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“执行定理”的证明 (总复习)
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执行定理中有四个大角色: X, B, A, M.
---- X 和 B 组成配对 (X, B), 属性为 eps-lc.
---- A 有属性 very ample, 满足 Aᵈ ≤ r.
---- M 非负, 属性为 R-Cartier R-divisor.
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评论: 这些角色和属性看着挺零散的.
---- 思考点在于, 怎么想出来的 ?
---- (X, B) 更像 “对象”, A 和 M 更像 “方法”...
---- 经验上, A 的出现有常规性, M 或作辅助(?)
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角色之间的关系:
---- A 在 X 上. (“在...上” 指 “on”).
---- A 和 B 的关系: A - B ample.
---- A 和 M 的关系: |A - M| ≠ Ø.
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评论: A 处于核心地位.
---- 思考点: 这些条件是怎么想出的 ?
---- 第一条是常规的.
---- 第二条有基本性.
---- 第三条只是包装 ?
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定理的结论是个不等式:
---- 存在 t > 0 使 lct(X, B, |M|) ≥ lct(X, B, |A|) ≥ t.
---- 猛一看会感到奇怪, 咋突然出来个不等式?
---- 特别地, 副定理也是个不等式...
---- 也是关乎 lct(·).
(副定理或起到很强的启发作用!)
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探寻不等式的根源.
1）全篇实际上是个 “玩配对” 的游戏.
---- 不等式的根源可从配对中探寻.
---- 配对有若干常见类型...
---- 此文中 eps-lc 型的配对最突出.
---- 其定义为 a(D, X, B) ≥ eps(对每个素除子D).
2）另一方面, 结论中的不等式关乎 lct(·).
---- 其定义为 sup{ s>0 | (X, B + sL) lc, ∀L ∈ |A|}.
---- 即 “最大” 的 s, 使得 (X, B + sL) lc.
---- 也即 “最大” 的 s, 使得 a(D, X, B + sL) ≥ 0.
---- 由于 “≥” 指 “> 或 =”, 满足其一即可.
---- 可设“最大”的s, 使 a(D, X, B + sL) ≥ eps'>0.
(引入 eps' 是原作的关键发明)
---- 即 “最大” 的 s, 使得 (X, B + sL) eps'-lc.
3）“lct(·) 正下界” 的概念源于副定理.
---- 为此须“拿出” t, 并表达为 t ≥ ??.
---- 恰好 a(D, X, B) - a(D, X, B + sL) = μDν*sL.
---- 假设 μDν*sL ≥ ?? 则有: s ≥ ??/(μDν*L).
---- 若 ?? 为常数, 则只须找出 μDν*L 的上界.
(这就是 命题5.7 的缘起了, 也关乎不等式).
4）假设的实现μDν*sL ≥ ??.
---- 引入 T 使得 a(T, X, B + sL) = eps'.
这是因为(蓝、粉)两个不等式不便相减.
---- 这样就实现了 3）中的假设.
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评论: 出现不等式的根源是 (X, B) eps-lc.
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(X, B) eps-lc 与 lct(·) 的结合.
---- (X, B) eps-lc 意味着 a(D, X, B) ≥ eps.
---- lct(·) 蕴含 (X, B + sL) lc 型配对.
---- 若引入 T, 使得 a(T, X, B + sL) = 0...
---- 也可实现上述3）中的假定.
---- 但原作选择 (X, B + sL) 由 lc 向 eps'-lc 对齐.
(缘由或见第四段的情形)
---- 于是有不等式 a(D, X, B + sL) ≥ eps'>0.
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图解:
| (X, B) eps-lc ~ (X, B + sL) eps'-lc <~ lct(·) | | a(D, X, B) ≥ eps ~ a(D, X, B + sL) ≥ eps' |
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评论: (X, B) eps-lc 内蕴的不等式相当于“骨架”, lct(·) 转形为 (X, B + sL) eps'-lc 再借助 T (用减法)“附着” 到骨架上, 即形成 lct 不等式.
---- 简言之, lct 不等式 是 (X, B) eps-lc 和 lct(·) 结合的产物.
---- 以上讨论也揭示了命题5.7的起源.(待确认).
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加评: 执行定理是为了证明副定理, 后者提示 “lct 不等式”.
---- 此提示包括这么几个方面:
1) lct(·)
2) 不等式
3) lct 不等式.
---- 探寻2)的根源, 追索到 (X, B) eps-lc.
---- 对1）转形, 得到形式 (X, B + sL) eps'-lc.
---- 最后, 两者结合就看出 lct 不等式.
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小结: 执行定理的理解有所深入( lct 不等式的来源; 副定理的提示作用; 命题5.7的起源).
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