引用本文

刘鑫. 时滞取值概率未知下的线性时滞系统辨识方法. 自动化学报, 2023, 49(10): 2136−2144 doi: 10.16383/j.aas.c201016

Liu Xin. Identification of linear time-delay systems with unknown delay distributions in its value range. Acta Automatica Sinica, 2023, 49(10): 2136−2144 doi: 10.16383/j.aas.c201016

http://www.aas.net.cn/cn/article/doi/10.16383/j.aas.c201016

关键词

系统辨识，参数估计，时变时滞，时滞取值概率未知 

摘要

在大多数系统辨识方法中, 通常假设时变时滞在其可能的取值范围内服从均匀分布. 但是这种假设是非常受限的且在实际过程中常常无法得到满足. 因此在时滞取值概率条件未知的情况下, 针对一类线性时变时滞系统提出有效的辨识方法. 利用期望最大化(Expectation maximization, EM)算法将拟研究的辨识问题公式化, 期望最大化算法通过不断地迭代执行期望步骤和最大化步骤得到优化的参数估计. 在期望步骤中, 将未知的时变时滞当作隐含变量来处理并且假设可能的取值范围已知. 在每一个采样时刻, 时滞的变换由一个概率向量控制, 并且该向量中的每一个元素是未知的, 将其当作待估计的未知参数处理. 在算法的每次迭代过程中, 计算时滞的后验概率密度函数(Probability density function, PDF), 并在此基础上构造代价函数(Q-函数). 在最大化步骤中, 通过不断优化(Q-函数)来估计想要的参数, 包括模型参数、噪声参数、控制概率向量中的每一个元素和未知的时滞. 最后通过一个数值例子验证提出算法的有效性.

文章导读

系统辨识作为一种有效的系统建模手段, 在过去的一段时间里受到国内外学者的广泛关注[1-5]. 与传统的第一原理建模方法相比, 系统辨识方法直接通过可测的系统数据提炼出与实际系统等价的数学模型, 无需深入窥探系统的内部复杂机理, 因而使得建模过程变得简单、高效[6-11]. 在系统辨识领域, 由于长时间的数据传输、数据获取方式的不同等因素, 常常导致不同的过程变量之间存在未知的时间延迟(时滞). 时滞作为一个常见的现实问题, 很容易降低辨识数据的数据质量并且对辨识算法的设计提出更高的要求[11-13]. 在辨识算法设计的过程中, 忽略时滞因素的影响会导致有偏的参数估计, 甚至错误的辨识结果[14-16].

在实际的工业过程中, 过程变量之间的时滞大体上可以分为两类: 固定时滞和时变时滞[13-18]. 对于包含固定时滞的系统辨识问题, 传统的方法一般是分为两个步骤进行: 1) 对输入−输出数据利用相关分析法, 先求解未知的时滞参数; 2) 基于时滞参数求解未知的模型参数[17-21]. 但是这样的解决方案实质上是将时滞估计和参数估计独立分开执行, 很容易造成误差累计, 进而影响辨识结果的精度[17]. 为了解决误差累计的问题, 文献[22]在统计学的框架下并基于极大似然判据提出了一类有效的迭代辨识算法. 利用期望最大化(Expectation maximization, EM)算法首先将辨识问题公式化, 将未知的时滞变量当作隐含变量来处理. 在辨识过程中, 不断计算时滞的后验概率密度函数(Probability density function, PDF), 通过比较后验概率密度函数的值来判断未知时滞的取值. 该方法的主要优点包括: 1) 给出了显性的时滞估计公式; 2) 能够同时给出时滞参数和模型参数的极大似然估计, 避免了误差累计降低辨识结果的精度. 随后该辨识思想被重新利用在线性变参数时滞系统过程中, 文献[23]采用多模型方法对线性变参数时滞系统设计有效的局部辨识算法. 首先在每一个工作点处, 选取线性自回归时滞模型为局部模型, 每一个局部模型的时滞参数各不相同; 然后利用期望最大化算法同时估计各子模型的时滞参数、模型参数以及有效宽度参数; 最后利用输出插值策略估计系统的全局输出. 在每一个采样时刻, 将系统全局输出写成每个子模型输出数据的加权组合的形式. 此外, 文献[24]结合了冗余法则以及递归最小二乘算法针对一类线性时滞系统进行了辨识研究. 核心思想是扩展原系统的维数, 然后再辨识扩展系统的模型参数. 如果某项系数趋近于零, 则认为该项在原系统中不存在, 并依据于此来判断时滞参数. 这种辨识思路无形中增加了算法的复杂度.

