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非线性直线方程典型应用：陀螺随机游走

2024-6-2 18:00

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非线性直线方程描述的是“瞬时速度=白噪声”的连续随机运动现象，这类随机现象在自然界和人类社会实践活动中广泛存在，如布朗粒子的无规则运动、陀螺随机游走误差、股票价格波动和表面微观轮廓等等。

陀螺仪是一种能够精确测定运动物体方位角、角速度和角加速度的角运动检测装置，它是现代航空、航海、航天和国防工业中广泛使用的一种惯性导航仪器，以便驾驶员或自动导航仪来控制飞机、舰船或航天飞机等航行体按一定的航线飞行，或在导弹、卫星运载器或空间探测火箭等航行体的制导中，直接利用陀螺仪的测量参数来完成航行体的姿态和轨道控制。

图1（a）为陀螺仪角位移（Angular displacement）输出信号中的角度随机游走ARW（Angular Random Walk）误差，角度随机游走ARW会随时间的累计不断变大，成为影响航行体导航精度或制导精度的一项主要误差。陀螺仪每次启动运行时，均会产生不同的角度随机游走，图1（b）为陀螺仪启动运行100次时产生的100条随机游走曲线，这100条随机游走曲线与物理学中的布朗运动位移曲线具有相同的统计特性：在同一时刻服从（0，σ²t）正态分布。

陀螺随机游走.png

图1 陀螺角度随机游走ARW

图1（b）的多次陀螺随机游走观测结果表明：陀螺随机游走完全符合爱因斯坦布朗运动扩散方程的浓度正态分布规律，因此，陀螺随机游走具有与布朗运动相同的数学特征及规律。

图1（a）的单次观测结果统计分析结果表明：陀螺随机游走不服从正态分布，与《随机过程》教科书“布朗运动位移服从正态分布”的基本假设冲突。

陀螺仪的角位移信号输出是通过对角速度测量信号的积分获得的（图2）。由于电路噪声的存在，角速度测量信号中含有白噪声n(t)信号，观察实验结果表明：陀螺角度随机游走ARW是白噪声n(t)通过积分器后产生的随机信号，也就是说：随机游走或布朗运动的瞬时速度为白噪声，这与爱因斯坦的布朗运动假设和李统藏的布朗粒子瞬时速度实验观测结果完全相符，但与《随机过程》教科书的“布朗运动瞬时速度无穷大（布朗运动路径处处不可导）”著名论断不符。

陀螺随机游走2.png

图2 角度随机游走ARW产生机理

在《IEEE Standard Specification Format Guide and Test Procedure for Single-Axis Laser Gyros（IEEE 647-2006）》国际标准和中华人民共和国国家军用标准《光纤陀螺仪测试方法（GJB2426A-2004）》中，角度随机游走ARW就是用图2中的白噪声积分（非线性直线方程）定义的。

由于《随机过程》教科书的 “布朗运动位移服从正态分布”基本假设和“布朗运动瞬时速度无穷大（布朗运动路径处处不可导）”逻辑结论均与客观事实不符，无法正确描述并解决陀螺仪中的角度随机游走ARW问题，工程师们不得不抛弃由数学家们建立的《随机过程》布朗运动理论，利用图2所示的非线性直线方程对角度随机游走ARW进行数学建模和实时补偿，成功地解决了飞机、舰船、火箭、卫星、宇宙飞船和导弹等航行体的精确导航和精确制导问题。

结论：《随机过程》教科书的布朗运动基本假设（公理）即将面临从“布朗运动位移服从正态分布”到“布朗运动瞬时速度为白噪声”的重大范式转换，导致《随机过程》整个理论体系和结构发生革命性的演变，使人类认识随机运动现象的思维方式产生重大变革，为中国的随机过程学科进入世界一流前列提供了千载难逢的历史性发展机遇。

参考：

[1] 你见过非线性的直线方程吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1434931.html

[2] 非线性直线方程的物理意义

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1435103.html

[3] 非线性直线方程的哲学意义

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1435351.html

[4] 非线性直线方程的自相关函数

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1435492.html

[5] 非线性直线方程的系统模型及频域特性

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1435627.html

[6] 非线性直线方程的功率谱密度及分形特征