经典机构之间的亲缘关系（一）
目 录
一、研究现状
二、新概念
三、连杆机构（一）
四、连杆机构（二）
五、啮合类机构（含锁合机构）
六、机构的统一
七、结论
前言及主要内容
作者在科学网发表博文的初衷，是为了解决机械原理各个章节内容松散，缺乏统一性的问题。这个问题。作者在2023年12月12日发表（科学网博客）的一篇博文，已经得到了初步解决。2025年4月到7月又对这部分内容作了充实，从广度和细节两个方面作了重要扩展和深入探讨，并初步成文。本篇博文还研究实体运动副构成的结构。由于当时2025年7月需要答复日本发明专利的审查意见，把这篇文章搁置起来没有完成。后来又转向公理的研究，没有顾及。前几天（2026年3月26日），拿出来看了，作了认真的修改和充实，拟在科学网博客公开发表。
前几天发表的技术人工物结构统一理论树状思维导图，是技术人物整体的统一的逻辑框架。技术人工物包括多个分支领域。例如电工电子，建筑，液压气动，光学等等。今天的博文可以看作是结构统一理论在广义机械结构科学方面的应用，是对树状思维导图中第六列第6.1分支（机械领域）的详细解读。但不包括第七行、第八行、第九和第十行四个层次的内容，也没有涉及机器部分。
这篇博文比较长，内容分为三大部分，第一部分包括研究现状的基本回顾和基本概念，重点是基本概念。第二部分主要包括三个部分， 第一个是简单连杆机构。简单机构是指的单运动副、两个运动副、三个运动副构成的机构（就是两杆机构三杆机构，这是机械原理课程没有涉及的内容。第二个是比较复杂的连杆机构，包括4杆、 5杆或更多杆机构（机械原理重点讲述的内容）。第3个内容是啮合机构，包括齿轮机构、凸轮机构、凸轮机构，还有槽轮机构、棘轮机构和不完全齿轮机构等（这是机械原理重点讲述的内容）。第三部分是经典机构的统一，从基本结构和功能单元，从层次划分、生成关系和主要的结构模式等几个方面阐述统一问题。
前几天由于结构模式方面遇到一些难题，一度停了下来，转去研究元假设公理的完善，形成了元公理的新版本。一度追求的统一的结构模式，随着研究的深入，特别是，面对海量的经典结构，统一的结构模式提法几乎不太现实，而逻辑续洽的可能性更小，追求结构模式统一的执念，就停了下来。这样就避开了难题。这次发表的博文就不再追求结构模式的大统一。承认结构模式是不断变化、不断发展的，新的结构模式会不断出现的。
主要内容：
本文针对机械原理各个章节之间内容比较松散、缺乏系统性的问题，按照类比生物结构的方法，通过定义实体运动副、冗余支链单自由度并联机构和梳联机构等若干新概念，理清并建立了各种机构之间的在结构层面的基础逻辑关系。
主要做了以下几项工作：形成了一个新的概念体系；对各种部件进行了新的层次划分，建立了新的层级关系，包括基本构件，组合构件，实体运动副，元机构，整机（整机包括简单机构群、简单机器群，复杂机构群、复杂机器群）等；建立了各个层次之间新的生成关系，在机械领域形成了一个系统性的统一逻辑框架。
指出，机械原理涉及的各种机构，它们的基本结构和功能单元都是实体运动副。都是实副通过某种连接构成的整体。在功能方面，它们都完成了运动、力、能量或物质等的传递或转换。
连杆机构是实体运动副通过固定连接构成的机构。包括串联结构、并联结构和梳联机构。
齿轮机构和间歇运动机构是实体运动副通过固定连接和活动连接构成的闭环机构，是冗余支链并联机构。
链条、齿带是一种变直径的齿轮，平带是一种变直径的摩擦轮。链条传动机构、齿带传动机构和摩擦轮传动机构是通过间接连接构成的机构。
所以它们这些机构统一于实体运动副，统一于相同或相似的连接方式，统一于相同或相似的功能。它们还具有各自的不变的自由度特性。连杆机构（本文指少自由度闭环连杆机构）和啮合机构统一于冗余支链并联机构。
建立了机械原理涉及的技术人工物在结构层面的严密的基本概念体系和完善的结构统一性，形成了自洽的、系统的统一理论框架。
通俗的讲，本文为机械原理涉及的各类机构重新续了一个家谱。原来，它们之间，是拜把子兄弟关系。现在，为它们找到了基因层面的关联，建立了亲缘关系。
一、问题及研究现状
1.1 机械原理课程内容存在的缺乏系统性的问题
机械原理，是工科机械专业的专业基础课。其内容存在比较松散，零碎的问题。上海交通大学邹慧君教授等在“面向21世纪加快机械原理课程改革”（教学与教材研究，1996年6月）指出：机械原理课程内容目前存在的主要问题有三个。其中一个问题是内容“比较零碎，缺乏系统性”，认为“机械学科还没有形成一套完整的学科体系和研究内容”。“为了课程的生存和发展，我们必须花大力气来进行课程体系，内容和方法的改革”。西北工业大学葛文杰教授等也有类似的观点。葛文杰教授认为机械原理“这门课程，一方面具有一定的理论系统性和逻辑性，另外一方面呢，又有较强的工程实践性的特点。工程实践性，就是实际的东西啊，经验得来的，不是说经过理论推导的，而是实践得来的。他们的彼此之间的联系可能就差一些，比较孤立，比如像我们的连杆机构，凸轮机构，他们之间呢，究竟存在什么连系呢？看上去比较分散，......”
（葛文杰西北工业大学机械原理视频网址（20250516 检索 ：西北工业大学 机械原理 全41讲 主讲-葛文杰 附课件 视频教程葛文杰主讲 第一讲。第23：20-23：40。哔哩哔哩_bilibili 。https://www.bilibili.com/video/BV1kz9NYFEhZ/ 。）
1.2 机械原理理论体系的系统性研究的现状
近30 年过去，这个问题仍然没有得到解决。目前没有检索到这方面问题的解决方案，也没有看到重提这个问题的文献。这似乎是一个被忽视或遗忘的问题。但是，统一是一个永恒的课体。机械原理内容的系统性问题应当受到重视。 关于技术人工物，虽然没有完善的统一理论，但是在实际的应用中，已经实际存在一个隐含的逻辑架构。这个隐含的逻辑架构，在多个方面体现了技术人工物的某种系统性，协调性和整体性。
例如，机械原理在实际应用层面，虽然没有构建完整的理论体系，显得比较松散，但是已经体现出来较强的理论系统性。例如，机械原理对静力学和动力学的研究，应用了牛顿力学、哈密顿方程和拉格朗日方程，在理论应用层面已经体现了统一性。组合机构反映出的可结合性，都是整体性的一种表现形式。文献（孟宪源）提出的单元机构及其组合的思想，反应了机构的层次性和生成关系。结合机构的组成，我们可以得到机械原理中技术人工物的一个初步的层次划分：机械材料，构件，基本机构，和组合机构（复杂机构）。所有机构都是构件组成的。构件是经典机构的基本结构单元。它们统一于构件。
深入分析后我们认为，专家学者关于缺少系统性的说法，主要是说基础逻辑层面或者说是结构层面，包括概念体系，系统基础，系统结构的各个层面，缺乏整体性和系统性。专家关于课程体系的改革的呼吁，也是指基础逻辑层面的统一性、结构层面的统一性和整体性方面均存在缺憾。具体说来，就是连杆机构、齿轮机构、凸轮机构和间歇运动机构（以下称这几种机构为经典机构）之间缺乏必然的联系，缺乏直观的逻辑层面的联系，缺乏多层次的必然联系，缺乏基本的功能单元。生物中，细胞既是基本的结构单元也是基本的功能单元。而传统机构学中，缺乏这样的基本功能单元。
在作者已经发表的博文中，作者尝试从概念体系，逻辑架构和结构层面等 ，建全和完善机械学科基础层面的系统性，包括系统性、整体性、层次性、相似性等。从广义机械系统形成一个理论框架，本文深入到具体的机械原理领域，探讨机械机构整体和细节方面的统一，特别是近代机构的结构统一。
1.3 本文的研究思路和结论
下文把结构统一理论的思想，方法，用于机械原理，建立机械原理的系统性、逻辑性和整体性。
在描述机构的逻辑关系时，采用了社会学和图论的术语，如亲缘关系、兄弟关系等。这样，比较清晰，形象和易于理解。
首先，我们必须明确研究对象。我们的研究目的是为机械原理建立一个统一的理论框架，仅研究机械原理涉及的经典机构是不够的，是不具有全面性和代表性的。
机械原理教科书涉及的机构，包括四杆机构或更多杆机构和齿轮机构、凸轮机构和多种间歇运动机构等。还有一些更基本、更原始的机构，机械原理未有研究。例如，机械原理未涉及的简单的二杆机构，三杆机构，这一部分内容作为基础性部件，需要作为研究对象补充进来。
按照机构的结构形式分类，机构分为开环机构和闭环机构和半闭环机构。经典机构主要研究闭环机构。而串联机构和梳联机构，是机构中不可或缺的重要内容，必须研究。
经典机构按照占据的空间分类：分为二维机构（包括平面机构和球面机构）和三维机构。经典机构学主要研究平面闭环机构机构和少部分空间闭环机构（并联机构）。
以上是需要扩展的研究内容，还有以下内容是不研究的，是要排除的。
经典机构按照实副之间的连接方式分类：有机械连接机构，液气连接机构和电气连接机构组合连接机构和其它连接机构。本文主要研究机械连接的机构。
本文的主要研究的平面机构可参考图1-1。
图 1-1 平面机构的分类
为不失一般性，保证最底层的机构得到前面和系统的研究，我们从最基本的构型模式开始研究。研究对象，从机械原理教科书几乎不提及的二副二杆机构开始，再到到三副三杆机构，到四杆机构和多杆机构；从闭环机构到开环机构和梳联机构；从冗余支链的0 自由度并联机构，再到二支链、三支链的单自由度机构，再到二自由度和三自由度并联机构。从常见机构到不常见机构。底层基本机构的统一是最基础层面的统一。有了最基础层面的统一，那么，由底层的基本机构组成的复杂机构的统一就有了基础。机械原理的全部内容也就自然的统一起来。
二、近代机构学的发展和层次划分，基本机构模式和生成关系
2.1机构学的发展的三个主要历史阶段：
按照机构产生的年代，机构发展大致分为，古典机构，近代机构和现代机构
（1）古代机械萌芽与基础奠定阶段（约公元前3000年至18世纪中叶）
此阶段以经验积累和简单机械的应用为特征。人类通过观察自然和反复实践，发明了杠杆、斜面、轮轴、楔、螺旋等基简单机械，并广泛应用于农业、建筑和运输等领域。例如，古埃及金字塔建造、古希腊阿基米德对杠杆和浮力的研究、中国古代的司南、水排等。这一时期，由于缺乏系统的理论分析，多依赖于工匠的经验和直觉，但为后续机械科学的发展奠定了实践基础。
（2）近代机械科学与机构学理论形成阶段（18世纪下半叶至20世纪60年代）： 随着第一次工业革命（约1760-1840年）的兴起，蒸汽机、纺织机、内燃机等复杂机器的广泛应用，对机械的设计、制造和效率提出了更高要求。机构学开始从经验走向科学，学者们运用牛顿力学原理和微积分等数学工具，对机构的运动学和动力学进行定量分析，如法国科学家蒙日（G. Monge）和潘索（L. Poinsot）在机构运动分析上的贡献，以及德国工程师弗罗洛夫（K. Frolov）等人在机构综合方面的研究。这一阶段标志着机械科学与机构学成为独立的工程学科。
（3） 现代机械科学与机构学计算与数字化阶段（20世纪60年代至今）：电子计算机的普及和计算技术的飞速发展，彻底改变了机构学与机械科学的研究范式。计算机辅助设计（CAD）、计算机辅助工程（CAE）等技术使得复杂机构的精确建模、仿真分析、优化设计成为可能。有限元方法、多体系统动力学等先进数值计算方法被广泛应用于解决工程实际问题。同时，机构学的研究也拓展到机器人学、微机电系统（MEMS）、生物力学等新兴领域，实现了从理论分析、数值计算到虚拟样机、智能控制的全面进步。
2.2近代机构的构型模式和层次划分
2.2.1近代机构的构型模式
近代机构的构型模式，虽然没有文献专门论述，但是我们可以从各种不同的组合方式中得到以下基本的构型模式。首先，各种单元机构是最基本的构型模式，然后是由单元机构组合得到的各种机构结构模式。例如串联连接组合（文献孟宪源称为串接组合，）得到串联结构模式，并联连接组合（文献孟宪源称为并接组合，）得到并联结构模式，叠联连接组合（文献孟宪源称为叠接组合，）得到叠联结构模式，混联连接组合得到混联结构模式，反馈连接组合（文献孟宪源称为回接组合）得到反馈连接结构模式，还有时序连接结构模式。
