数学分析对于无限旅馆悖论的解决

数学家希尔伯特在解释康托的无限集合可以与其真子集一一对应这一证明时，形象地用无限旅馆这一悖论来比喻该证明。这个悖论早已家喻户晓，本文就不再详述。

无限旅馆的结果是一个已经客满的无限旅馆，再加一个旅客后，仍然可以往得下。

如果已经客满就不应该再往得下，既然往得下，就应该还没有客满，即客满又没有客满，显然是自相矛盾的。

包括数学在内的任何科学都不允许任何自相矛盾，但在集合论内部，这个矛盾至今没有解决，甚至有人不得不把自相矛盾合法化，认为是无限的特点，说明集合论在无限问题上的基础并不牢靠。

为此，可以设法在集合论外部来解决这个问题。

数学分析是高度可靠的，数学分析对无限过程的描述是任意大的有限值，即无上界的有限值。例如n→∞时，n是有限值，但其增加无上界即没有最大的自然数。

由于数学分析高度可靠，所以数学分析在无限问题的上述处理也必然是高度可靠的。例如，可以这样定义高阶无穷大

高阶无穷大:n→∞时，若数列lim an=∞，lim bn=∞，且lim [an/bn]=∞，则称an是bn的高阶无穷大。
   为了更精确地比较无穷数列的大小，补充定义如下，
    n→∞时，若lim(an-bn)=0，则称lim an=lim bn, 若lim(an-bn)>(或<)0，则称lim an>(或<)lim bn;

现在假定。旅馆有n房间，旅客有n+1个，当然是住不下的。显然n→∞时，lim n=∞，lim(n+1)=∞，根据定义：lim(n+1-n)=1>0，即无穷多个旅客仍然比无穷多个房间多（多1），仍然客满，毫无矛盾！

    由此可见，在集合论中把人们搞得神魂颠倒的无限问题，用数学分析一分析，那么简单，简直就是幼儿园题目！ 

从这个例子可以看到，如果把旅客数或房间数看做是无限集合的元素数目，那么用数学分析是完全可以简单，精确，严格地比较无限集合元素数目的多少的。康托显然并没有找到这个原本非常简单的方法，所以才找到了一一对应这一方法来比较无限集合元素的多少。严格的一一对应原本也可以精确地比较无限集合元素数目的多少，问题在于康托虽然是数学家，但是同时也研究数学哲学，而且没有把两者严格地区分开来，经常把把哲学中的一些虽然富有创造性，但过于随意而不严格的思维方法用到数学上，造成了其思维的随意性和不严格性，从而把一一对应的概念搞错了(以后另文叙述)，且一差十万八千里，从而导致了康托式一一对应的高度不可靠。无限旅馆问题仅仅是其高度不可靠的一个典型例子。另一个典型例子是有理数和自然数的数目比较。有理数远远多于自然数，这不但是直觉，而且也是可以严格证明的:任何一个自然数都是有理数，但并不是任何一个有理数都是自然数,

有理数的数目=自然数的数目+负整数的数目+正负分数的数目>自然数的数目

因此包括小学生在内的任何一个有正常思维能力的人都不会认为自然数的数目和有理数是一样多的， 但康托却在两者之间建立了康托式一一对应，该事实充分证明:康托式的一一对应完全不能用来比较无限集合元素的多少，既然如此，这种一一对应及其以此为基础的基数概念还有任何其他数学意义吗？能用于解决任何实际的数学问题吗？

更有甚者，还有人把高度不可靠的一一对应当作可靠的逻辑证明，当其推导结果和事实发生冲突的时候，就说什么逻辑是可靠的，事实是不可靠的云云。比如说，既然有理数与自然数之间可以一一对应，就说明有理数和自然数是一样多的，所以认为有理数比自然数多，是不可靠，甚至是错的，这可真是是非不分、颠倒黑白啊！

如此简单的事实，数学界到现在还没有认识到，反而还要津津乐道康托的伟大？

现在的数学界，学生们读书的时候，教材和老师们就不顾事实地说康托怎么怎么伟大，弄得没有一个人敢对康托的理论有任何的质疑。在这种不正常的学术氛围下，学生们连最简单的事实都不敢承认，实际上已经彻底被反智化了！如此的教育，是在培养人才还是在摧残人才？有关部门是不是应该出面加以干涉？

在笔者重建的集合论中^[1,2]，不再采用高度不可靠的康托式一一对应及其基数理论。

[1]https://vixra.org/abs/2210.0144

[2]https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1326712.html