未来主流数学界的实数理论探索
leehyb@139.com1引言现代实数理论的不自洽和错误世界是在不断发展的，理论也是在不断成熟的。因此，所谓主流观点，也是在不断变化的。例如，在石器时代，如果也有理论的话，那时候主流观点和现在的主流观点肯定是不同的。相反，如果从石器时代开始就认为主流观点是一定正确的的，那么我们现在还停留在石器时代。如果认为自己属于主流数学界并感到自豪，实际上是一种保守，没有敏锐的观察能力和开拓精神的表现。相反，能够发现目前主流数学界的缺点并加以改进才是有创造性的表现。实数理论是数学分析，概率论，实分析等数学学科的基础内容。目前的实数理论由于引入了一些并不总是合理的假设而无法完全自洽且存在反事实的错误。例如，在《几何原本》中，把点定义为没有部分即没有大小的东西，虽然是一种抽象，但任何抽象的本质不过是一种简化和近似，而在某种情况下很合理的近似在其他情况下未必一定合理。例如，在几何面积的计算中，点的大小确实可以不予以考虑，这时把点抽象为没有大小是合理且方便的。但在实数理论中，这种抽象却会导致各种问题。例如，如果把点的大小（测度）定义为零，就会导致取任意一个点的概率为零这一反事实的错误。为了解决这个错误，现代的数学不得不给出另一个更明显的错误来解释：概率等于零不等于不可能。这种用明显是更大的错误来掩盖错误的思路显然只会把问题弄得越来越复杂，把理论搞得乱七八糟。再例如，电子虽然很小，但本身是有体积的，当把它看作没有大小的点，就无法解释为什么电子能够通过厚度和几率密度均为零的节面。但实事求是地将它看作是有大小的点，就不会出现这种矛盾：概率密度为零的节面的厚度既然为零，有大小的电子穿过时，就必须对其进行积分，得到的概率就不为零（见注1）。还有一个因把抽象思维绝対化而导致错误的例子，是引起所谓第二次数学危机的无限小问题。包括抽象方法在内的各种非精确方法，都是有适用条件的，不能一概而论。例如，当我们把一个很大的数和一个很小的数相加减的时候，这个很小的数是可以忽略不计的，例如，当n→∞时，n+1/n→n，把1/n看作0，并没有什么问题，但对n（1/n），无论n多么大，把1/n看作0，都十分荒唐可笑。所以，一个数和无穷小相加减，这个无穷小就可以看作零，即使有误差，这个误差也是无限小的。然而，如果把这种近似方法绝对化，认为在任何情况下无穷小永远可以视作零，就会出问题。由此可见，任何非精确的方法，包括抽象方法或者各种近似方法，都是有适用条件的，不能够绝对化。如果清楚了这一点，哪里存在贝克莱悖论？事实上，任何悖论都是因为人类的思维的不严格造成的，本来根本就不存在！2重建实数理论2.1实数的定义，有理数和无理数在实数轴上，任取一点定义为零点后，任何一个非零点与零点的距离，定义了一个实数。这个距离既可能用有理数（整数之比）表达，也可能用无理数（非整数之比）表达，因此，实数可能是有理数，也可能是无理数。上述距离都是存在的，因此实数轴上的实数点也是存在的。这里其实已经用最简单，最清楚的方法定义了实数（有理数+无理数），并证明了其存在性。2.2实数的完备性和连续性由于我们找不到一个非零坐标与0点是没有距离的，也就是说，我们用最简单清楚的方法证明了实数轴是无间隙的。这种特性在数学上称为实数的完备性和连续性。任何理论都不过是用来描述和解释事实的。一般来说，越是清楚简单的理论，其隐藏错误的可能性越小，因此也越可靠，越容易深入研究。相反，越是复杂的理论，其隐藏错误的可能性就越大，也越难以深入研究。本文提出的理论应该是所有理论中最简单可靠的。2.3单点的测度既然在很多情况下把点的测度定义为零，都会导致错误，就有必要严格计算点的尺度究竟为多少？以下将通过古典概率的定义来严格计算单点的测度。下面我们先做一个思想实验，将点从零往1逐渐等速移动， 很容易观测到每一位小数都在0~9之间变化，具对每一位小数（例如第一位小数），整数0~9出现的频率相等。当然，小数位数越多，变化的速度也越快。这个过程可以与水表或电表的数字变动相类比，区别仅在于①电表显示的通常是整数，需要将每个数除以一个大数（例如电表的最大量程）才能转化为小数，②电表的位数是有限的，需要将位数n趋于无限。