针对时变时滞系统辨识而言, 首先要确定未知时滞的变化机制. 在现有的文献中, 最常用的变化机制是首先假定时滞可能的取值范围, 然后假定时滞在取值范围内服从均匀分布, 即在每个采样时刻, 时滞取每个值的概率相同[3, 14, 16, 18-19]. 文献[25]针对多率采样时滞系统提出了一类有效的辨识方法. 输入、输出变量分别采用快率、慢率采样, 且输入和输出变量之间存在服从均匀分布的时变时滞. 利用期望最大化算法实现上述系统辨识问题, 将未知的时滞变量当作隐含变量来处理, 上述辨识问题可归纳为: 在慢率输出基础上同时估计时滞参数和模型参数. 另外, 基于辨识得到的有限脉冲响应模型还可以进一步促进输出丢失情况下的输出误差模型和传递函数模型的辨识问题. 文献[14]采用多模型局部辨识的思想针对线性变参数输出误差模型辨识进行深入研究. 能够同时给出各子模型的时滞参数和模型参数的估计公式, 由于目标代价函数与模型参数呈非线性关系, 采用阻尼牛顿法来迭代搜索模型参数的最优解. 此外, 文献[18]在输入输出数据双率采样的条件下考虑了线性状态空间时滞模型的辨识问题. 首先利用离散化技术得到待辨识系统的慢率采样模型; 利用数学工具将慢率采样模型转化成能观标准型; 利用卡尔曼滤波算法估计未知的状态变量; 最后利用随机梯度算法和递归最小二乘算法辨识模型参数. 在辨识过程中考虑了状态变量与输出变量之间存在未知的时变时滞, 且假定时滞在可能的取值范围内服从均匀分布.

然而, 对于时变时滞系统而言, 认为时滞在可能的取值范围内服从均匀分布这个假设通常过于严格, 在很多情况下很难得到满足. 为了解决这个问题, 本文在时滞取值概率未知的条件下研究线性时滞系统辨识问题. 仍旧假定时滞可能的取值范围先验已知, 但是时滞取每个值的概率各不相同, 即在时滞的取值范围内, 时滞取每一个值的比重各不相同. 不难看出, 时滞服从均匀分布可以看作本文研究内容的一个特例, 因此本文的研究更加贴近实际应用. 采用极大似然算法搭建辨识框架, 将时滞当作隐含变量来处理. 在每个采样时刻不断计算时滞的后验概率密度函数, 且该函数作为权重自适应地分配给每一个数据点, 因此提高时滞的估计精度也能促进模型参数估计精度的提升. 同时给出模型参数、噪声参数、控制概率向量中的每一个元素和未知的时滞的估计公式, 最后利用一个数值例子验证算法的有效性.

图 1  输入输出辨识数据

图 2  经过50次迭代得到的模型参数估计值

图 3  噪声方差的收敛曲线

针对时滞取值概率未知的情况, 本文基于期望最大化算法提出了一类有效的线性时滞系统辨识算法. 将时滞的取值概率当成未知的参数来处理, 在辨识过程中所提出的算法能够有效地同时估计模型参数、噪声参数和时滞参数. 仿真结果表明, 本文提出的辨识算法具有快速的收敛速度以及较强的稳定性. 基于本文的研究内容, 未来的研究工作可注重以下两方面:

1) 跳过高斯假设, 在更加复杂的数据条件下, 例如在非高斯噪声、自相关噪声以及量化的输出条件下研究时滞系统辨识方法;

2) 进一步考虑相邻时刻时滞间的相关性, 对于包含相关时滞 (例如: 马尔科夫时滞) 的系统辨识问题进行深入研究. 此方向的研究甚至可以扩展到马尔科夫切换系统辨识方法的研究.

作者简介

刘鑫

中国矿业大学人工智能研究院副教授. 2019年获哈尔滨工业大学控制科学与工程专业博士学位. 主要研究方向为系统辨识, 数据驱动的工程建模, 软测量方法. E-mail: 15B904027@hit.edu.cn