近代机构的构型结构模式主要有串联结构模式，并联结构模式，反馈连接结构模式等。
现代机构的构型结构模式主要有串联结构模式，并联结构模式，梳联结构模式，反馈连接结构模式等。梳联结构模式是新归纳得到的并新命名的结构模式。
梳联结构模式，梳联结构模式也是新归纳得到的并新命名的结构模式。还有叠联模式，交联模式等。近代结构与现代结构的结构模式，并不完全相同。认真分析各种相近类型的结构模式，可以分析它们本质上的相同或相似之处。从而找到统一的基础
梳联机构，不是一类新发明的机构，只是对一类业已存在并被广泛应用 的机构的新命名。这种构型模式，不仅技术人工物中广泛存在，而且在生物世界也普遍存在。有梳联结构和梳联机构两种基本模式。植物界，各种植物的结构布局是梳联模式，例如森林中的一棵一棵的树木，农田里的一颗一颗的玉米，它们是梳联结构模式，四足动物的机体与四条腿是梳联机构模式，一个小区的各个建筑物是梳联结构模式。近代机构的很多常用机构是梳联机构模式，例如差速器驱动的两个车轮，单自由度操作手、机床卡盘等等。
对近代机构和现代机构做清晰的划界是不容易的。在本文当中，我们把啮合类机构和连杆机构（主要是单自由度机构和少部分二自由度机构）称为近代机构，而把串联机构，二自由度及以上的并联机构，还有一些新型机构如液气机构，电磁机构，柔顺机构，纳微机构，还有本书新定义的梳联机构作为现代机构。这些机构都作为一个现代机构进行研究。显然这个划线是人为的，也不是十分清晰的，有些既可以作为近代机构也可以作为现代机构进行研究。例如梳联机构是一类古老的机构。只是没有被命名，没有专门研究。所以，本文将其作为现代机构进行研究（不是本文重点）。
2.2.2近代机构的层次划分
机械原理涉及的机构，在新的理论范式下，主要分为六个实体层次，以自然物质为基础，包括材料层次，基本构件层次，组合件层次，实体运动副层次，元机构层次，整体机器层次（整体机器层次包括基本机构机器群层次和复杂机构机器群等）等。由于机械原理通常不讨论机器，故本文不涉及机器。
材料层次，主要是机械材料；基本构件层次，主要是刚性构件、柔性构件，还有部分挠性构件、流体构件等。组合件是在原来构件的基础上，分离出来的一个层次和概念。组合件是由两个或多个构件经过固定连接构成的整体。构件和组合件层次，在机械原理中，同构件作为同一个层次；与原来的机构学比较，实体运动副是新定义的一个概念和新划分的一个层次。此外还有耦合子和运动链等概念，但是它们不作为一个独立的层次。单元机构层次包括二副机构，三副机构，四副机构，单自由度多副结构，基本齿轮机构，基本凸轮机构，基本槽轮机构，基本不完全齿轮机构和摩擦轮机构等。机械原理的单元机构数量较多。基本机构群（包括基本机器群）是以单元机构作为基本结构和功能单元组合构成的较复杂机构。复杂机构机器群是以基本机构群为基本结构和功能单元组合构成的复杂机构（机器）。
2.2.3近现代机构的基本组合方式（输出方式）
2.3.1 近代机构的基本组合方式
在作者发表的博文当中，我们专门论述了现代机构的主要组合模式，包括串联模式，并联模式，梳联模式，混联模式，网联模式（折展机构模式），馈联模式等等。串联结构模式包括并联机构的串联模式和混联模式。还讨论了反馈机构模式等。
近代机构有自己的独特的组合方式。在邹慧君编写的机构创新及其应用当中，有关于组合机构的论述，机构学专家孟宪源对组合的方式也进行了论述和应用。《组合机构设计与应用创新》（吕庸厚 沈爱红 编著 ）对组合机构进行了专门论述。组合的结果形成了新的结构模式。
近代机构组合有两种不同的情况：
①将两种和几种基本机构通过封闭约束组合而成的，它是具有与原基本机构不同结构特点和运动性能的复合式机构，一般称其为组合机构；
②在机构组合中所含的子机构仍能保持其原有结构和各自相对独立的机构系统，一般称其为机构组合。
组合机构与机构组合的不同处在于：机构组合中所含的子机构，在组合中仍能保持其原有的结构，各自相对独立，而组合机构所含的各子机构不能保持相对独立，而是"有机"连接。所以，组合机构可以看成是若干基本机构"有机"连接的独特机构，每种组合机构具有各自特有的型综合、尺寸综合和分析设计方法。
将各种基本机构进行适当的组合，使各基本机构既能发挥其特长，又能避免其本身固有的局限性，从而形成结构简单、设计方便、性能优良的结构系统。
组合机构可以是同类基本机构的组合（如在轮系中所介绍的封闭差动轮系就是这种组合机构的一个特例），也可以是不同类型基本机构的组合。通常，由不同类型的基本机构所组成的组合机构用得最多，因为它更有利于充分发挥各基本机构的特长和克服各基本机构固有的局限性。
2.3.2 主要组合模式的分类
传统的组合机构的分类方式有两种：
①按基本机构的名称分类；组合机构包括 齿轮﹣凸轮机构， 齿轮﹣连杆机构， 凸轮﹣连杆机构
② 按子机构的组合方式分类
组合机构分为串联式组合机构、并联式组合机构、复合式组合机构，叠加式组合机构和反馈式组合机构和混合式组合机构等等。（机构系统创新设计／李瑞琴编著．﹣北京：国防工业出版社，2008.4）
近代机构的组合模式，按照连接方式和空间结构形式，主要有，单元机构构型组合模式；串联构型组合模式；并联构型组合模式（闭环构型模式）；叠连构型组合模式，反馈构型组合模式，交联构型组合模式，折展构型组合模式，复合构型组合模式和时序式构型组合模式等。
2.3.3 主要组合方式介绍
（1）串联构型模式（串联连接组合）
串联构型模式是由若干个单元机构（冗余支链单自由度），以前一个机构的输出构件同后一个机构的输入构件固结，构成一个整体，这个过程称为单元机构的串联固结组合。形成的机构模式称为并联单元式串联机构模式。（孟宪源《机构构型即应用》图1-208）。
这种组合方式就是本人称之为并联机构的串联结构，而是以单自由度并联机构为基本结构单元进行串联连接。这个串联连接，一般的有两类连接点，一个是固定连接点，一个是活动连接点。
（2）并联式构型模式，机械原理的并联连接同并联结构相同，只是机械原理的并联机构多指冗余支链单自由度并联机构。例如，四杆单闭环机构。
（3）叠连式构型模式，”把一个单元机构装在另一个单元机构的构件上两个单元机构各自完成自己的运动，其叠加的运动是锁一起的输出运动，这种组合称为叠接式组合。（孟宪源《机构构型即应用》图1-214）
（4）反馈式构型模式，机构回接组合，“一个多自由度单元机构作为基础机构，该基础机构中的一个输出量通过一个单自由度的单元机构回输到基础机构的输入端 ，这种组合关系称为回接式组合。”或称为反馈组合。这种组合得到的结构形式称为回接式组合模式。
传统机构当中有反馈模式。包括机械反馈、电反馈、液压反馈等。还包括正反负反互馈等。反馈连接也是一种重要的结构型接模式。
（5）交联构型模式 交联构型模式是一种闭环模式，与并联机构模式不同的是，不能找出独立的支链，或者是支链之间有交错连接（图），这种交错连接可以称为互馈连接。
（6）多输出端构型模式 这是一种梳联连接模式，一个机构有两个或多个输出端，输出端的运动多少相关的，例如卡盘，抓手的多个输出同时工作，也有的多个输出端是先后动作的。
（7）时序式组合模式
时序连接机构是一种按照特定时间顺序，使各个组成部分依次执行动作，从而实现特定功能的机构。其特点是各部分动作有明确的先后顺序，相互配合以完成整个工作流程。
日常例子有剥线钳，指甲钳，自动洗衣机等。工业生产中的各种生产线，多是时序连接。
指甲钳的工作时序，工作时序分三个主要阶段，一个是准备阶段，那就是展开指甲钳，展开杠杆，使其处于工作前状态。第二个是工作过程，真正的剪指甲过程。压下杠杆，剪指甲。第三段就是收回杠杆返回原状。
自动洗衣机先进水，然后洗涤，接着排水，再进行脱水等，各环节按时间先后顺序依次进行。
时序连接机构重点在于各部分动作在时间上的先后顺序，以实现特定工作流程，不一定存在像串联结构那样严格的依次传递关系，也不像并联机构那样强调同时性和独立性。在一些复杂的系统中，可能会同时包含时序连接机构、串联结构和并联机构，相互配合以完成复杂的任务。例如，自动生产线上可能有按时序工作的机器人进行不同工序操作（时序连接机构），同时生产线的不同部分可能存在串联或并联的电气控制电路来实现不同功能。
（8）复合构型模式。复合构型模式是以多种模式的组合，是形成更复杂机构的重要方法。或称为杂交组合机构、机器模式。这是复杂机构的重要模式。
近代机构的结构模式是多元化的。除了串联模式，并联模式，梳联模式混联模式网联模式和反馈连接模式外，还有一些特殊的连接模式。例如，交联模式，叠联模式等等，未来还可以产生新的连接模式。近代机构的输出也有多样性，一个机构一个输入端，或两个或多个输出端，构成梳联机构，例如，机械手，卡盘等等，一个机构，构成时序式机构。
虽然连接模式和输出具有多样性，但是，构成它们的基本结构和功能单元是相同的。它们的连接方法是统一的，连接后形成的整体，其功能是统一的。机械原理的连杆结构与现代结构的串联机构、并联机构、梳联机构、混联机构、网联机构等都是由实副通过固定连接构成的。啮合类机构是由固定连接和活动连接构成的。
所以这些新概念是机械原理涉及的各个机构统一的重要的逻辑基础。
串联机构主要是通过首尾固定连接构成的开环整体，基本结构单元包括实副，串联机构，闭环元机构等。串联机构有首末两个开放构件。其中一个作为机架，一个作为末端执行器。这个串联机构仍然是二端点部件，构型连接端点位于首尾两端。
并联机构的主要机构单元是串联支链、混联支链或梳联支链等。并联机构主要是通过首首固定连接和尾尾固定连接构成的闭环整体，首首固定连接的构件构成基础平台，尾尾固定连接的构件构成基础平台。每一个分支支链是独立的。这个并联机构仍然是二端点构型部件。构型连接端点分别是基础平台和运动平台。
2.4近现代机构的基本生成关系
近代机构的基本生成关系同现代机构的生成模式基本相同。基本逻辑是主要由简单部件生成复杂部件
主要生成关系是在先的层次是在后的层次的基本结构单元。这种生成关系称为正向生成关系，较简单的部件作为较复杂部件的基本结构单元。
与生物的生成关系不同的是，技术人工物的生成关系除了基本的正向生成关系外，还有技术反哺现象称为逆生成关系。就是，较复杂的部件或 同层次的部件可以作为较简单部件的一个基本结构单元或基本功能单元，即较复杂的部件构成较简单部件的一个组成部分。例如，一个实副，其组成部分可以包括一个机构。机构是一个以实副作为基本结构单元的部件，是比实副复杂的部件。（图2）。再例如，转动实副，做三角形连接，主动实副的轴线平行，可以构成一个定常结构。这是较高层次的实副构成较低层次的组合构件的实例。这是典型的逆向生成方法。
近现代机构的生成方式除了组合生成方式外，还有变异机构的生成方式（包括运动副变异，构件变异，机构变异等等），仿生的生成方式，还有多种创新输出方法等等。这些层次的划分和基本的生成关系，也构成了经典机构统一的主要部分。
三、新理论体系下的几组重要概念
3.1 关于自由度
自由度是机构学重要的概念之一。《机器人机构自由度分析理论》（赵景山）和《论机构自由度》（黄真）有专门论述。下面讨论的是文献中未涉及的内容。
3.1.1 自由度的定义和理解
关于自由度的定义和理解，经典机构自由度与现代串联机构和并联机构的自由度有所不同。经典机构的自由度多是泛指的，说是机构的自由度，不具体指明某一个构件，也不指名是关于点的自由度，还是关于线段或者是关于面的自由度。多数机构是单自由度，单自由度机构可能所有的构件都是一个自由度。有些情况下，经典机构是两个或多个输出端点。例如机械手有三个输出端，卡盘有三个输出端（实际上，这是一个梳联机构）。现代串联机构的自由度是指末端构件相对于机架的自由度。并联机构的自由度是指运动平台（构件）相对于基础平台（构件）的自由度。它们都是指定的唯一的一个构件的自由度。在新的逻辑架构下，对现状的描述不做任何改动，继续使用。对自由度的解读，也是如此。但是有一点必须澄清，就是自由度一定是一个刚性构件的自由度，不是两个构件的自由度之和。不是说，在一个机构中，一个构件有一个自由度，另一个构件有一个自由度，这个机构那就有两个自由度。这是不妥的，但实际上这种情况会发生在现在的文献当中。
