图1 Taylor-Couette 流动的转捩过程中，圆周方向的瞬时速度分布显示的奇点的形成及其分叉（横坐标是时间） 。内圆柱旋转而外圆柱静止，上面的速度分布是接近外圆柱的而下面的速度分布是接近内圆柱的。我们首次发现，Taylor-Couette 流动的转捩过程中，湍流产生从流道中心位置开始。图中中间的那个速度分布最先产生奇点，即速度分布在最小值处的尖点（Zhou et al. 2025，作者的group）。

众所周知，湍流问题是经典物理学中没有得到解决的最后一个难题。这句话是著名物理学家诺贝尔奖获得者费曼于1960年代中期说的。从那时起，到现在，又有60年过去了，可是大家认为，湍流的问题还是没有解决。即使现在事实上湍流问题已经被“能量梯度理论”真正解决了 【1-5】，由于湍流学术圈对过去的根深蒂固的湍流错误理论的坚持，正确的理论还不能很快地得到承认。湍流领域另一个例子是边界层理论，由普朗特于1904年提出，结果直到等到1936年左右，才得到流体力学界的承认，但这已经过去了30多年。

（一）湍流转捩的预测问题

湍流问题100多年都没有解决，主要是一些错误理论及错误慨念的引领，这些错误的理论都是国际上最顶尖的著名专家做出的，他们的文章引用率都有上千次，几千次，而且有些错误的成果还获得了国际奖项。过去140年以来，这些错误的理论统治和主导着湍流领域的研究方向，而大多数人又多是从事跟风的研究，人云亦云，缺乏独立创新的思考，缺乏质疑，所以湍流问题一直是物理学、数学和工程领域里面的难题。100多年的时间里，湍流的研究方向在几个方面来回徘徊。如线性理论、随机运动、统计理论、线性理论（再次兴起）、非线性理论、弱非线性理论、混沌理论、二次失稳理论、瞬态增长理论，等等。

顺便指出，为什么这些诸多理论，都没有解决湍流的问题？如果能解决湍流问题，其实一个理论就足够了。最主要的问题是，这些理论，没有一个是完全基于Navier-Stokes (NS) 方程的全部信息的，没有一个是能够与实验数据符合一致的。预测湍流转捩的方法，要包含转捩过程中非定常的流动变化的物理特性和过程发展，这样才能切中问题的实质，才有可能得到与实际的湍流发生相一致的结果。

在网络平台上，在一些文献里面，在教科书里面，最含糊的，最不清楚的，是人们回答湍流是怎么产生的，但你又不能说这些回答是错误的。如“湍流是由于流动不稳定性”，“湍流产生是由于非线性引起的”。具体是怎么流动不稳定性或非线性影响引起湍流产生，详细的细节却没有，实际上就是对湍流产生的详细物理机理仍不清楚。这里不是要去贬低任何人，实际上过去50年来直到现在，在读者心中湍流研究就是处于这样的状态。

从1883年的雷诺圆管实验算起，过去140年以来，在湍流研究领域里，最不靠谱， 最不科学的研究方法就是所用的预测湍流转捩的临界雷诺数的方法，这也是我们从研究生课程，从教科书上学到的内容，包括上面提到的诸多理论，包括各种线性的和非线性的理论。甚至动力系统理论和混沌理论，拿一种与流体流动无关的理论，说是什么物理现象相关，用100个自由度，用19个自由度，计算出了临界雷诺数，结果显示有那个趋势，但这根本没有科学道理。所用的预测临界雷诺数的方法与湍流转捩过程相关吗？预测方法包含了湍流转捩阶段的瞬时速度信息和湍流转捩的物理机理了吗?

再说非线性理论，朗道方程（Landau equation），一个表示幅值变化的方程，和NS方程有关系吗？即使两个方程物理上都是非线性变化，失稳机理可能并不相同。根据实验和直接数值模拟(DNS)计算，现有的流动控制方程里面，大家发现只有NS方程才能描述湍流。NS方程非常奇妙，因为它隐含了奇点可以发生的信息，只有在扰动下的NS方程的瞬时流动信息，才能反映这种奇点。大量数值模拟和实验表明，湍流转捩不一定取决于流体内部自身的扰动幅值的增大，或者类似的扰动动能增大。但是可以说湍流转捩取决于涡量突变，这是因为奇点爆发会引起涡量突变。湍流产生需要涡量突变。

我们使用的流体力学教科书，粘性流体力学教科书，边界层理论教科书，甚至计算流体力学教材，都有“流动稳定性和湍流转捩”这么一章，介绍的就是线性稳定性理论，先是无粘的后是有粘的。当我们在读本科生和硕士研究生时，就已经根深蒂固地学习和灌入了这样的先入为主的理论知识，以至于博士阶段和博士后阶段，都是顺着这样的思路进行着湍流的研究。即作者的职业生涯前10多年，学习的结果就是：湍流是由于流动不稳定，是流动失稳引起的，为什么失稳，因为在高雷诺数，Orr-Sommerfeld (O-S)方程的特征值是正的，引起流动不稳定，所以引起扰动幅值增长，最后发展成为非线性扰动发展，导致了湍流转捩。但是对于圆管流动，不管雷诺数多么大，一直到雷诺数无穷大，特征值永远是负的，流动失稳又不能解释了，这个问题对于作者就像对湍流研究的前辈们那样，整天为此困惑中。即使先辈海森堡带着这个问题去问上帝，上帝也可能并不知道？所以若干位湍流研究的前辈们像著名的物理学家海森堡、应用数学天才林家翘和JFM的主编Batchelor那样就趁着年轻早早选择改行了！

