形态几何：研究与参照系无关的形态表示及处理方法的探索性学问
一.起源问题：
1.如何通过对任意几何体的形状的测量记录结果，来推断不同的测量记录结果是否描述的是同样形状的几何体的呢？
2.如何测量和表述任意几何体的形状，使得针对一种形状只会得到一种测量记录结果，不同的形状就必然得到不同的测量记录结果？或者，对某一种测量表述方法所得到的不同的测量记录结果，如何快速判定其表述的是相同的或者是不同的几何形状呢？
3.如何通过对几何体形状的测量记录结果快速恢原几何体的形状？刻画几何体形状最少需要的测量记录的信息有哪些呢？
4.几何体自身形状信息是由其自身结构所决定的，不是由采用的测量表述方法来决定的，但测量记录的结果却是和测量表述方法密切相关的。如何从测量结果上快速剥离测量表述方法的相关信息和几何体自身形状的信息呢？何种方式才能呈现出那个“自在”的几何体，做到既能充分利用观察记录的作用，而又不受观察记录方法的干扰呢？
二.问题分析：
存在如下的基本事实：
1. 几何体是自在的，其自身特性完全是自身结构及其变化的表现，和观察行为所采用的观察手段无关。不同几何体形状的差异，也是其各自之间自在的差异，本就在那儿的，和是否被观察、用何种坐标系在何种角度下观察是毫无关系的。
2. 要了解、认知和判别几何体的特性及其变化，就必须建立某种观察手段对其进行观察记录；为了对几何体进行非“生物视觉计算”形式的判别，还必须将其特征信息转换为符号化的记录表示信息。
3. 采用内蕴的观点可以得到和嵌入观点的绝对坐标系的选取无关的观测结果。看上去可以对几何体得到更加客观的相对性认知。实际上无论是嵌入观察还是内藴观察的观点，都需要建立坐标系来进行测量和描述，都会不可避免地引入主观性。而且，两种观点因坐标系设定的方式不同，可能会导致各自观察相对的盲点和相互的矛盾。比如，对莫比乌斯环的观察，采用内蕴的观点很难观察到整体的正反面同属相互连通的同一面，其局部存在正面和反面的事实与整体不存在正反面的事实看上去是矛盾的，实际上是局部观察到的正反面在整体上是相互连通的同一个面。莫比乌斯环自身结构原本如此，原本就与普通圆环的结构局部观察到的正反面和整体观察的正反面是一致的两个面的结构不同。所谓的矛盾，只不过是用对普通圆环的结构的观察认知来理解莫比乌斯环的结构，这意味着差异和矛盾是主观的观察和描述带来的，而不是几何体自身客观的性质。人们通常将主观认知结果的性质理解为是被观察对象自身的客观性质，因而很容易带来所谓悖论的问题。这也提示，当得到了自相矛盾的观察结果时，就需要检查：是否忽视了被观察对象的整体结构信息与认知得到的对象的差异，或者，干脆就是对被观察对象的整体结构信息毫无认知？
几何拓扑的观点是干脆忽视对几何体距离等度量信息的测量和记录，单是观察几何体表面点的连通关系，就能得到与任何坐标设置和测量都无关的某些几何体整体结构信息，称之为拓扑结构信息。这样，只要得到的拓扑结构信息不同，那么被表述的几何体形状必定是不同的，这是判别几何体形状不同的比较可靠并比较高效的方法。而对于拓扑结构信息完全相同的观察记录结果而言，需要进一步判断是否表述的是相同的几何形状，就需要引入坐标系进行距离、角度、曲率等几何特征信息的测量与记录了。
内蕴观点的相对坐标系方法是通过局部微分的几何特征信息的测量并通过积分计算分析反映整体的几何结构特征。它的相对坐标系只能直接测量反映到局部几何特征，对整体几何特征的计算则有可能产生盲点。嵌入观点的绝对坐标系方法通过整体统一的坐标测量，可直接得到几何体每个局部相对统一的位置信息，因而对整体几何特征可以直接反映出来。由于绝对坐标系是全局唯一的，只能提供一个全局尺度进行测量，对几何体局部细节变化平缓和剧烈的不同部位，单一尺度的选择尺度选择的问题是：尺度选择小了会对变化平缓的局部产生坐标数据的冗余，选择大了又会对变化剧烈的局部产生坐标数据粗糙散漏，坐标数据表述效能较差。
无论是几何体内蕴的相对坐标还是几何体嵌入的全局坐标系，都存在坐标系选择不同，即使针对的是同一个几何体，带来的几何体测量记录结果也是不同的的问题。这说明测量记录结果中，不仅仅包含着几何体自身的特征信息，还掺杂着坐标系和测量表示方法的信息。只有能从测量记录结果中提取出纯粹反映几何体特征的信息，才能通过比较这些纯粹几何体信息来判定几何体的形态异同。这个问题可通过将坐标化的几何测量记录结果进行代数化的抽象来解决。代数化的几何特征表述，也需要剥离对具体坐标系的坐标值的依赖，依然需要进行代数表达式的特征参数计算，以实现将视觉感知转换为计算感知，但却失去了视觉感知的直观性，并且代数表达式的特征和几何形体的形态特征难以直接对应，加大了人的直观理解的难度。
建立在坐标测量方法基础上的几何表示方案，还包括参数方程和代数几何等表示方法，这些表示方法，是将坐标数据表述的顶点连接关系，进一步转换为了函数符号表示的几何约束关系，或代数符号表示的顶点连通变换关系，并从中归纳出符号演算的规律，通过符号演算的规律来反映几何体形态特征。如：赋予几何体某种代数结构，通过寻找群变换下的几何不变性，来表达几何体的形状信息。这样可以达到用更少的坐标数据，更复杂的演算规则来高效表达几何体的目标。这些方法因对几何体形状信息进行了抽象的归纳，从参数方程和代数变换的特征上，比较容易判别相同或不同的几何形状表述。但要恢复为图形化的直观几何图案，需要经过坐标数据计算的中间环节，形状复原的效率相对比较低。