还有，梳联机构是一个新概念。关于梳联机构的自由度，现有文献没有规定。当梳联机构的脊背是刚体时，其自由度是指各个分支末端构件相对于脊背的自由度。一个分支有一个确定的自由度。如果梳联机构的脊背不是一个刚体，则分支末端的自由度依据实际情况计算。但是有一点是确定的，即各个发展的自由度是互不影响的。
新的逻辑架构，对于经典机构的解读，还体现在关于并联的解读，认为这些简单的闭环连杆机构和啮合机构，就是少自由度的具有冗余支链的并联机构。这个认识、提法、新的解读也是统一机构的一个重要的方面。
对于某些单自由度并联机构，有时可以选择构件中的一个作为运动平台。选定一个构件作为运动平台，就是确定这个构件的自由度。选定另一个构件作为运动平台，就是确定另一个构件的自由度。这样，一个构件就要计算一次。对于二自由度及以上的并联机构，运动平台是唯一的，对自由度的理解就是唯一的。
3.1.2 （三）简单实副的主要性能指标。
简单实副包括转动实副，移动实副、螺旋实副和圆柱副。
现有理论，衡量一个实副的运动特性，只有一个指标即自由度。通常在理论上，认为实副具有无限的运动范围。从这个纯理论的观点出发，实副的运动特性，只有一个指标是可行的。而实际上，多数实副只能在有限的范围内运动。
例如移动实副的移动范围是有限的。万向实副，螺旋实副也是如此。有一些转动实副可以有无限的运动范围，这类转动实副称为整转转动实副，还有一些转动实副只能在有限的范围转动，这种转动实副称为摆转实副。圆柱实副有两个自由度，转动自由度和移动自由度。圆柱实副的转动有无限的转动范围，移动的范围是有限的。球副有三个转动自由度，其中一个转动自由度转动范围是无限的。其它两个是有限的。
实副的很多应用场景，是通过实副的连接构成的机构，是实副之间配合应用的。实副的有限运动范围，对实副之间的相互配合，影响甚大。有限的运动范围对枢构的自由度有实质性的影响。
在新的理论范式下，衡量一个实副的特性提出两个指标。一个是自由度，一个是运动范围 。实副的运动范围，在讨论一个单独的实副时意义不大。在讨论若干个实副的连接时，有限的移动范围，对机构的运动特性会产生不同的影响。
当使用两个或更多个实副连接形成开环枢构时，实副的移动范围对开环机构的自由度特性不会产生实质性的影响。
对于梳联连接，由于梳联机构各个分支支链的相互独立性，移动范围也不会对梳联机构的自由度产生根本性的影响。
当使用单个、两个或更多个实副连接形成闭环机构时，实副的移动范围会对机构的自由度特性产生实质性的影响。
现有的文献，在计算机构的自由度时，不考虑实副的运动范围。计算出来的结果是理论数值。由于多数实副存在有限的运动范围，一些计算出来的数值与实际不符。特别是在少自由度闭环机构中，影响特别突出。本来，传统的自由度计算公式，对于并联机构的适应性比较差，如果再考虑具有有限运动范围的实副，自由度计算公式很难应用。对于具有有限运动范围的实副，构成的机构的自由度特性与初始安装状态密切相关。不同的安装方式式会产生不同的自由度特性。
图3-1 二转动实副机构 图3-2 二转动实副结构
图3-1，两个转动实副是整转实副，两个实副的轴线重合。计算自由度与实际自由度相同，即有一个连续的转动自由度。图3-1，两个转动实副是摆转实副，两个实副的轴线重合。由于两个摆转实副相互制约，虽然计算自由度是1，但是实际自由度是0。
3.1.3 关于理论自由度和实际自由度
关于自由度，理论上的自由度和工程上的自由度，是有区别的。以基本的运动实副为例，自由度有两个要素，一个是自由度的性质，另一个是运动范围。现在的关于计算自由度的公式，是不考虑运动范围的。计算得到的自由度是理论上的自由度。但是实际上，他是有区别的。计算自由度时，必须考虑他们之间的差别。
一个实体运动副的自由度，有两个基本要素。一个是自由度的性质，就是哪一种自由度。这个自由度是转动还是移动，是哪一个方向的移动，是绕哪一个轴线的转动。另一个是这个自由度的允许的运动范围，是无限运动范围还是有限的运动范围。这两个要素缺一不可。例如，对于转动实副，一种是整转实副，一种是摆转实副。整转实副转动范围无限制，摆转实副摆动范围通常小于360度。移动实副理论上的移动范围有无限的位移。实际上，任何一个移动实副都不可能提供无限的位移。就是飞机也不能提供无限平移位移。移动实副的位移是有限的。但是目前的计算自由度的公式不考虑这个因素。
在串联、并联、梳联三种结构模式当中，这种运动范围对三种机构模式的影响是不同的。对串联机构的影响比较小，计算与理论比较一致，在梳联机构当中也是如此。但是在并联机构当中，这个影响是比较大的。计算值和实际值会出现较大偏差。例如，两个摆转转动副，轴线相互重合，构成一个闭环的结构。这个闭环结构，可以构成一个单自由度机构，也可以构成一个定常结构。两个轴线相互重合的摆转转动副，如果一个顺时针转动到极限位置，一个逆时针转动到极限位置，那么这个时候他们两个连接到一块。这种安装方式，一个实副限制了逆时针转动，一个实副限制了顺时针转动，两个转动方向都受到了限制。所以呢，它就构成了一个结构。两个整转转动实副连接在一块就不会出现这个问题，两个整转转动实副轴线重合连接在一块，结果有一个自由度。两个移动实副构成的闭环结构，也会有这个问题，三个移动实副等构成的机构也有这个问题。
3.1.4 关于机构的自由度组合
串联机构和并联机构的自由度组合有64种。包括0 自由度和6 自由度。其中0 自由度和6 自由度各有一种组合。1自由度有6种组合，2自由度有15种组合，3自由度有20种组合，4自由度有15种组合，5自由度有6种组合。总共64 种组合。0 自由度是本文特别定义的自由度的一致特殊情况。
梳联机构的自由度是各个分支的自由度，分支之间互不影响。分支的自由度与分支机构有关。不同的分支有不同的自由度和自由度组合。梳联机构的分支自由度有0-6 个。梳联机构的分支自由度组合有64 种。在某些情况下，考虑脊背这一点对分支这一点的影响，这一点组仍然是64 个。这一点的最大值仍然是6.
各种串联机构，各种并联机构和各种梳联机构都有各自的不变量：即自由度特性不变是这几类机构统一的基础。即使是变胞机构，它的自由度特性在确定的时间段也是不变的。
3.2关于基本构件和构件连接定理
3.2.1 关于构件
基本构件是能够满足人的某种需求且具有连接功能的物体，通常指一个零件。组合件是由构件经过固定连接构成的整体，仍然具有能够满足人的某种需求且具有连接的功能。传统理论框架下，构件和组合件统称为构件。
传统运动副是一种连接方式（本文称为虚副）。虚副分为两种，一种是依靠自身结构或力完成闭合（形成一个整体）的虚副，即直接完成闭合的虚副，称为自闭合虚副。例如，传统的转动副，移动副，圆柱副，球副等是可以自闭合的。另一种是依靠其它虚副或实副完成闭合（形成一个整体）的虚副，即间接完成闭合的虚副，称为它闭合虚副。它闭合虚副是一个理想中的整体，想象中的整体。一些高副是它闭合虚副，例如，两个齿轮齿廓的啮合连接是需要它闭合的。棘轮与棘齿的封闭是需要它闭合的。形闭合的凸轮，是一种局部的闭合，可以代替力闭合，不能构成整体上的闭合，凸轮构成一个结构整体仍然需要它闭合。
3.2.2构件固定连接定理及推论
在前面的博文中，作者提出了构件固定连接定理。
构件固定连接定理：两个构件经过固定连接，构成一新构件，新构件具有原功能或获得新功能，新构件仍然具有连接功能。
理论上，假设固定连接后其基本结构性能是不变的。即使有材料增补，也是与原材料的性能是相同的或不低于（两个相互连接的构件）性能较低者。
连接是指两个刚性构件之间的连接。连接后两个构件之间不会发生任何位移，可视为一个刚体。
推论一：一个构件与另一个组合件固定连接，得到的一个整体仍然是一个组合件。
推论二。构件固定连接定理的推论一，实副与构件的连接定理。一个连杆型构件，或组合件，与实副的输出端或输入端构件固定连接形成一个整体，这个整体仍然是一个实副。这个实副的自由度是不变的。
图3-3 串联结构 图3-4 并联结构
图3-3和图3-4 是若干构件固定连接形成的两个新构件。有两个是串联结构，两个并联结构，得到的新结构仍然是一个构件或组合件。
图 3-5 梳联结构
图3-5是若干个构件通过固定连接构成的梳联结构。梳联结构是一个组合件。 结构可以看作是一个自由度为0的实副。
3.3关于耦合子和实副
3.3.1耦合子是新理论范式下的一个重要概念之一。耦合子由两个理想连接子和一个耦合元素组成。两个理想连接子之间有确定的运动。耦合子是虚副概念的拓展，是虚副的实体化，是一个连接方式向实物部件的转换。耦合子是一个实体，但仍然是一个理想部件。因为它的连接子是理想连接子。距离实际的可操作性还有一段距离。耦合子依靠自身结构闭合、力闭合或其它非它闭合形成的整体，即直接完成闭合的整体。所以耦合子是自闭合的。
实副是新理论范式下的最重要的概念之一。 实副是由构件1 、构件2和理想耦合子组成的整体。两个构件分别与耦合子的两个理想连接子固定连接。两个构件之间有确定的运动。实副形成一个整体是通过自闭合完成的。实副的闭合方式有多种。例如依靠自身结构完成的闭合称为形状闭合，依靠力完成的闭合称为力闭合，还有一种是依靠材料自身完成的闭合称为材料闭合。其它还有运动闭合、控制闭合等。实体运动副是通过闭合形成一个整体的。实副是直接完成闭合的，称为自闭合。依靠其它实副完成的闭合，称为它闭合。它闭合不能构成实体运动副。实副与虚副有显著不同。实副是一个实体部件。虚副是一种连接方式，不具有实体形式。
实副分为主动实副和被动实副。主动实副是一种可以通过自身的耦合子的运动驱动连杆构件作相对运动的实副。
3.4 枢构、机构和结构
3.4.1 枢构
在前面的博文中，作者试图把数学的结构概念用于机械领域，试图把机械领域的广义结构概念进行推广。把结构分为广义结构和狭义结构。试图把广义结构作为机构和狭义结构的上位概念。
在机械领域，结构（狭义）和机构是两个不同的概念。狭义结构的各个部件之间不存在相互运动。而机构的各个部件之间，必然有某些部件之间存在的相对运动。广义结构包括机构。例如，“某某机构的结构分析”。这个表达中的结构就是广义结构。广义结构的权威性不如狭义结构，广义结构的概念应用只是在某些特殊场景中应用。
机构与结构（狭义）两个概念，由教科书、国标固化，根深蒂固，不可撼动。但是，机构和结构在机械科学领域确实需要一个上位概念。
近几天，发现“架构”一词，可以作为结构和机构两个概念的的上位概念，而且可以涵盖柔顺机构和弹性结构。（关于架构一词的原始定义和用于领域以及应用到计算领域的合理性分析表明，架构经过适当拓展，可以涵盖结构和机构）。所以，拟在后文中，作出调整，用架构作为机构、结构的上位概念，而且架构可以容纳柔顺机构和弹性结构。
但是，应用架构一词，有一个缺陷，他与结构一词在语义方面和在构词方面十分相似，有同义词之嫌。经过认真考证决定还是用“枢构”（去年已提出并论证了“枢构”）一词作为机构和结构的上位概念。经检索，枢构是一个全新的汉语词汇。可以通过定义确立明确的内涵和外延。不会引起混淆。所以下文使用枢构作为机构和结构的上位概念，而且枢构包括柔顺结构、柔顺机构和弹性机构、弹性结构的内涵和外延。
3.4.2 机构
机构是由若干个实副通过固定连接或固定连接和活动连接或固定连接和活动连接1、活动连接2等方式构成的整体、且当该整体某一个实副的输入端或输出端构件固定为机架时，某一个特定构件与机架之间存在确定的运动。则该整体称为机构。
机构的主要特征
（1）基本结构单元和基本功能单元是实副；
（2）实副之间的连接方式是固定连接或固定连接和活动连接；
（3）当某一个构件固定为机架时，某一个特定构件与机架之间存在确定运动。
3.4.2 实副之间的三种连接方式解析：机构的连接方式是下列三种连接方式中的一种：
（1）、固定连接；
（2）、固定连接和活动连接；
（3）、固定连接、活动连接1和活动连接2。活动连接2通常为锁止连接。允许涉及更多个活动连接。