显然，这是一个遍历所有实数点的思想实验。为讨论方便，当小数位数n→∞时，取得单点的概率P→Lim 10^（-n）=0， 为一趋于零但不等于零的变量即无穷小量。由于P的具体数值只与小数位数有关，而与小数形式无关，也就是说，无论是形如0.100000……的有理小数还是形如√2-1的无理小数，其P值都是一样的。以0.10000……为例，第一位小数在0到9中取1的概率为1/10，其余小数在0~9中取零的概率也为1/10。由此，我们已经得到，在实数轴上取得任一单点的概率都是一样的，因此，实数点在[0，1]区间上是均匀分布的， 根据均匀分布的概率密度（=1）可知，单点的概率与单点在区间上的长度（测度）恰好相等，这样我们已经证明了单点的测度为P（≠0）。有了以上结论，一切都变得非常简单且完全自洽：区间上点的数目为1/P=无穷，区间的长度等于点的数目乘以点的测度=1/PxP=1。不但不存在单点概率为\零等等各种无法自洽的矛盾，而且可以解释很多事实。例如，总样本数n→∞时的Lim 10^n中同时包括有理数和无理数，但由于有理数要求某一位以后全部都是循环节（0也视作循环节），其约束较强，所以其样本数比完全没有约束的无理数要少得多。因此，有理数在实数中的占比比无理数要小得多。 由于对有理数来说，能够在0和9之间自由取值的小数（称为自由小数）位只有有理数的不循环部分（设有i位）和第一循环节（设有l位），即共有m=i+l位自由小数，而m位自由小数共有10^m个样本，除此以外的小数部分都是循环部分。循环部分既可能是一位循环，也可能是两位循环…最多到m位循环，故有m位自由小数的有理数最多有mx10^m个样本，去除其中可能有的重复部分，有m位自由小数的有理数不超过mx10^m。例如，m=1时，由于循环节l至少有一位，故不循环部分i=0，由此可得的小数只有0.000…0.111…~0.999…10个，m=2时，有i=0，l=2 和i=1， l=1这两种可能，i=0，l=2时的小数有0.00…，0.010101，0.020202…~0.989898…，0.999…共100个，i=1，l=1时的小数有0.00…，0.01111，0.02222…~0.98888…，0.999…共100个。这里不难发现，m=2的有理小数包含了m=1的有理小数。例如，0.11111…既是m=1的小数，也是m=2（i=0,l=2）的小数。这样总样本中有理数的总样本不超过mx10^m个。虽然m也可以很大，但对无理数来说，n永远是无限的，据实数的定义：无理数加有理数，实数的样本数中包括了有理数的样本数。从遍历实验中也可以看到：每一个有理数都出现在遍历实验中。因此，有理数的样本数占实数的样本数的比例小于mx10^m/10^n。由于m虽然可以很大，但n是无限，所以上述比例是一个无穷小量。这就证明了，有理数在实数中的占比是无穷小，同时证明了，虽然取到的有理数和无理数的单点概率相同，但由于无理数比有理数要多得多，实际上每次取数得到无理数的概率比得到有理数的概率要大得多。这样，我们不需要可数和不可数的理论，就可以证明有理数的总测度为无穷小。
事实上，在现代测度论中，所谓实数的可数和不可数理论是不可或缺的。然而，以下将证明，该理论是不成立的，现代测度论整个都错了。2.4实数的可数性根据以上所述的均匀分布和满射和单射的定义，很容易证明实数轴上的实数是可数的。设函数 f:A→B 是从集合 A 到集合 B 的映射。单射定义，若对于任意 a, b ∈ A，当 f(a )≠f(b）时，必有 a≠ b ，则称 f 为单射。满射定义：函数 f:A→ B 是满射，仅当对任意 y∈B，存在 x ∈A 使得 f(x) = y。现设集合A是自然数集合{1，2，3……}集合B是区间[0，1]内的随机数组成的集合，f:A→B 是从集合 A 到集合 B 的一个映射。由于在该区间上取得任一实数的概率相同，现在我们在B内任取一数，将其看作A中的1的函数，则该随机数可表示为f（1），然后我们在B内任取另一数，将其看作A中的2的函数，则该实数可表示为f（2）……，由于每次取得数都与以前取过的随机数不同，对应的自然数也必然不相同，因此对于任意 a, b ∈ A，当 f(a )≠f(b）时，必有 a≠ b ，符合单射的定义，所以f是A→B的单射函数。