文/曹广福

      我们常常用“灵性”、“灵气”来形容一个人的聪明，学习也存在“灵性”问题。可惜的是，学生的学习“灵性”被我们的教育磨掉了。
      什么叫学习上的“灵性”？直白地说就是“悟性”，在某个方面的“悟性”既可以培养，也可以扼杀。记得二十多年前看到过一篇记者的文章称：“记者用粉笔在黑板上画了个圆圈，分别问大、中、小学生：‘这是什么？’小学生的回答很丰富，有说像太阳的，也有说像月亮的，还有说像烧饼的，大学生的回答最理智：‘这是个圆。’”由此可见教育的强大威力。从另一个方面说，如果教师善于引导，也可以培育学生的“悟性”，换句话说，老师可以帮助还没“开窍”的学生“开窍”，不过这很难，既取决于教师的水平，也取决于学生的学习热情，如果学生根本没有学习的兴趣，老师再高的教学艺术也是枉然。或许有人认为学生的学习热情要靠老师激发，正常情况下是这样，问题在于我们现在的教育有点不正常。正常不正常不在本文的讨论范围内，这里假定学生是愿意学习的，在此基础上，老师能否帮助学生“开窍”就看教师的水平了。武学上有两个名词“任脉”、“督脉”，一个人如果不能打通“任督二脉”，那他的内功修为永远也不可能达到至高境界，我把这称为武学上的“开窍”，帮助学生开窍就是帮助学生打通“任督二脉”。
      讲到可测集的构造问题，所谓可测集的构造是什么意思呢？通俗点说就是可测集长成什么样？如何来描述可测集的模样？当然是用我们比较熟悉或比较了解的集合来描述它们。这属于什么类型的问题？看到这个问题我们想到了什么？
      数学的直觉是数学学习与研究必不可少的，如果你缺少基本的直觉，那你对什么都是懵懵懂懂，老师咋讲你咋接受，问题摆在你面前，你不知从何入手。直觉是什么呢？它从何而来？人的思维可以分为逻辑思维和直觉思维，逻辑思维与直觉思维两者是不可分割的，直觉需要靠逻辑支撑，逻辑需要靠直觉分析。逻辑思维的特征是演绎，直觉思维的特征是分析，两者同等重要。我们在以往的教学中过分地注重了逻辑演绎，忽视了直觉分析，结果学生只知道形式化的东西，不知道数学概念与理论的深刻内涵。我们应该看到，数学直觉的培养固然离不开数学逻辑的训练，但逻辑演绎能力的培养更离不开数学直觉。这是辩证统一的关系，“逻辑”与“直觉”正是数学的“任督二脉”，打通了“任督二脉”，学生才会有数学的“灵气”与“悟性”。
      数学直觉来自哪里？来自生活、来自对已知的领悟、来自“联想”，所谓“灵气”其实也就是要让自己的思维具有“弹性”，能由此及彼地类比与归纳。
      回到可测集的构造问题，这里涉及到几个问题：① 什么是好的集合？② 所谓好的集合描述可测集是什么意思？第一个问题不难回答，区间是“好”的集合，进而开集、闭集是“好”的集合。所谓好的集合描述可测集是什么意思呢？显然这是个逼近问题，它与我们曾经见过的什么问题相似？我放开思维神侃起了微积分中的Taylor级数、傅里叶级数、Weierstrass逼近定理等学生耳熟能详的问题（这些问题也是可测函数要面对的重要问题，而集合是可以与函数建立起对应关系的，只要找特征函数就行了，因此这里讲的集合的逼近可以转换成函数的某种逼近），算是做了一回数学科普。众所周知，如果函数f在闭区间上连续，则可以用多项式序列pk一致逼近于该函数，但要注意，逼近的过程中，多项式pk的系数是在变化的，即
pk（x）=■a（k） n xn
中xn的系数a（k） n 是随着k变化的，这与Taylor级数是不同的，换句话说，不是每个连续函数都有Taylor展开（能不能举个反例？构造这样的例子比构造具有不收敛傅里叶级数的连续函数要容易些），那么傅里叶级数如何？从定义看，闭区间上的每个连续函数都有傅里叶级数展开，问题是这个级数是否收敛到该函数？我们暂且不管按什么方式收敛，先直观感觉一下级数该不该收敛？这需要我们在演绎的基础上做分析。我们可以把傅里叶级数写成指数形式：
f（x）~■cneinx
如果记：
Sk（x）=■cneinx
Sk是否收敛到f？如果我们善于联想，知道区间上的连续函数未必可以用Taylor级数来逼近，那就不难产生一种直觉，Sk可能不收敛到f。为什么？因为如果记t=e^{ix}，则e^{inx}=t^n，因此Sk（x）可以写成：
Sk（x）=■cntn
这不是很像Taylor级数吗？只不过t在复平面的圆上变化而已。既然区间上的连续函数未必有Taylor级数，我们凭什么认为这个很像Taylor多项式的东西Sk（x）一定收敛到f（x）？当然这只是基于逻辑推演的猜测，要验证这个猜测还需要细致的构造，这说明猜测有时也需要依靠逻辑演绎。
      这种联想不仅让我们重温了微积分中的经典，而且把几种形式不同但本质一致的东西联系了起来，待到后面讲解可测函数时学生会恍然大悟，原来集合的某种逼近与函数的某种逼近是一致的，正所谓殊途同归。
（责任编辑   王芷）