活动连接包括直接接触活动连接和间接接触活动连接。间接接触活动连接是通过第三者进行的连接。例如，通过链，带（平带，齿带），齿轮等进行的连接。
固定连接方式适用于连杆类机构；
固定连接和活动连接适用于啮合类机构；固定连接和活动连接同时存在。凸轮机构、齿轮机构有一个固定连接，一个活动连接。齿轮机构的活动连接包括链，带（平带，齿带），齿轮等间接连接；凸轮机构的活动连接主要是直接接触连接。
一个固定连接，一个活动连接和一个锁止连接适用于间歇运动机构。例如，槽轮机构和不完全槽轮机构有一个固定连接，两个活动连接；两个活动连接是分时连接（不是同时连接的）。两个活动连接无缝交替转换。一种活动连接对应一种运动形式。
固定连接是连接度为1的连接，活动连接是连接度为（0，1）的连接。锁止连接是连接度为0的连接。
锁止连接是一种特殊的连接形式，静止可以看作是一种特殊的移动形式。
3.4.3 梳联机构
梳联机构主要是通过首首固定连接或尾尾固定连接构成的整体（另一端开放），分支有两个或多个，分支的固定连接端点称为脊柱。脊柱可以是一个构件或一个机构。脊柱的形状包括点线段，几何图形或多面体。这个梳联机构仍然是二端点部件，脊柱是一个端点，一个分支的自由端点是另一个构型端点。梳联机构的分支可以独立工作，也可以相互配合工作。一个分支端点构成一个二端点构型连接部件。梳联机构的基本结构单元是实副，串联结构，并联机构，混联结构或梳联机构自身。梳联连接连接后构成的整体有开环和闭环两种结构模式（脊柱部分）。开环梳联机构与闭环梳联结构可以串联连接，构成混联式梳联机构。近代机构中，梳联机构表现为多分支单自由度机构。例如，单自由度机械手，机床卡盘，表现在单输入端点，多输出端输出。
串联机构，并联机构，梳联机构仍然作为二端点部件进行连接，一直作有限次连接，有限次连接后的整体仍然是二端点部件。
所有这些连接模式（串联、并联、梳联等）都有相同的基本机构单元和相同的连接方式，这是它们的统一的基础。
3.4.4 关于变胞机构的概念
由于间歇运动机构的自由度是变化的，所以有必要介绍变胞机构的概念。变胞机构（Metamorphic Mechanisms） 是一种能够在工作过程中通过改变自身的拓扑结构（构件的连接关系或自由度数量）来适应不同任务需求的新型机构。其核心思想源于生物学中的细胞分裂与重组，通过机构构态的动态变化，实现多模式运动与功能转换。在变胞机构的所有的运动状态中，存在一个过渡状态，把运动状态分为两个区间，在一个区间具有一个确定的自由度特性，在另一个区间具有另一个确定的自由度特性。在确定的工作空间，变胞机构自由度数和组合也是稳定的，分时段分区域不变的。间歇移动机构可以看作为一个简单的变胞机构。
日常生活中应用的票夹是一个变胞机构（图3-6）。票夹由三个构件和三个耦合子组成（三个实副）。三个杆件有两个是刚性U形杆件，一个是可开口弹性等腰三角形。三个耦合子有两个是基本转动实副，一个是弹性柔顺耦合子（可开口弹性等腰三角形）。票夹的使用包括有一种状态，两个过程：存放状态，工作前准备过程，工作过程。存放状态，两个刚性U形杆件靠拢，占用空间较小。工作前准备过程：两个刚性U形杆件分离，各自绕自己的转动耦合子转动，这是一个二自由度串联机构，可开口弹性等腰三角形是一个刚体。工作过程：两个刚性U形杆件与可开口弹性等腰三角形的两个边合为一体，整体变为一个单自由度柔顺转动实副。三个杆件变为两个构件。两个自由度变为一个自由度。这是一个单稳态实副。稳态状态，三角形的开口是闭合的（图3-7）。
图3-6 燕尾夹（单自由度） 图3-7 燕尾夹（二自由度）
3.5二端点部件
部件之间的连接按照连接点的连续性，分为连续连接点和离散连接点。
连续连接点包括连续线连接。连续面连接。连续焊缝是一种连续的线连接。连接端的形状是点，线段，二维几何图形。连接还可以分为局部连接和整体连接。一排订书钉上的各个书钉之间是连续的线连接。导线与导线外部的绝缘外套之间是连续面连接。金属表面外部的油漆与金属表面之间是连续面连接。自来水水管内表面与管内流动的水之间是连续面连接。
3.5.1离散连接端部件
离散连接端部件的各个连接点是分散的。这是一种多连接端部件，包括二连接端，三连接端，四连接端，五连接端，等等；连续连接端部件，连接点是连续的。离散连接端部件的连接处的形状，理论上是一个点，实际上是一个小区间。二连接端部件分为点型二连接端部件，线形二连接端部件，二维形二连接端部件，例如板型连接端是一条线段，三维二连接端部件（圆杆型，方杆型）是一个小区间。连接端可以再生，多连接端可简化为二连接端，一个端部可以提供多个可连接点位，连接多个部件。
二连接端部件是最基本的离散连接部件，其它多连接端部件可以转换为或简化为二连接端部件。
三连接端部件可以有三个连接端点。例如，一个插头有三个离散连接连接点。这三个连接点构成一个连接端
3.5.2 构型连接
二端点部件是可以通过两个连接端进行构型连接的部件。一个端点是输入端，另一个端点是输出端。二端点部件可以进行有限次连接。构型连接是为了得到一个复杂的机构（结构）整体而进行的连接。连接的目的是生成一个机构或结构。
两个端点是指这个构件的某一部分可以进行构型连接，由于连接点可以再生，所以会有多个连接点。例如并联机构的运动平台或基础平台，最多有6个连接点。在液气领域， 实副的构型连接，有固体构件连接，还有流体管道连接和流体的连接。这也是二端点连接，连接端是一组连接点。输出也是如此。一个电液伺服阀，输入端有电流，流体和固体连接。这也属于二端点构型连接。
二端点部件的分类：包括物元类，组合件类，实副类，元机构类，基本机构群类（整机类）等等。
通常，并联机构的支链中部的构件不作为构型连接端。当存在反馈连接时，反馈连接与构型连接密切相关。例如测量耦合子的温度，连接点在耦合子。当引入反馈连接时，这些也归入构型连接。
在进行机构的构型连接时，最基本的结构单元主要是实副。实副作为一个二端点连接部件参于构型。由实副经过固定连接、活动连接组合得到的装置，分为组合构件（结构）和机构两种。
二端点部件可以进行多次连接。构型连接的端点可以再生。
按照连接的目的分类，除构型连接外，还有，检测连接，装饰连接，保护连接，显示连接等等。
3.6 关于连接
实副的连接方式范围固定连接、活动连接和锁止连接。
3.6.1固定连接
实体运动副在进行构型连接时有多种连接方式。在新的理论范式下，机构是实副通过固定连接或固定连接与活动连接构成的整体。所以固定连接和活动连接是构成机构的主要元素之一 。固定连接包括刚性连接和连轴连接等。活动连接除主要包括啮合连接和完全滑动连接之外，还有其他的一些活动连接。例如弹性体连接，挠性体连接，柔顺构件连接和流体连接等。
3.6.2 活动连接
固定连接包括单点连接，线形连接，面形连接。活动连接是在两个构件接触的过程当中，连接点是变化的：连接点是连续变化的或者是交替变化的，或者是一个构件上的点是不变的，另一个构件上的点是连续变化的或者间断变化的，也可以包括其他的一些变化的形式。例如，针形支撑构成的连接，理论上是定点连接，工程上定点周围有相对运动。所以归入活动连接。
单点固定连接是连杆机构的主要连接方式。活动点连接是啮合类机构的主要连接方式。活动连接包括齿啮合连接，摩擦连接，完全滑动连接等。联轴器是一种特殊的活动连接。
3.6.3 锁止连接
活动连接有一个特殊情况，称为锁止连接（锁合连接）。其输入是一个自由度，输出是0自由度。
活动多点连接包括无穷多点连接和有限多点连接。固定连接和活动点连接是区分连杆机构和啮合机构的重要标志。对于输入端和输出端，固定连接是照单全收，输出什么，就接收什么；活动连接是接收端有选择性的接收输入信号，甚至不接受任何输入信息（锁止连接）。
活动连接有多种类型。齿啮合活动连接摩擦连接，完全滑动连接锁合连接等等。联轴器连接是连接的一种特殊形式，以固定连接或获得连接的方式实现了两个转动轴的转动传递。
可连接部件之间的连接还分为有形连接和无形连接。有形连接包括离散连接端部件，连续连接端部件等。本文所述的连接是指以有形连接为主的连接。例如，无线连接是无形连接，焊接是有形连接。有形连接分固定连接和活动连接两种。连杆结构是通过固定连接构成的整体。本文不研究无形连接。
3.7 关于传递度 连接度
3.7.1、传递度的引入
在机构系统运动与动力传递过程中，构件之间的连接方式直接决定运动、力及约束信息等的传递效果。
在机构学与机械系统动力学研究中，针对构件间连接特性的描述，现有文献多从运动副类型、自由度数目、约束矩阵、刚度特性、传动效率、力传递性能等角度展开分析。与运动传递相关的常用指标包括传动效率、力传递系数、运动耦合度、关节刚度、约束度等。其中，耦合度多用于描述系统变量间关联强弱，通常不做0~1归一化处理；传递系数、传递率多见于振动分析与动力传递领域，主要反映幅值或功率传递比例，并非针对机构连接本身的传递完整性；运动副约束与自由度则以离散整数形式描述几何约束关系，无法表征连续变化的传递程度。总体而言，现有研究尚未建立一个统一、归一化、能够同时覆盖刚性固连、活动传动与锁定状态的量化指标。
为解决这一问题，本文提出传递度概念，以归一化区间 [0,1] 统一表征各类连接的传递完整性 并提出一个传递度取值的方法。
3.7.2 传递度
（1）传递度的定义
定义 传递度（Transmissibility）
对机构中相互关联的一对相互作用的构件，定义其传递度 Φ 为描述两构件间运动、力及约束信息传递完整性的无量纲量，满足 0 ≤Φ≤1 ，
传递度的本质是输入端向输出端有效传递的信息量占总信息量的比例。传递度数值越大表示传递越完整，数值越小表示传递越微弱，数值为 0 时表示传递完全阻断。
（2）传递度的作用和理论意义
传递度以0～1归一化数值描述连接的传递程度.它从传递能力的本质对连接进行统一度量，可同时适用于刚性连接、活动传动连接与间歇连接和锁定连接。
传递度的作用
（a）. 表达了传递能力的强弱与完整性，而非仅描述几何约束类型；
（b）. 实现了固定连接、活动连接、锁定连接三类典型连接的统一表达，可覆盖连续传动与间歇传动机构；
（c）. 可直接用于机构拓扑分析、运动传递建模、系统状态描述与数值计算，具备理论与应用价值。
传递度统一了离散型连接分类与连续型传递能力的描述，为机构系统建模、传动状态分析、间歇机构量化研究提供了统一的基础量，可进一步用于结构耦合分析、系统传递路径建模与机构状态判别。
3.7.3传递度端点取值建议和取值方法
传递度在区间[0,1]两端具有明确、唯一的物理对应关系。
（a） 固定连接：Φ=1
当两构件为刚性固定连接时，运动、力与约束完全传递，无相对运动、无信息丢失、无约束中断。典型形式有焊接、螺栓紧固、刚性铆接、过盈配合等。弹性固连因传递损失极小，工程上可近似取 Φ≈1。固定连接可以把输出端的所有传递到输入端。固定连接的接收端的行为准则是“来者不拒，照单全收”。
（b）锁定连接：Φ=0。当连接处于锁定状态时，运动与动力等完全无法传递，输入端运动不引起输出端响应，呈现零传递特性。典型形式有槽轮机构停歇段、分度机构锁止状态、制动抱死状态等。锁止连接接收端的行为准则是“任敌千军万马，我自岿然不动”。所以，锁止连接是指连接度为0的连接。
3.7.4 活动连接及其取值方法
活动连接介于固定与锁定之间，传递度在开区间 (0,1) 内取值。活动连接可以把输出端的部分运动，能量，力或信息等部分的传递到输入端。输入端有选择的接受。活动连接的接收端是“任凭弱水三千，我只取一瓢饮”。啮合连接是活动连接的一种。摩擦连接也是活动连接。
为保证取值客观、统一、可重复，提出三类取值方法的原则性建议。
根据输入运动被传递到输出端的完整程度确定：
约束强、传递分量多,则Φ接近 1。仅传递单一运动形式 。Φ取中等偏小值。瞬时接触、断续传递，则Φ取较小值。例如，强约束连接，齿轮传动、同步带传动、链传动，取0.8～0.99 。一般传动连接，如平带传动，取0.7～0.85.
