希尔伯特对康托非常赞赏，为了形象地解释康托的一一对应方法，他提出了所谓的无限旅馆悖论：

假设有一个拥有无限多个房间的旅馆，且所有的房间均已客满。设想此时有一个客人想要入住该旅馆。由于旅馆拥有无穷个房间，因而我们可以将原先在1号房间原有的客人安置到2号房间、2号房间原有的客人安置到3号房间，以此类推，这样就空出了1号房间留给新的客人。

既然已经客满，当然不可能再住进人，但是现在却可以住进人了，显然形成了悖论。

所谓一一对应方法，就是如果两个集合的元素能形成一一对应关系，就说明这两个集合的基数是一样的。

这个基数概念其实很不明确。在康托的原著中，所谓基数是指集合去掉元素的性质和元素排列后留下的东西。显然，这时留下的东西只有元素的数目。因此，通常就把基数理解为元素的数目：只有当两个集合的元素数目相同时，去掉元素的性质和排列次序后，它们才会完全相同。

我曾经说过，概念的定义要明确，否则很可能留下隐患。以下可以看到，这里其实就留下了隐患。

该原则用在有限集合时一点问题都没有，但将其冒然推广到无限集，则既不严格也不严肃：所谓推广，就是从特殊到一般。从逻辑的角度看，像归纳法一样，如果没有充分的理由，从特殊到一般的推理并无可靠性可言。

如果这种推广出现了悖论，实际上已经反证了这种推广是错误的。

原因其实也很简单，像在花瓶悖论中一样，由于无限集的元素不可穷尽，所以我们在研究无限集元素的时候，其实只研究了其中一部分，所得到的结论，并非一定能推广到全部元素。或者说在我们视野中的任意两个元素可以形成一一对应关系，并不保证在我们视野外的全部元素都可以形成一一对应关系。以小见大，本质上不过是井蛙观天而已。

所谓无限集可以与其真子集之间建立一一对应关系，也是一个反证：根据真子集的定义可以知道，既然真子集的元素只是无限集元素的一部分，无限集的元素必定是比其真子集的元素更多的，但两者却可以建立一一对应关系，难道不正说明了如果两个无限集合之间能建立一一对应，并不意味着他们的元素数目相等吗？

我曾经说过，所谓悖论就是自相矛盾，是严肃的科学所绝对不能容忍的。然而，堂而皇之地在数学中引入悖论，不以为耻，反以为荣？数学最起码的是非观和审美都没有了？

如前所述，所有的悖论都是因为概念、思维不清楚造成的。因此，只要概念、思维不清楚，就可能会有悖论。而一旦把概念和思路理清楚，消灭了错误，悖论自然就消除了。

 一旦用一一对应方法比较无限集元素多少的这一方法被证伪，康托理论中大量反直觉的悖论就都会消失，当然，康托理论本身能剩下的东西也不多了。

非诚勿扰有一个自称是数学家的男嘉宾被女嘉宾们集体灭灯，主持人说你以后最好不要说自己是数学家。
穷则思变，其思维往往连小学生也不如的数学家们难道不想改变自己在人们心目中的形象吗？

我在一篇质疑康托对角线的文章中说（该文已通过某著名国际数学期刊的初审，正在外审中）：

自从皮亚诺（1858-1932）、戴德金（1831-1916）、康托（1845-1918）、希尔伯特（1862-1943）、罗素（1872-1970）等人在数学基础上引入了一些逻辑循环和自相矛盾的东西后，人们似乎逐渐适应了这些不严格的东西，对自相矛盾和逻辑循环失去了应有的敏感性。

.......

如果这种现象不能得到彻底改变，数学的发展势必会式微，数学在科学界的地位也将逐渐被边缘化。例如，现在已经有大学的数学系被撤消，这种现象在未来可能会逐渐变得普遍。 和其他学科相比，数学期刊的影响因子也不是很高，以后还可能会越来越低。

为此，消除数学基础中的大量错误，加强严格思维能力的培养，是一项紧迫的任务。

           我这样批评数学界，或许有点苛刻，其实只是恨铁不成钢而已。

历史将如何发展？拭目以待吧！