形态几何最初的起源灵感与最优传输理论密切相关。

当我研究电脑围棋时，发现：

围棋不仅仅是通常的“数量投入的博弈”，

而且是“形态构造”的博弈，

其中必有数学原理，且必然和形态关系密切相关。

曾经获悉顾险峰老师在开设最优传输理论的公开课，

而最优传输理论讲的就是形态的整体变换的最优决策问题，

于是，就带着“去探险发现形态几何”的目的加入了学习。

一晃就是5年过去了，

如今，终于在理论上找到了门路。

以下是对顾险峰老师第一节课的开场白的打通理解的笔记：

 最优传输映射的几何观点第一讲(顾险峰课程实录理解)

概述

这个系列讲座主要讲最优传输的理论与计算。

最近最优传输在深度学习领域，还有其他工程和医疗领域应用非常广泛。

最优传输映射就是

研究如何用最经济的方式，将一个概率分布变换到另外一个概率分布。

举例

一个水杯里有某种溶液，比如盐的溶液。

这个溶液的分布浓度并不是均匀的。

如何找到一种变换，可以把水中的每一个分子变到另外一个分子的位置，

使得它的这个浓度变得均匀，同时使得这个总的传输的总距离达到最小。

这就是最传输理论研究的核心问题。

对举例的直观理解

在每一时刻，整个水杯中的所有粒子（水分子或盐离子）都占据着一个位置，

这对应着一个浓度分布的状态。

假设目标是使浓度分布状态整体均匀。

那么，就需要在某一浓度不均匀的状态下，

对每个粒子的位置进行变换（位置不变也是一种变换）

每个变换都需要花费成本

（表示代价，可根据需要任意选取的度量指标，比如，选“粒子移动的距离”）。

表示转移的动作所产生的效果的测评度量。

需要找到一整套变换位置对应的组合方案，用这套方案可以使得成本最小。

这就是最传输理论研究的核心问题。

抽象分析理解

一个空间为多个位置的集合。

每个位置上都分布（赋值）着一个特定的状态量

（动作效果，比如：权重，颜色的变化）。

要改变整个空间的各个位置上的赋值状态到另一个特定的整体状态上去。

规定只能采用交换对应位置的分布量的方式，并且限定总分布量不变的前提。

对所有的每个改变分布的动作效果统一定义一种观测计量方法。

需要寻找一整套互换位置的对应方案，

可使得按此方案交换分布量的该观测计量方法得到的计量值最小。

如何寻找类似的方案，就是最传输理论研究的核心问题。

哲理

状态不会无缘无故地变化，

一定是有动作的作用（消耗能量，广义动能）导致变化的发生；

动作所消耗的能量也不会凭空消失，

它一定是全部转移到动作的效果中去了（广义势能），

如果条件允许，能有反向的动作发挥作用，

广义势能也可以变回广义动能，实现势能在不同对象间的转移。

这叫 **“动作-状态对偶原理”** ，

意味着

存在 **“广义的能量守恒”**：

数值状态、数值状态的变化分别意味着有能量的畜存和激发作用，

需要从能量的角度给于度量和测评。

阴阳

阴阳不是状态的表征，而是对动作的表述。

阴是将能量存蓄起来的行为动作。

阳则是将能量激发出来的行为动作。

阴极，是阴到极端时，即所有的能量都存蓄起来了的状态。

阳极，是阳到极端时，即所有的能量都激发出来了的状态。

所谓物极必反，阴阳平衡，即：能量转换且守恒。

最优传输

就是花费最小的代价取得目标整体状态的方案。

目标系统的状态演化最自然的行为是熵最大化方式

（有序度降低的方式，对应封闭系统能量守恒），

此时不需要外加能量（外加动作代价），

系统会自然瓦解有序能量变为无序能量。

但如果想系统按照意图目标状态变化，

则需要外加能量来对抗自然瓦解。

而外加的能量一定是替换掉目标系统等量的能量的，

是用有序替代无序。

系统看上去还是能量保持不变，事实只是能量总量保持不变，

而实际发生了新陈代谢。

最优传输，

就是要计算如何用最小的能量替换代价来完成目标整体状态的迁移。