弱传递方式，例如凸轮、棘轮、槽轮等。取0.2～0.7.微弱传递连接，如大间隙连接、浮动连接、弱接触连接 ，有耗散的连接，取0.05～0.3.液力连接、电气连接和磁连接等，它们的传递度在（0，1）之间取值。
还有基于约束自由度比例的传递度的取值方法。建议基于约束自由度比例取值。例如，以空间自由构件具有 6 个自由度为总信息量，有5 个自由度，则传递度为1/6.有3 个自由度，则传递度为3/6.有1个自由度，则传递度为5/6.等等。以平面机构的传递度取值与此类似。
3.7.5传递度的意义和实际应用
传递度从“信息传递完整性”这一本质视角重构了机构连接的描述方式，实现了三个方面统一：
（a）. 定性与定量的统一：将固定、活动、锁定三类连接纳入同一连续量化体系；
(b) .传动与锁止的统一：可描述间歇机构在运动与静止之间的状态切换；
(c). 结构与功能的统一：既反映连接的几何约束特性，又表征其动力传递能力。
传递度可为机构拓扑分析、传动链建模、多体系统动力学建模、可重构机构设计等提供新的基础量化工具，具有一定的理论意义与应用前景
3.8并联机构和冗余支链并联机构
3.8.1 串联机构 机械领域的串联机构是开环的（电气领域的串联是闭环的）。基本结构单元首尾相连构成开环运动链，一端的构件作为机架，另一端构件作为末端执行器。构成串联机构。
3.8.2 并联机构（Parallel Mechanism，简称PM）的定义
并联机构由动平台和定平台和至少两个独立的运动链组成。两个或多个独立的运动链，一端与定平台固定连接，另一端与动平台连接，构成的一个整体称为并联机构。并联机构是以并联方式驱动的一种闭环机构。通常，并联机构具有两个或两个以上自由度。扩展的广义并联机构的自由度可以是0 或1。其主要结构特点是：a，闭环结构（单闭环或多闭环）；b，通常有两条或两条以上运动支链。
并联机构的分类
并联机构有多种分类方式。并联机构按照支链数目与自由度数目的多少分类，分为恰支链并联机构，冗余支链并联机构，少支链并联机构和其它并联机构。在引入固定点连接和活动点连接后，并联机构又分为啮合类并联机构、连杆类并联机构等。啮合类并联机构通常有一个或0 个自由度，个别啮合类并联机构有两个自由度。
冗余支链并联机构是在常规并联机构的基础上，增加了额外的没有驱动的支链，这些额外的支链被称为冗余支链。冗余支链并联机构可以提高承载能力，增强运动精度，提高可靠性，提高机构末端执行器的运动精度和定位准确性。当部分支链出现故障或损坏时，冗余支链可以在一定程度上维持机构的基本运动功能，提高机构的可靠性和容错能力。特别是少自由度并联机构，还可以用冗余支链确定并联机构的自由度，即由一个冗余支链完全确定并联机构的自由度特性，其它支链可以全部应用6自由度支链（如SPS支链），作为驱动支链。这样可以简化机构设计的难度或提高系统的精度或稳定性。
3.8.3 单自由度并联机构和0自由度并联机构
由于冗余并联机构的引入，为我们定义单自由度并联结构和0 自由度并联机构创造了条件，找到了依据。定义单自由度并联结构和0 自由度并联机构，类似于阶乘0！的定义。阶乘0！的定义是在定义1！，2！，3！，4！等等之后，依据4！，3！，2！，1！等的定义特征反推出来的。即由，
3！=4！/4；2！=3！/3；1！=2！/2；
推出： 0！=1!/1=1。
单自由度并联机构的定义是由冗余支链并联机构的概念得到的。可以看作是由四支链三自由度并联机构，三支链二自由度并联机构，再推到二支链1自由度逐步推出的。又进一步推出0 自由度并联机构的定义。并联机构，如果一个二支链或三支链并联机构，输出端只有一个自由度，则称这个并联机构为冗余支链单自由度并联机构。如果一个二支链并联机构，不论输入端是否运动，输出端均为0自由度，则称这个并联机构为冗余支链0自由度并联机构。
于是，在引入冗余支链并联机构的概念后，并联机构的自由度数突破了最少是二自由度的限制。单自由度和0 自由度机构，也可以构成并联机构。连杆机构，齿轮机构等啮合连接的闭环机构，也可以被解读为并联机构。啮合类并联机构与传统并联机构的区别是，支链与运动平台之间的连接，除固定连接外，还拓展到活动连接（啮合连接）。并联机构对外输出信息（运动、能量，力等）的一端是运动平台。运动平台的几何形状有四种：点，线段，多边形或多面体。
有了单自由度并联机构和0自由度并联机构的概念后，大部分连杆机构特别是大部分少自由度连杆机构，就可以被称为并联机构。四杆机构可以构成二支链单自由度并联机构。例如，平行四边形四杆机构（2-RR(1T0R)）是单自由度并联机构 ，Sarrus 机构（2-RRR(1T0R)）是单自由度六杆并联机构，3-RRR(2T1R)平面并联机构，3-RRR(1T2R)空间并联机构是八杆机构等等。五杆机构可以构成二支链二自由度并联机构。8杆机构可以构成三自由度平面并联机构或三自由度空间并联机构。
在现有的文献中，连杆机构是不被称为并联机构的。即使是典型的5杆并联机构或8杆并联机构，也不被称为并联机构。
单自由度并联机构以两个齿轮构成的元齿轮机构为例。元齿轮机构由两个齿轮实副通过一个固定连接和一个活动连接构成一个闭环整体。 固定连接的的两个构件构成一个机架（基础平台），活动连接完成两个实副之间的运动传递。
齿轮元机构的结构：一个齿轮实体转动副，有一个输入构件，一个输出构件和一个简单耦合子。一个输入构件是杆件，另一个输出构件是齿轮；齿轮型构件，作为运动平台（输出端）。两个转动副的杆件端与固定平台构件固定连接在一起，构成一个大构件，作为机架（基础平台）。其它的啮合机构与此类似。不赘述。
冗余支链0自由度并联机构以锁止机构为例。例如，槽轮机构的凸圆弧与凹圆弧锁合（凸圆弧与凹圆弧啮合是低副连接，称为锁合）构成的机构。凸圆弧是一个实体转动副的运动子，凹圆弧是另一个实体转动副的运动子，凹圆弧被凸圆弧锁止。在锁止的过程中，这个机构是0 自由度机构。
3.8.4 机构的类别
机械原理涉及的机构主要包括所有啮合类机构，和连杆类的部分闭环机构（少自由度并联机构）。少自由度并联机构分为两个大类：活动连接的并联机构（活动连接啮合机构）和固定连接的并联机构（闭环的连杆机构）。啮合机构，是指包含高副构成的啮合机构。连杆机构还包括串联，梳联，叠联和交联机构和各种组合类机构等。
固定连接构成的并联机构包括平面并联机构和空间并联机构（机械原理中称为连杆机构）。机械原理主要涉及平面机构（以单自由度和二自由度为主）。而组合机构也多是平面组合机构。因此，讨论的统一问题是机械原理涉及的大部分闭环机构的统一问题。下文重点讨论这个方面的统一。
按照新理论范式，啮合机构是由实体运动副（啮合型实副）通过固定连接和活动构成的闭环机构。新的理论范式，把啮合类等活动连接，作为一种活动连接方式。这种解读保留了原理论的一部分关于活动连接的解读。
啮合机构的连接，固定连接构成机架，机架保证活动连接的正常运行，活动连接用于传递运动、信息和能量。活动连接对于前一个实副的运动形态，不能原封不动的传递给后一个实副。后一个实副的输入是有选择性的：取我之所需。而不需要的运动则不予理睬。例如，槽轮机构的锁止状态，拨杆转动，槽轮不动，槽轮不接收主动轮的任何信息。再例如，一个凸轮机构，主动凸轮转动，凸轮从动件移动，凸轮从动件不接受主动凸轮的转动信息。所以，从动件得到的运动信息是经过过滤的信息。等等。
按照运动的连续性分类，啮合机构分为连续运动啮合机构和间歇运动啮合机构，间歇运动机构通常包括锁止机构。把锁止机构作为一个类别，是因为它的独特的自由度特性，锁止机构的自由度是0，是一个单自由度的运动转换为静止状态的机构。有些单稳态实副或多稳态实副也具有锁止功能。连续运动啮合机构和间歇运动啮合机构具有基本相同的连接方式。
啮合类并联机构是指在闭环运动链中，实副与实副之间的连接，至少有一个连接是啮合连接。连杆类并联机构是指在闭环运动链中，实副与实副之间的连接全部是固定连接。
3.9 近代机构的主要构型模式和自由度特性
3.9.1 各类机构的自由度特性
三类主要连接模式构成的机构具有不同的自由度特性。串联机构的自由度数不大于串联运动链的各个实副的自由度之和。并联机构的自由度数小于等于自由度数最小的那个支链的自由度数。梳联机构的自由度特性是各个分支支链的自由度互不影响，各自独立。串联机构和并联机构的自由度，是由各个实体运动副的自由度及其它们的连接关系决定的，是相互影响的。梳联机构各个实副的自由度互不影响。自由度特性是机构的不变特性，自由度数是机构的不变量。变胞机构的自由度特性是稳定的，是分时段、分区域不变的。
交联连接模式（图），叠连连接模式反馈连接模式（图）的自由度是由分支支链或元机构或反馈环节共同决定的，其自由度特性是定常的。
3.9.2各类机构的组合
串联机构、并联机构和梳联机构等可以作为元机构进行组合。串联机构与并联机构串联构成混联式串联机构（这是串联机构与并联机构的组合），并联机构与并联机构串联构成并联式串联机构（这是并联机构与并联机构的组合）。这些组合机构仍然是二端点部件。混联式串联机构和并联式串联机构都可以作为并联机构的支链，作为梳联机构构的分支。
梳联机构自身，开环式梳联机构与闭环式梳联机构串联构成混联式梳联机构，闭环式梳联机构与闭环式梳联机构串联构成串联式梳联机构。这是梳联机构与梳联机构的组合。这些组合机构仍然是二端点部件。
不难看出，串联机构、并联机构和梳联机构三者是互为基本结构单元的。这体现了三种机构的密切联系。梳联机构还可以与串联机构和并联机构组合，构成大组合（广义组合）机构：梳联机构与串联机构组合，梳联机构、并联机构组合，梳联机构与串联机构和并联机构三者组合。三种机构的结合是构成超级复杂机构的基础。例如，客运火车，客车，房车，客船，飞机，游艇等就是这种复杂机构。这些组合机构仍然是二端点部件。
这些构型模式可以进行各种对称连接或非对称连接。对称连接形成对称结构或对称机构。
图1给出了主要闭环机构的类别和基本层次。
并联机构、串联机构和梳联机构三类机构的基本结构单元和基本功能单元都是实副，实副是二端点构型连接部件。连接后构成的系统，构件之间具有相互运动的特点，构成的系统仍然是二端点部件。二端点部件可以进行有限次构型连接。 有限次构型连接的产物仍然是二端点部件。这是它们统一的基础。
下面论述的实际涉及的机构，如无特殊说明，一般指传统的串联机构和传统的并联机构。
3.10 关于独立机械和时序型机械
