有实重根的线性系统的能达丰富性(1)

     设系统 $\varSigma(A,B)$ 有重根，经变换为如下约旦阵

$A=\left[\begin{array}{ccccc} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \lambda & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{array}\right]$

则其能达丰富性为

      $\textrm{Vol}(R_{r,N})=V_{n}\left(C_{n}\left([B,AB,...,A^{N-1}B]\right)\right)$

                $=\sum_{(k_{1},k_{2},\cdots,k_{n})\in\Omega_{0,N-1}^{n}}\left|\mathrm{det}\left(\left[A^{k_{1}}B,A^{k_{2}}B,\cdots,A^{k_{n}}B\right]\right)\right|$

由于

$A^{k}B =\left[\begin{array}{c} \sum_{i=1}^{k*}\frac{k!}{(i-1)!(k-i+1)!}\lambda^{k-i+1}b_{i}\\ \vdots\\ \lambda^{k}b_{n-2}+k\lambda^{k-1}b_{n-1}+\frac{k(k-1)}{2}\lambda^{k-2}b_{n}\\ \lambda^{k}b_{n-1}+k\lambda^{k-1}b_{n}\\ \lambda^{k}b_{n} \end{array}\right]$

其中 $k^{*}=\min\{k+1,n\}$ .可以证明

        $\mathrm{det}\left(\left[A^{k_{1}}B,A^{k_{2}}B,\cdots,A^{k_{n}}B\right]\right)$ $=c*\lambda^{\sum_{j=1}^{n}k_{j}-n(n-1)/2}b_{n}^{n}" style="text-align:center;$

其中 $c$ 为待定参数。即当系统矩阵A为约旦阵时，能达丰富性与每个约旦块对应的输入矩阵 $$ $B$ 的分块的最后一行相关，与该分块的其它行无关。这与传统控制理论中的能控性/能达性仅与每个约旦块对应的输入矩阵 $B$ 的分块的最后一行相关，与该分块的其它行无关的结论是一致的。