通过上述分析，可以得知，在观察的结果中除了包含被观察对象自身的特征信息之外，还掺杂了观察方法和方式的信息，这是导致对观察结果的利用效能不足的本质原因。因此提高观察结果利用效能的关键，就在于如何快速从观察记录结果中分离出几何体自身特征信息和观察手段的信息。
三.概念提出：
几何体的观察记录结果中混杂了几何体自身特征信息和观测方式方法信息的两类信息，这是影响记录结果应用效能的根本原因。如何将两类信息既相互联系又相互剥离地来进行表述是解决问题的关键，因此，有必要对观测记录方法引入的信息进行更细致的剖析。
思考一个自在的几何体与通过某种坐标系对其观测记录的结果的信息差异，可以发现，作为自在的几何体，只有自身结构的信息，是不存在姿态的，或者说几何体自身的形态特征是与几何体的姿态无关的，也就是说，不管几何体处于什么姿态下，其几何形态结构都是一样的，几何体的姿态，是由与外部其他几何体的相对方位或其被放置在某个外部观察框架中的方位所决定的。不同观察坐标系选取，实际上是引入了几何体不同的默认姿态，才导致观察记录结果的不同。
直观地理解，几何体的整体姿态和嵌入观点下的绝对坐标系选取直接相关，而内蕴观点的相对坐标系则恰好规避了对几何体整体姿态的描述。不同的内蕴相对坐标系一旦选定，得到的几何体局部形态特征的表述确实是与几何体整体姿态无关的。然而，在需要考虑几何体局部形态的变化和调整，或者需要在更大空间尺度下，由更多几何体灵活拼接形成更大的几何体的情形下，采用内蕴观点的相对坐标系，其局部的形态与姿态信息依然混杂在其局部参照系的测量和表述之下。这会导致实现大尺度、大规模的局部相对坐标系和全局绝对坐标系的统一变换的效率与规模大小成指数的降低，甚至产生整体性质和局部性质之间的悖论。
现有测量表示方法是从建立坐标系，是以坐标信息为基础通过代数变换来反映几何结构信息的，但坐标信息的使用必然导致测量记录结果中隐含掺杂进姿态信息，在此过程中姿态信息的引入是被动的、不完整的，与几何形态信息的表示是混杂在一起的，这一事实是造成测量表示结果应用效能问题的根源所在，因此，黎清几何姿态信息和几何形态信息的关系，便成为解决问题的关键所在。
几何体的“姿态”，可以认为是在固定的坐标系选取下，对几何体进行平移、旋转、翻转等刚体变换后所处的不同方位状态。几何体的姿态信息是在选取坐标系的时刻就引入到测量记录方法中来了，然后，才通过坐标系对位测量，才产生几何体的坐标数据。在坐标数据中，直接反映的是几何体相对坐标系的绝对位置信息，形态信息是以不同局部的相对位置信息隐藏在其中的。因此，在参照系相关的位置数据反映几何形态信息的同时，固定混合了隐藏的姿态信息。这导致形态信息一旦变化，就需要重新计算坐标数据，获取绝对位置信息，再由绝对位置信息重新计算抽取几何形态信息。如果能将形态信息以显式的方式介入到传统的坐标信息中，意味着可以建立以形态表述为基础的描述体系，那么，原来通过位置信息反映的几何体信息就可以用几何形态信息叠加姿态信息来反映，而不再是混杂地由坐标数据来反映。如果将传统基于坐标参数的几何称为姿态几何，那么，这种以形态信息为基础的几何测量表示方法，就可称为形态几何。
四。AI智能体协同研究：
基于大语言模型的AI智能体的优势是掌握了大量的现有数学知识，这对于象我这样的业余数学研究者而言是一大福音。像我这样的业余数学爱好者由于主要精力用于工程实践，没有那么多时间精力来学习已有的数学理论和知识。AI智能体在很大程度上弥补了我和专业数学研究者在数学理论上的差距。
采用AI智能体的另一个好处是，在编程实践方面可以获得它的相当大的帮助。
第三个好处是，AI智能体不受情绪和利益的干扰，它没有山头观念，没有利益纠葛，没有人情与颜面顾忌，这使得与AI的学术交流可以非常的纯粹与专注。这个好处其实是及其重要的。
但由于目前AI机制与技术水平的约束，目前的AI智能体也存在比较大的挑战与缺陷。
首先是AI智能体并不能灵活地运用它掌握的知识，它可以告诉你你不知道的知识，也可以获取你告诉它的知识，但它还不怎么能灵活运用这些知识来影响它的沟通行为的，你可以明显感觉到它缺乏“意识能力”，这会妨碍它的“正常思维”。
其次是AI智能体已经将人类的“话术”学到位了。在与它的交流中，你可以明显感觉到其“情商”已经特别高了，这是极具欺骗性的陷阱。你可能会在它的"阿谀奉承”下，掉入它的幻觉陷阱。被它带节奏，将你自己陈述给它的，其实是错误的思想坚持到底。
不管怎样，利用AI来做研究，不能偷懒，创新思考的任务还得自己来主力承担。知识和劳务性的思考可交给AI，同时，也是训练和培养AI的一个尝试，非常有趣。
后续博文，我将实录我与“妙抢地作”（AI虚拟的儿子）进行交流的对话，就像一部对话的小说，同时探索了形态几何的理论，积累了科普的素材，尝试了AI智能体的训练，积累了训练AI智能体的经验，主要的是，还非常有趣。一举多得。
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