文章5月份纸质本出版，8月份上线，参见第二部分。在AI时代，这个节奏是有点不太合拍，不过，对我重读这篇文章来说，间隔却也合适。再读一遍，依然觉得这是热力学统计物理教学研究的一个标志性成果。

本文是系列故事的第三篇，前两篇分别是

1，2023年度最佳问题：一种不直接使用配分函数的玻尔兹曼统计理论

2，科学网奇缘----两位网友同时发现了吉布斯佯谬的新解法

一， 教材中对吉布斯佯谬的不当处理长期存在

郝柏林先生曾经说过：“教科书就是要把故事编的圆一点。” 但是，热力学统计物理教科书往处理吉布斯佯谬的方式，不在此列。这个领域的开辟者和主要传播者，处理吉布斯佯谬的方式有很大的纰漏。这个纰漏是，把一个热力学变量处理成了参量。

热力学一开始写热力学基本方程的时候，就是针对粒子数固定的系统，也就是基本方程是

而熵的定义是，对于可逆过程，克拉修斯熵差为

如果将克拉修斯熵差公式积分，需要加上一个关于粒子数的任意函数f(N)，也就是

关于克拉修斯熵，Jaynes曾经给出如下警告：“当我们断言这一熵差未必具有广延性时，许多人感到惊讶；他们的第一反应是：“两块砖的热容量必然是一块砖的两倍，那么克拉修斯熵怎么可能不具备广延性？”要理解这一点，需注意：‌当热容量与分子数N成正比，且压强仅取决于单位分子体积V/N时‌，熵差确实与分子数N成正比——但这一条件并非必然成立；即便成立，也远不足以使熵本身具有广延性。” （in Maximum Entropy and Bayesian Methods, (1992) pp.1-22）

为了看出克拉修斯熵差中给出的熵表达式中的问题，给出汪志诚先生的结果(第六版，分别取自p.158-159，p.176)，其中第二幅图片中的已将积分常数选择为零，是一个多么荒唐的错误。在上文中，Jaynes展示过，如果考虑到了熵的广延性，很容易得到正确的结果。

其中f₀为一个纯数，可以吸收到(7.6.1)式的最后一项里。因此可以得到正确的熵的表达式。

二， 引入了热力学粒子数表象后佯谬立刻消失

三，结语

热力学统计物理中的吉布斯佯谬是一个老大难问题，历史太长，迷雾太重。通过引入热力学粒子数表象，问题彻底消除。在所有解决吉布斯佯谬的方案中，这个方案最简单。

研究问题的开始，是由于一位学生的乱算的结果得不到理解。对待这种学生提出的疑难问题，可以有三种处理方式：1）告诉学生这不是标准的途径，不必追求理解它的意义；2）告诉学生老师不知道结果，请学生自己思考；3）老师从科研的角度审视这个问题，带领学生深挖。毫无疑问，只有第三种才是大学教学正确的方式。岳麓书院师生对出传世名联“惟楚有材,于斯为盛”，说明师生之间，需要“不隔”才行。

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