从另一个视角分类，机构或机械有两大类。一类机构或机械，工作时，所有部件参与运动并对其功能做出贡献。这种机构称为独立工作型机构或机器或独立机械，一个台钳是一个独立机构，一台活塞发动机是一个独立机器，一个厂房是一个独立机械。另一类机构或机器，工作分为两个或多个时间段，例如T1，T2，T3，三个时间段。T1时间段一部分部件（机构）参与运动并对部分功能做出贡献（这一部分的机构可能是一个独立机构）。T2时间段第二部分部件（机构）参与运动并对部分功能做出贡献。T3时间段第三部分部件（机构）参与运动并对部分功能做出贡献。三部分合作完成总的功能（三个部分的机构可能各是一个独立机构或有某种联系）。这一类机构或机器，称为分时工作型机构或时序型机构。剥线钳是一个时序型机构或机械。生产线多是时序型复杂机械。时序型机构多是由独立机构构成的机构群或机器群。我们主要讨论独立型机构。图1 列出了独立型机构的结构和层次划分。下文讨论的机构如无特殊说明，都是指独立机构。
3.11 新旧理论范式下的概念定义方式及其特点
新理论范式下，各个层次的概念都发生了变化。在前面的各章中，已经给出了主要的概念。下面的定义涉及各个分支系统的概念。
传统的概念体系是构件组成机构。与构件同一个层次的概念还有零件，零件通常作为基本的制造单元。与机构同一个层次的概念还有运动链，运动链是定义机构的一个过渡性概念。运动副（虚副）是一种连接方式，不是实体部件。所以我们在文献中看到的定义模式多是某某机构由什么什么构件组成，机构是构件通过运动副连接构成的整体，构件之间有确定的相互运动等等。例如凸轮和凸轮结构的定义。
凸轮机构是由凸轮、从动件和机架三个基本构件通过运动副连接组成的高副机构。凸轮（主动件）是一个具有曲线轮廓或凹槽的构件，一般为主动件，作等速回转运动或往复直线运动。凸轮有盘形凸轮、圆柱凸轮和移动凸轮等，其中圆柱凸轮的凹槽曲线是空间曲线，因而属于空间凸轮。凸轮从动件与凸轮（主动件）作点接触或线接触，凸轮从动件有滚子从动件、平底从动件和尖端从动件等。尖端从动件能与任意复杂的凸轮轮廓保持接触，可实现任意运动。
凸轮机构是由凸轮的回转运动或往复运动推动从动件作规定往复移动或摆动的机构。为了使从动件与凸轮始终保持接触，可采用弹簧或施加重力。
一般情况下凸轮是主动的，但也有从动或固定的凸轮。多数凸轮是单自由度的，但也有双自由度的劈锥凸轮等。
其它的机构也采用类似的方式定义，可参考教科书等文献，不再赘述。
新的理论范式中的概念体系（已如前述），概念分为构件，组合件，实体运动副，元机构，整机（基本机构群，复杂机构群），还有人工物种群，人工物群落，人工物生态系统和人工物圈等层次。本文中单体构件，组合构件统称为构件，无特殊情况不加区分（机械原理中二者没有区别）。构件是实体运动副的基本结构单元，实体运动副是机构的基本结构和基本功能单元，有些机构的基本结构单元还包括构件。整机是多机构构成的机构或机器，机器是具有能量变换功能或可以做有用功等。机械原理一般不涉及机器。按照新的理论范式提出的定义准则，本章先定义构件，然后定义组合构件，再定义耦合子和实体运动副，最后定义运动链和机构和机器。
四、连杆枢构（一）：单实副、二实副结构和三实副枢构
连杆枢构是在三种基本结构单元包括构件或组合件或实副中，任意选取两个或两个以上（可以重复选取），通过固定连接形成的整体称为枢构。当枢构中的基本结构单元仅有连杆或组合件时，称为结构。当枢构中的基本结构单元含有实副时，称为连杆枢构。连杆枢构分为连杆型运动链和连杆结构两大类。连杆结构的各个构件之间没有任何相对运动。连杆型运动链的构件之间，至少有两个构件之间存在相对运动。当连杆型运动链的一个构件固定后，该构件称为机架，该运动链称为连杆机构。
连杆机构是机构学重要的机构之一。
这一小节主要研究单实副、二实副和三实副连杆枢构。这是一类比较简单的枢构。关于这一类机构的分析，一部分散见于各类文献。本文把这一部分内容集中起来，并补齐文献缺失的部分，特别是关于少实副构成的串联和梳联枢构，构成连杆枢构的研究基础。
下文频繁使用的连接一词，是指有形连接，不包括无形连接。
4.1 连杆机构的新定义
4.1.1 连杆结构与连杆机构
在机械原理教科书中，机构是这样定义的：构件通过运动副的连接而构成的可相对运动的系统称为运动链。在运动链中，如果将其中一个构件加以固定而成为机架，则该运动链便成为机构（孙yuan）。连杆机构是机构中的一个类别。
在机械原理教科书中，连杆机构还有另外的一种定义：“连杆机构是由若干个刚性构件用低副连接所组成的整体。”连杆机构又称为低副机构。个别教科书补充说，连杆机构主要是低副组成的。这个补充的言外之意是高副也可以构成连杆机构。
本文不采用这两个定义。不采用这两个定义的主要原因是新理论范式下，运动副（虚副）不是主流概念，虚副是一个“退居二线”的历史概念。
不采用第二个定义原因还有：1、刚性构件用低副连接并不保证组成机构。有时，刚性构件用低副连接可以组成结构；2、不仅仅低副可能组成连杆机构，高副也可能组成各种各样的连杆机构。即使补充“主要”二字，也不准确。
在新的理论架构下，连杆机构有两种定义方式。第一个定义方式是连杆机构是连杆枢构的一个下位概念，先定义连杆枢构，再定义连杆机构。这个方法主要基于二端点部件和连接连杆概念。第二个定义方式是由连杆型实副和固定连接直接定义连杆机构。
第一个定义：连杆结构的定义:连杆枢构是由两个或多个二端点连接部件通过固定连接构成的整体。
二端点连接部件是构件或组合件时，两个部件构成结构。二端点连接部件是实副时，实副之间的固定连接或构成结构或构成连杆型运动链。
当连杆型运动链的构件之间不存在任何相对运动时，这个连杆枢构称为结构
连杆型运动链的某些构件或组件之间存在相对运动。在连杆型运动链中，如果将其中一个构件加以固定而成为机架，则该运动链便成为连杆机构。
这是从机构演化过来的一个概念。依据以上的概念，还可以得到以实副为基本概念的连杆机构的定义。
第二个定义：连杆机构是一类以连杆型实副为基本结构单元和基本功能单元通过固定连接构成的整体（或曰系统）、且当该整体的某一个实副的输入端或输出端构件（包括组合件）固定为机架时，某些构件与机架之间存在确定运动。则该整体称为连杆机构。
连杆机构的主要特征：
（1）基本结构单元和基本功能单元是连杆型实副；
（2）实副之间的连接方式是固定连接；
（3）固定连接后，某些构件之间存在相对运动；
（4）当某一个构件（或组件）固定为机架时，某些构件与机架之间存在确定运动。
连杆机构在机械工程、自动化设备、航空航天等各领域都有广泛的应用，是一
种非常重要的机械机构。
4.1.2连杆机构的基本结构单元和基本功能单元
连杆机构的具体结构形式与参与构型的实副类型、种类、数量组合方式和安装方式直接相关。各种实副（包括理想实副和非理想实副）都可以参与连杆机构的构型连接。本文主要探讨理想实副构成的连杆机构。
理想实副的集合有以下几种：
（R）集合，
（R，P）集合，
（S，P，C，H）集合，
（R，U，S，P，C，H）集合，
（R，U，S，PⅠ，PⅡ，PⅢ）集合等。
（R，U，S，PⅠ，PⅡ，PⅢ）是理想实副全集。在（R，U，S，PⅠ，PⅡ，PⅢ）集合中，（R，U，S）子集合是理想转动类实副全集集合，（PⅠ，PⅡ，PⅢ）子集合是理想移动类实副全集集合。其中
PⅠ，是单平移自由度平移理想实副，包括棱柱实副和单自由度平行四边形运动副，
PⅡ，是二平移自由度平行四边形理想运动副，包括平面二平移平行四边形运动副U£，球面二平移平行四边形运动副U*，
PⅢ，是三平移自由度平行四边形理想运动副。
PⅠ，PⅡ，PⅢ是新定义的符号，PⅡ，PⅢ是作者发明的新的螺旋运动副其它符号是学界通用符号。
（R）集合是最小实副集合，可以选取一个转动实副，两个转动实副或多个转动实副进行构型连接，仅用六个转动实副，经过适当连接，几乎可以构成所有64 种自由度组合。用多于六个的转动实副，几乎可以构成所有64 种自由度组合的机构。所以转动实副可谓是万能实副。
（R，P）是基本实副集合。可以构成所有64 种自由度组合的机构。
（R，P，C，H）是基本实副集合的拓展。
（R，U，S，P，C，H）学界常用的实副集合。
（R，U，S，PⅠ，PⅡ，PⅢ）是理想实副全集。理想实副全集中的PⅡ，PⅢ平移
实副是作者2016年的发明专利。
上述任一个实副集合，都可以构成各种各样的机构，包括64 种自由度组合的任一个机构，包括各种各样的串联机构、并联机构、梳联机构和混合机构等等。理想实副全集可以构成64 种理想机构。
4.1.3连杆机构的组成和工作原理
（1）机械原理教材中，按照传统的解读，连杆机构可分为固定构件（机架）、原动件和从动件。固定构件（称为机架）是机构中固定不动的部分，用于支承其他活动构件；原动件是输入运动和动力的构件，通常由外界驱动；从动件是在原动件的带动下进行运动的构件，完成预期的工作任务。运动副（虚副）是构件之间的可动连接，本文称这个可动连接为虚副。
在新的理论架构下，连杆机构作为并联机构，其基本组成包括基础平台，支链组，运动平台。对于冗余支链并联机构，支链可以分为驱动支链和无驱动支链两大类。驱动支链至少有一个主动实副，用于驱动运动平台，自由支链一般不提供驱动，仅用于确定运动平台的自由度。
串联机构和混联机构的机架和执行器分别位于机构的两个端部，并联机构的基础平台是固定端，是机架，执行器一端是运动平台。运动平台与基础平台可以互换。
（2） 连杆机构的工作原理
连杆机构通过各构件之间的相对运动，将输入运动和力进行转换和传递。其工作过程可以概括为：
（a）. 恰当的输入运动：通过主动副的运动，驱动整个机构运动。
（b）. 运动传递：单个或多个支链在主动副的作用下，驱动运动平台，实现特定的运动轨迹。
（c）. 输出运动：运动平台产生所需的运动形式等。
4.1.4. 连杆机构的分类
按照连杆的数量，连杆结构分为二杆结构、三杆结构、四杆机构、多杆结构等。这是传统的分类方法。这是连杆机构的传统分类方法。
在新理论范式下，按照实副的数量，连杆机构可分为单实副机构、二实副机构、三实副机构、四实副机构、多实副机构等。N副结构与N杆机构不具有一一对应关系。
一个实副有两个构件，二实副机构有两个实副，两个独立实副有四个构件，三副机构有三个实副，三个独立实副有六个构件，四副机构有四个实副，四个独立实副有八个构件，余类推。当实副通过固定连接构成闭环机构时，按照构件连接定理，两个固定连接在一起的构件形成一个构件。单闭环的连杆机构，有几个实副就有几个构件。开环机构有N个实副，则有N+1个连杆（构件）。梳联机构的连杆数目也多于实副的数目。