又，由于在区间内取得任意一个数的概率相等，因此，不存在一个数是取不到的，而一旦取到该数，必然可以与一个自然数对应，即对任意 y ∈B，存在 x ∈A 使得 f(y) = b，符合滿射的定义。所以1上述映射f是自然数集A到实数集B的双射函数。证毕我在前一篇博文（对角线论证成立的充分必要条件）中已经证明，对角线论证并不是无条件成立的，而是有一定条件的，而这个条件是不可能满足的，所以，用对角线法并不能证明实数不可数。事实上，任何试图证明实数可数的企图都是错误的。由此引起的一系列错误也都会被纠正。对此，该博文已经有所涉及。例如，结合康托定理可以证明，自然数集合不是唯一的。而根据这种非唯一性，包括伽利略悖论在内的所有反直觉的悖论，都将不再成立。
3总结现代的实数理论建立在点的测度定义为零且实数是不可数的基础之上。由于这两点都错了，所以现在的实数理论无法自洽：不但无法解释为什么取单点的概率不等于零，实际上也无法解释为什么测度为零的点可以组成测度不为零的线段？本文用古典概率的定义证明了单点的测度和取单点的概率均为不等于零的无穷小，同时证明了实数是可数的，这些问题都得到了完满的解决。如前所述，一般来说，越是简单清楚的理论，隐藏错误的可能性越小，因此，也越容易深入讨论。相反，复杂的理论，则很可能隐藏着错误而不被发觉，简单的问题都会搞错，惶论深入研究？所谓实数不可数，只是其中一个例子。另一个例子是戴德金的所谓第三类分割与无理数一一对应的理论。 在遍历实验中，我们不难发现并已证明，由于有理数要求某一位以后正好全部为循环节（包括零），因而实验中出现的大量样本中正好出现这类数的机会是极为稀少的，这一点，只要想象一下，无限位的水表正好出现0.1000…的可能性有多么少就知道了。由于任何有理分割是由有理数唯一确定的，因此，在遍历实验中，如果不出现新的有理数，有理分割就不会变化，也就是说从一个有理分割到另一个有理分割之间，必然存在着大量的无理数， 即每一个第三类分割可以对应多个无理数，既然如此，第三类有理分割怎么可能与无理数一一对应呢？从以上分析还可以看到，所有有理分割是不可能比有理数本身更多的，第三类有理分割更只是所有有理分割中的一部分，如果第三类有理分割可以与无理数一一对应，这就意味着数轴上有理数比无理数更多，显然。这不符合事实和本文的结论。因此，戴德金分割的证明中，必然隐藏着错误。事实上，在戴德金分割的推导中，其实隐含了如下假定：任意两个无理数之间都可以插入无限多个有理数。当这两个无理数相距有限近时，这一点当然是对的。但是当这两个无理数相距无限近时，不难证明是错的：假定这一点是对的，则对这两个无理数加上插入的有理数作一统计，就会得出无理数的数目远不如有理数多，与遍历实验和前述的理论分析矛盾，而且也明显与人类的常识相违背。如此明显的错误，居然100多年来无人质疑，足可见人类的批判性思维能力急需大辐提升。世界是在不断发展的，从未来看现在，或许就像一个外星人看地球人，或者像大学教授看一个幼儿园的小朋友，虽然天真可爱，但也充满了幼稚、笨拙和错误。注：记得我在读大学本科（77级）的时候，老师是把这个作为量子化学的一个悖论介绍的，我在课后与老师的讨论中提出了我的想法，结果老师把我的想法拿到物理系和数学系去讨论，都认为我是正确的。后来其他学科的老师碰到一些学术问题也会主动与我来讨论。由于我那时已经具备了一定的科研能力，本科毕业时我觉得我应该可以直接发表SCI论文了，没有必要再读研究生。而且当时放眼望去，未必找得到一个人，真正有资格做我的导师。后来的事实发展证明我是对的。80年代末，我就发表了我的第一篇Sci论文，后来还成为SCI多产作家，在那个时代，即使是是科学院院士，也不一定能够发表纸质的SCI论文。
转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自李鸿仪科学网博客。
链接地址：https://wap.sciencenet.cn/blog-3425940-1492462.html?mobile=1
收藏
