极小一部分)将不复存在。
康托的最大功劳之一，是确实在有理数集合和自然数之间建立了一一对应，但他的最大错误之一是错误地解释了这一数学事实，并进而得出无限集合可以与其真子集一一对应这一荒唐理论。如前所述，N只是Q所包含的一个极小的真子集，因此，Q所包含的元素数目必然远远大于集合N，两者之间不可能建立一一对应关系。然而，康托确实在Q和自然数之间建立了可靠的一一对应。这又是怎么回事呢？
在笔者之前，其实没有一个人能解释这件事情。但根据笔者所提出的自然数集合的非唯一性，这个事情就很容易解释了:与Q一一对应的那个自然数集合并不是Q所包含的真子集N，而是另外一个自然数集合，不妨用N2表示。
例4构造与有理数一一对应的自然数集合N2。
为此，我们先假定N仍然用(1)表示并设与单位区间[0，1)内的有理小数一一对应的自然数集合为N3={123...n3}，则由于实数轴上有n个用自然数隔开的长度为1的单位区间，每个区间有n3个有理数，所以N2={123... .n*n3-1，n*n3}
显然，N2是比N大得多的自然数集合。这样，这个悖论就完满消解了。
同理，笔者以前的博文证明了[0，1)内的实数可与自然数集合一一对应:随机取区间内的一个数，将其与1对应，再随机取另一个数，将其与2对应.....
例5构造与实数一一对应的自然数集合。
设与单位区间[0，1)内的实数一一对应的自然数集合为N4={123...n4}，则由于实数轴上也有n个用自然数隔开的长度为1的单位区间，每个区间有n4个实数，所以共有n*n4个实数，与其一一对应的自然数集合为{123...n*n4}，显然也是比N大得多的自然数集合。
例6证明可将N1中的零元素通过与相邻元素交换位置移到最右边:N1={123...0}。
将N1写成{0123...n-1，n}，即可通过与相邻元素交换n次位置移到最右得
N1={123...0}。
该例子使得笔者上一篇博文中定理1的证明变得更加扎实。
例7证明N中包含的子集序列
{1}，{12}、{123}...{123...}
中最后一个子集N前面的子集也是无限子集。
分析:该子集序列的规律是每增加一个子集，子集的元素就要增加一个。根据该规律，最后一个无限子集N的前一子集的元素数目应该比N少一个，但用常规表示方法，显然仍然只能表示为与N毫无区别的集合{123...}，于是误导人们认为该序列只有一个无限子集N。
显然这种认识不符合上述规律，于是有了该题。
证明，假定N的前一个子集不是无限子集，而是有限子集，那么，该有限子集的元素数目再增加一个，就变成具有无限个元素的N，与该子集序列的规律矛盾，从而证明了N前面的子集也是无限子集。证毕
事实上，如果采用(1)表示上述各子集，就可以表示为
{1}，{12}、{123}...{123...n-1}，{123...n}，
这样，该序列中包括无限子集在内的所有子集就可以都表示出来了。
6总结
讨论了自然数集合的常规定义及表示方法的缺陷并分析了造成这些缺陷的原因，给出了一种新的定义和表示方法，并讨论了其各种性质如自然数集合不是唯一的，无限自然数集合元素数目是一个无上界的自然数变量等，证明了无限集合不能与其真子集一一对应，消除了有理数与自然数一样多，又比自然数多的悖论，还给出了能与有理数和实数一一对应的自然数集合等应用实例。
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