所以，单实副开环机构是二杆开环机构、单实副闭环机构是单闭环单杆结构、单实副半闭环机构是单实副二杆半闭环机构。
二实副开环机构是二实副三杆机构、二实副闭环机构是单闭环二杆结构、二实副半闭环机构是二实副三杆梳联机构。
三实副开环机构是三实副四杆机构、三实副单闭环机构是单闭环三杆结构、三实副半闭环机构是三实副四杆梳联机构。
二杆闭环机构也是二实副闭环机构。N实副单闭环机构也是N杆机构。N实副构成的N闭环或多闭环机构的构件数目小于实副数。
以上给出的连杆机构的定义，以实副作为基本结构和功能单元。连杆机构的基本机构单元，可以拓展。例如，元机构（包括闭环基本连杆机构）、基本机构群、基本机器群，复杂机构群、复杂机器群等都可以作为连杆机构的基本结构和功能单元。一个基本结构单元就是一个二端点连接部件。
机械原理研究的连杆机构，多指闭环机构，且几乎不涉及单杆机构、二杆机构，或3杆机构。现代机构研究的连杆机构，包括开环机构、闭环机构和半闭环机构等。现代机构的自由度多大于等于2，自由度数为3 或6 的机构研究较多。本文引入冗余支链少自由度并联机构的概念，把一些0自由度或1 自由度连杆机构定义为广义并联机构。实现了经典连杆机构与现代并联机构的结构统一。
连杆机构按照主体结构特征分为开环连杆机构、闭环连杆机构、半闭环连杆机构和混合环连杆机构等。混合环连杆机构是由开环连杆机构、闭环连杆机构连接构成的。
关于运动链，还必须指出，除了确定机架外，一个机构还要有恰当的驱动，才能形成实用的机构。
开环连杆机构构成串联机构，闭环连杆机构构成广义并联机构，半闭连杆机构构成梳联机构等。混合环连杆机构是由串联机构并联机构和梳联机构组合构成的连杆机构。半闭环机构通常是指梳联机构。
机械原理中，连杆机构是按照连杆数量分类的。分为四杆机构、五杆机构、八杆机构等等。本文按照连杆机构中的实副数量划分类别。分为单副机构，二实副机构、三实副机构、四实副机构等等。机构可以是开环，闭环或半闭环。单实副机构如果是闭环机构，其构件数目与实副的数目相等，则构成结构，自由度为0。二实副闭环结构、三实副闭环机构，可以组成结构或机构。四实副闭环结构或更多实副组成的机构同样可以组成结构或机构。
二实副闭环机构、三实副闭环机构、四实副闭环机构，可以构成冗余支链少自由度并联机构（也称为广义并联机构）。冗余支链少自由度并联机构包括0自由度、1自由度和2自由度并联机构等。四实副单闭环机构对应机械原理的四杆机构。五实副单闭环机构对应机械原理的五杆机构。六实副单闭环机构对应机械原理的六杆机构等。二实副闭环机构、三实副闭环机构也可以称为二杆机构和三杆机构，部分可以构成并联机构。四杆闭环机构可以称为二支链单自由度并联机构。
本小节重点论述二实副机构机构。下一节讨论四实副机构和更多实副构成的机构。
4.1.5、研究单实副、二实副和三实副枢构的必要性和价值
机械原理作为工科机械类专业的核心基础课程，其现有教学体系均以四连杆机构为起点，逐步延伸至五连杆、六连杆等多连杆机构，同时涵盖凸轮机构、齿轮机构、槽轮机构等啮合机构。这些机构均属于闭环机构，且是工程实践中最常用的类型，但并非机械机构体系中最基础的构成单元。
现有教材虽将上述机构定义为“基本机构”，但实际上存在更为简单、基础的机构形式——单实副机构、二实副机构及三实副机构。从建立机械原理各章节内容统一理论的视角来看，这类少实副机构（实副数≤3）的研究不可或缺：一方面，其作为机构从简单到复杂演化的核心节点，填补了现有体系从“无机构”到“四杆机构”的理论空白，完善了机构演化的连续性；另一方面，其揭示了机构与结构之间的辩证关系，阐明了实副组合过程中的基本规律，为连杆机构与并联机构的统一、连杆机构与啮合机构的统一奠定了基础。
此类研究看似简单，实则是构建机构统一理论的基础性支撑。从构件到组合件、再到实体运动副（以下简称“实副”）的演化过程，本质上是机械部件从静态结构向动态机构的转变，这一转变是机械系统实现运动功能的核心前提。少实副机构的研究不仅提供了“单实副→二实副→三实副→多实副（实副数≥4）”的机构演化路径与思路，更揭示了机构与结构相互转化的复杂过程。实副之间的固定连接既可能构成新的机构，也可能形成结构。这种转化规律是机构统一理论的核心逻辑支撑。
不论是单实副、二实副、三实副或多实副，它们的基本组合方式都包括串联并联和梳联三种基本枢构模式。三种模式有各自不同的自由度特性。特别是梳联结构的特性，研究甚少。随着实副数量的增多，枢构模式也会增加。
现有机械原理体系未涵盖单实副、二实副及三实副机构，也没有研究串联机构和梳联机构，而且仅研究闭环机构，未涉及开环机构和半闭环机构，导致研究内容缺乏全面性、理论缺乏基础性、思维缺乏连续性。尤其对闭环机构与闭环结构的演化逻辑阐释不完整，制约了机构统一理论的构建。
4.2 单实副构成的枢构
4.2.1、单个实副构成的枢构
单实副枢构是一个实副或一个实副与一个构件构成的枢构。枢构包括一个实副或一个构件与一个实副或一个组合件和一个实副。如此组合构成的整体，可以构成三大类枢构。包括串联枢构、梳联枢构和并联枢构。串联枢构全部是串联机构、梳联枢构也全部是梳联机构。而并联枢构，既可以是并联结构，也可以是并联机构。
4.2.1.1串联枢构（图4-1）。
一个实副，当实副的一个构件固定作为机架时，另一个构件作为执行器时，这个实副成为一个机构。这个机构具有与实副相同的自由度。
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图4-1 单实副串联机构
图4-1a是一个转动实副构成的串联机构，有一个自由度。 图4-1b 是一个球副构成的串联机构，有三个转动自由度。图4-1c是一个圆柱实副构成的串联机构，有两个自由度，一个转动自由度，一个移动自由度。
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图4-2 单实副梳联机构（1） 图4-3 单实副梳联机构（2）
4.2.1.2梳连机构（图4-2，图4-3）。单实副梳联机构由一个实副或一个实副与一个构件组合构成，可以形成一个梳联机构。这个梳联机构必有一个支链是机构，另一个支链是一个组合件（构件）。这个梳联机构可以作为一个操作手。
4.2.1.3并联结构。一个实副通过固定连接构成的并联（闭环）结构，必是一个组合件。不论这个实副是哪一种，并联枢构都没有活动部件。图4-4和图4-5列出几种由单个实副构成的并联结构。
a b c a b c
图4-4 单实副并联结构（1） 图4-5 单实副并联结构（2）
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图4-6 由一个实副构成的并联结构
图4-6是三支链并联结构。其中一个支链是一个实副。另外两个0 自由度支链。两个0 自由度支链可以作为一个构件。
4.3 二实副枢构
4.3.0 二实副的生成方式
二实副枢构是由两个实副（或配合若干个构件或组合件）经过固定连接构成的枢构。二实副枢构包括两个实副或一些构件或组合件。如此组合构成的整体，可以构成三大类枢构。包括串联枢构、梳联枢构和并联枢构。其中串联枢构全部是串联机构、梳联枢构也全部是梳联机构。而并联枢构，既包含并联结构，也包含并联机构。
组成二实副闭环机构（也称为二杆机构）的实副包括转动实副R，移动实副P，圆柱实副C，螺旋实副H，万向实副U和球实副S。还可以扩展到其它理想实副。理想实副全集，包括三个理想转动实副和三个理想移动实副。从理想实副全集选取理想实副，可以构成所有自由度组合的理想机构。
从实副集合（R，P，C，H，U，S）中任取两个（可以重复选取），组合构成一个二副结构，有多种组合方案。
两个相同的实副构成的二副方案：
RR，PP，CC，HH，UU，SS。
两个不相同的实副构成的二副方案：
RP，RC，RH，RU，RS
PC，PH，PU，PS
CH，CU，CS
HU，HS
US
其中，以两个转动实副和两个移动实副或转动实副和移动实副构成的闭环链多见。两个实副构成的闭环结构，大多是定常结构，少部分是运动链，可以作为机构。
也可以从理想实副全集（R，U，S，PⅠ，PⅡ，PⅢ）中任取两个（可以重复选取）。
两个转动实副或两个移动实副轴线重合或轴线平行构成的闭环机构，按照现有的自由度计算公式，得到这个并联机构具有一个自由度。理论上，这是正确的。因为，理论上，我们默认移动自由度有无限的移动范围，就是说，移动范围不受限制。而实际上，工程中的移动实副都有一个有限的移动范围。这是理论与工程实际的差别。对于工程实际问题，我们既要应用理论思维，也要应用工程思维分析实际问题。工程实际上，两个移动实副的组合，情况比较复杂。实践中，两个移动实副组合后的结构，有可能是一个自由度的机构，也可能没有自由度（是一个定常结构）。
从两个基本实副（转动实副和移动实副或多种实副）中，任意选取两个实副，构成一个闭环结构。有多种结构组合方式。例如，两个实副的轴线重合，两个实副的轴线平行，两个实副的轴线相互垂直，两个实副的轴线既不平行也不垂直等。在所有的各种组合中，一部分构成一个结构，一部分构成机构。三副组合构成的闭环结构，也有类似的情况。
下面主要讨论由（R，P）集合构成的二实副枢构。包括RR组合、PP组合和RP组合。
二杆机构和三杆机构机械原理教科书很少提及或几乎不提及的机构，但是它们又是连杆机构中最简单最基础的机构。例如，两个轴线平行的移动实副构成闭环机构。这个机构是二杆机构、两个轴线重合的转动实副可以构成二杆机构等等。探讨机构学的统一，不能不讨论这两种最基本的机构。
二实副机构，主要可构成开环二实副三杆机构，二实副二杆闭环机构和半闭环二实副三杆梳联机构三种。开环机构的自由度与运动实副的自由度相等。闭环机构的自由度部大于最小自由度的运动链的自由度。
二实副结构，构成半闭环梳联机构，由分支和脊柱两部分组成。当脊背是构件或组合件时，脊柱是固定的机架。当脊背是机构时，可以选择脊柱的某一个构件作为机架，或者整个脊背的机构固化作为机架。
机械原理的N杆机构，与N实副机构的对应关系。
开环单实副机构是单实副二杆机构。闭环单实副机构，是单实副单杆结构。半闭环单实副机构，是单实副二杆梳联机构。
开环二实副机构是二实副三杆机构。闭环二实副机构，是二实副二杆结构。半闭环二实副机构，是二实副三杆梳联机构。
开环三实副枢构是三实副四杆机构。闭环三实副枢构，是三实副三杆枢构。半闭环三实副机构，是三实副四杆梳联机构。
开环四实副枢构是四实副五杆机构。闭环四实副枢构，是四实副四杆枢构。半闭环四实副机构，是四实副五杆梳联机构。
可以看出，开环机构的构件数是实副数加一。单闭环机构的构件数与实副数相等。在单闭环机构中，N实副机构与N杆机构是等同的。即N个实副构成的单闭环机构，是N杆机构。多闭环的并联机构的杆件数小于实副数。
其它的多副机构，具体是几杆机构，可以仿照以上的方法得到。
4.3.1 二实副的组合与结构
二实副构成的枢构有很多种。在任一个实副集合中选取（可重复选取）两个实副都可以由于组建并联枢构。
二实副构成的枢构，包括开环枢构、半闭环枢构和闭环枢构。二实副闭环枢构为单闭环。
4.3.2二实副构成的串联枢构
两个实副串联连接，构成开环运动链。当开环运动链的一端固定后，该运动链构成一个二自由度机构（图4-7，图4-8）。
a b a b
图4-7 二实副串联机构（1） 图4-8 二实副构成的串联机构（2）
4.3.3 二实副构成的梳联机构
两个实副固定连接，固定连接的部分作为机架，两个自由端作为输出端，构成二分支梳联机构。梳联机构的两个分支可以独立工作，也可以相互配合，构成操作手。
a b c d e
图 4-9 二实副构成的梳联机构
图4-9a、b、c所示的枢构有两个分支，两个分支都是单实副机构，分别应用反射、旋转和平移对称布置。
图4-9d所示的枢构有两个分支，两个分支都是箱型单实副机构，可用于建筑或家具。
图4-9e所示的枢构有两个分支，左侧的图的两个分支都是柔顺转动实副。右侧图的两个分支是普通的转动实副。这两个梳联机构可以作为操作手。
a b
图4-10 两个具有闭环分支的梳联机构
图4-10a、图4-10b所示的梳联机构有两个分支。其中一个分支是二支链单自由度并联机构。另一个分支是一个构件。
4.3.4二实副构成的并联枢构
4.3.4.1 二个转动实副组合构成的闭环枢构
两个转动实副构成的枢构分为几种情况讨论。
理论上转动实副与移动实副都可以无限制的连续运动。实际上，移动实副不可以，转动实副可以。讨论转动实副需要分为两种情况。整转转动实副（可以连续转动）和摆转转动实副（转动范围小于360度）。两种转动实副的组合连接分为三种情况。全部整转转动实副组合，两个摆转转动实副组合，一个整转转动实副与一个摆转转动实副组合。
a b c
图4-11 两个转动实副构成的闭环机构
两个转动实副构成的闭环机构范围几种情况。
（1）两个转动实副的轴线重合
两个轴线重合的转动实副构成的一个闭环机构（图4-11a），分为以下几种情况。
由两个整转转动实副构成。具有单转动自由度，转动范围无限制（图4-11a）
由一个整转转动实副和一个摆转转动实副构成。具有单转动自由度，转动范围由摆转转动实副的转动范围决定。
由两个摆转转动实副构成。自由度特性取决于两个摆转转动实副的初始安装状态。
两个摆转转动实副的具体的连接方式分为三种情况。
安装方式一（参考图4-11b）：
初始状态，两个摆转转动实副轴线重合，串联固定连接在一起，两个转动实副都处于最大转动角度，一个顺时针转动到最大转动角度一个逆时针转动到最大转动角度。如果从初始状态开始，两个转动实副再转动时，转动方向相反，两个转动实副相互制约，不能同步转动。这个枢构是0自由度结构。
安装方式二：（参考图4-11c）
两个转动实副都处于最大转动角度，或者顺时针转动到最大转动角度，或者逆时针转动到最大转动角度。从初始状态开始，两个转动实副再转动时，转动方向相同，两个转动实副没有相互制约，可以同步转动。这个机构的输出端相对于机架有一个转动自由度。其转动范围小于等于min(C1,C2)。其中C1，C2分别代表两个移动实副的移动范围。
安装方式三，不是第一种和第二种包括的情况，两个转动实副的组合构成一个单自由度机构。可转动范围在0和min(C1,C2)之间。
（2）两个转动实副的轴线平行
两个轴线平行的组合情况见图4-12、两个轴线垂直（非平行）的组合情况见图4-13、二者均构成结构。图4-13是轴线垂直的情况，它们构成的结构的自由度为0 。
图4-12 两个轴线平行的转动实副构成的闭环结构
（3）两个轴线垂直的的转动实副构成的闭环结构
a b
图 4-13 轴线垂直的两个转动实副构成的闭环结构
（4）两个万向节和两个球副构成的闭环枢构（图4-14，图4-15）。两个枢构都是单自由度机构。
图 4-14 两个万向节构成的闭环机 图4-15 两个球副构成的闭环机构
4.3.4.2 两个移动实副构成的闭环枢构
（1）轴线重合的两个移动实副构成的闭环枢构
工程实践中，两个移动实副的组合，因安装方式不同有多种组合方案。 理论计算的自由度值，与实际或有所不同。某个具体的枢构方案有不同的自由度特性。
两个轴线重合的移动实副构成的单闭环枢构
初始状态，两个移动实副轴线重合串联固定连接在一起，构成一个闭环。
第一种情况如图4-17a，初始安装状态，两个移动实副都处于最大伸长状态。左侧活塞杆与右侧缸筒固定连接，作为输出端。缸筒连接在一起作为机架。这时的机架与两个移动实副的输入输出端固定连接。活塞杆作为输出端。从初始状态再缩短时，受到机架的限制，不能移动。这时，形成一个结构。
第二种情况如图4-17b ，初始状态，两个移动实副都处于最小伸长量。初始安装状态，缸筒固定连接在一起，活塞杆固定连接在一起。两个移动实副再伸长时，方向相反，两个移动实副相互制约，不可以同步移动。则形成一个结构。
第三种情况如图4-17c ，初始状态，两个移动实副都处于最大伸长量。初始安装状态，缸筒与活塞杆固定连接在一起。两个移动实副再缩短时，方向相同，两个移动实副相互制约，不可以同步移动。则形成一个定常结构。
a b c
图4-17 两个轴线重合的移动实副构成的闭环机构
第四种情况如图4-18a ，初始状态，两个移动实副都处于中间位置。初始安装状态，缸筒固定连接在一起，活塞杆固定连接在一起。缸筒作为输出端，活塞杆作为机架。则形成一个单移动自由度机构。其移动范围小于等于min(L1,L2)。其中L1，L2分别代表两个移动实副的最大移动范围。
第五种情况如图4-18b ，初始状态，两个移动实副都处于最大伸长量。初始安装状态，缸筒与缸筒固定连接在一起，作为机架。活塞杆与活塞杆固定连接在一起，作为输出端，两个移动实副可同步缩短两个移动实副以同步移则形成一个机构结构。其移动范围小于等于min(L1,L2)。L1，L2分别代表两个移动实副的移动范围。
a b
图4-18 两个轴线重合的移动实副构成的闭环机构
（2） 两个轴线平行（不重合）的移动实副（或圆柱副）构成的闭环机构
（ 两个轴线平行的移动实副构成一个闭环机构，以及理论计算，会构成一个单自由度的机构（黄真《高等空间机构学》第254 页有2-C（2-RP）机构的自由度计算）
实际上，按照组装方式的不同，既可以构成结构也可以构成机构。
a b
图4-19 2-P 并联枢构。 图4-20 2-C ，C&P轴线平行的并联枢构。
图4-19 是由两个移动实副构成的二支链并联机构，两个移到实副轴线平行布局。
图4-20a 是由两个圆柱实副构成的二支链并联机构，两个圆柱实副轴线平行布局。
图4-20b是一个圆柱实副和一个棱柱副构成的二支链并联枢构。
下面主要讨论2-P 并联机构。 2-C 和 C&P并联机构 与2-P 并联机构类似。
a b a b
图4-21 2-PP并联枢构， 图4-22 2-CC并联枢构
图4-21a和两个轴线平行（不重合）的移动实副构成一个闭环机构。其移动范围小于等于min(L1,L2)。L1，L2分别代表两个移动实副的移动范围。
图4-21b两个轴线平行的移动实副构成一个闭环结构。初始安装时，一个移动实副处于最大伸长状态，另一个移动实副处于最小伸长状态。二者相互制约。
图4-22a两个轴线平行的圆柱副构成一个闭环结构。一个圆柱副限制了另一个圆柱副的转动自由度。一个圆柱副限制了另一个圆柱副的移到自由度。圆柱副失去了自己的两个自由度。
图4-22b两个轴线平行的圆柱副构成一个闭环机构。图4-22a，一个圆柱副限制了另一个圆柱副的转动自由度。圆柱副失去了自己的转动自由度。由于两个圆柱副不在同一时刻达到最大和最小位移，还有一个移动自由度。其移动范围小于等于min(L1,L2)。L1，L2分别代表两个移动实副的移动范围。
2-CC或2-PP构成的并联机构，可以选择连杆支链中的一个运动副作为主动实副。在不考虑摩擦力的情况下，构成一个机构。如果考虑摩擦力，则可否构成一个实用机构，与两个实副轴线之间的距离有关。一个实副作为驱动实副，两个实副轴线之间的距离如果充分大，则可能锁死。摩擦系数越大，则出现锁死时，两个实副轴线之间的距离越小。如果两个实副同步驱动，则不会出现锁死现象。
图4-23 2-C机构（轴线平行） 图4-24 2-C 结构（轴线垂直）
图4-23 ，初始状态，两个圆柱实副轴线平行，并联，两个缸筒固定连接在一起，两个移动实副不同时处于最大伸长量，或不同时处于最小伸长量状态。这时的机架是两个缸体，输出端是两个活塞杆。活塞杆伸长时，运动方向相反，则形成一个单自由度机构。其移动范围小于等于min(L1,L2)。L1，L2分别代表两个圆柱实副的移动范围。
（3）两个移动实副轴线垂直，构成一个闭环结构（图4-24）。
图4-24，初始状态，两个移动实副轴线垂直，互相制约位移，构成一个闭环结构。
4.3.4.3 一个转动实副与一个移动实副的组合
（a） 由R副和P副构成的串联机构（图4-25）。
（b） 由R副和P副构成的梳联机构（图4-26）。
a b a b c d
图 4-25 串联机构 图4-26 梳联机构
（c）由R副和P副构成的并联结构（图4-27）。
a b c
图4-27 并联结构
4.3.4.4 两个螺旋实副构成的枢构
（a）HH 的组合串联机构（开环）
图4-28 图4-29
（b）二个螺旋实副构成的梳联机构。
图4-30 梳联机构 图4-31 梳联机构
（c）二个螺旋实副构成的并联枢构（二实副轴线重合）。
图4-32 2-H结构 图4-33 2-H结构
4.3.4.5 二个螺旋实副构成的并联机构。
图4-33 2-H机构 图4-34 2-H机构
二个螺旋实副轴线平行构成并联结构（二实副二连杆枢构）。
（待续）
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