（二）线性稳定性理论预测湍流转捩的问题

线性稳定性理论是一批最著名的物理学家和应用数学家发展起来的，先后包括瑞利（Rayleigh，英国皇家学会主席，因发现了惰性气体氩气而获得了诺贝尔奖)，Orr（爱尔兰物理学家，应用数学家），索末菲（Sommerfeld，物理学家，海森堡的导师，获得81次诺贝尔奖提名），海森堡（量子力学主要奠基人之一，诺贝尔奖获得者），Tollmien和Schilichting(普朗特的学生，T-S波的理论建立者)，林家翘（冯卡门的学生，应用数学家，美国物理学会首个流体动力学奖获得者，美国工业与应用数学会主席），沈申甫（台湾省出身美籍华裔学者），冯纽曼（匈牙利裔、著名应用数学家、计算机专家、电子计算机发明者之一），Orszag(著名应用数学家，湍流DNS先驱，RNG-k-epsilon湍流模型建立者，二次失稳理论创建者之一)，等人。

线性稳定性理论，在湍流领域的应用，从1924年海森堡的博士论文，到1944年林家翘博士论文的著名的证明，一直应用到了100年多后的今天。线性稳定性理论的预测与实验结果的不一致，导致人们对此理论进行修修补补，而不是从根本上考虑此理论用来预测湍流转捩的不合适性。主要原因是，湍流怎么产生，层流怎么转捩为湍流的原因不清楚，早些时候就想当然地认为，层流线性失稳了，层流就转捩为湍流了。可是对槽道流动，线性稳定性理论预测出的临界雷诺数是5772，而实验得到的临界雷诺数是1000。为了修补此理论，人们提出了基于此理论的三维线性稳定性理论、二次失稳理论、及瞬态增长理论等。这些修改后的理论都被用来预测湍流转捩，虽然得到的临界雷诺数小了一些，可是还都不能得到与实验结果的一致性，也不能合理解释湍流转捩的物理机理。比如，大量实验表明，湍流转捩取决于外部的扰动幅值这个事情，物理上数学上也都没有解释清楚。后来，只有能量梯度理论解释清楚了【1】。

过去还有许多方法用来预测临界雷诺数，对比预测值和实验值的差异，并提出修正，这是一条并不科学的方法。因为在预测出的临界雷诺数时，流动内部发生了什么、速度和压力怎么变化并不知道；在湍流转捩发生时，在实验测得的临界雷诺数，内部流动速度发生了什么变化也不清楚，这种临界雷诺数的对比，意义并不大。可是100多年来大量发表的论文就是这样做的，那些引用率上千次的论文都是这样做的。

对湍流转捩的预测，正确的做法是，应该对比湍流转捩发生时，显示一下在预测出的临界雷诺数，瞬时流动速度发生了什么突出的变化，而再检测在实验测得的临界雷诺数，流体内部瞬时速度发生了什么变化，理论和实验的这种瞬时速度的突变，必须得到一致。直接对比瞬时速度的分布变化，才是可信的做法。如果能够做到这样，理论就应该是比较可靠的了。作者提出的能量梯度理论就是这样一种理论，全部基于NS方程的瞬时信息【1-5】。理论预测发现在湍流转捩时，瞬时速度分布出现了奇点，实验测量也是观测到，湍流转捩时，速度分布出现了奇点。理论预测并与实验获得了一致。由于随着雷诺数的提高，奇点的数量增大以及bifurcation发生，而最终导致湍流转捩发生。

直接对比，理论预测出的临界条件下的瞬时速度分布，和湍流转捩发生时实验测量获得的瞬时速度分布，才是最正确的判断一个理论能否预测湍流转捩的方法， 而不是只仅仅对比理论和实验的临界雷诺数的大小。

根据对大量实验数据及数值模拟结果的检查，我们发现，线性稳定性理论预测出的临界雷诺数，流动失稳后，流动并不是湍流，而是另一种层流。线性稳定性理论与湍流转捩，实际上毫无直接关系，这才是真相。这是因为流动在线性失稳后，并不具有转捩为湍流的能力。例如，对Taylor-Couette流动，层流线性失稳后是层流的Taylor cell涡流，并不是湍流。对Rayleigh-Benard对流问题，刚开始液体薄膜在线性失稳后是Benard cell，是层流 cell涡流，并不是湍流。对平板边界层层流流动，线性失稳后是一种三维的层流流动，并不是湍流。只有后面流动进一步发展，随着雷诺数的提高，当流动中出现了奇点之后，才有可能转捩为湍流。

最后指出，线性稳定性理论本身没有错误，它是一个精确的数学理论，但用来预测湍流转捩就是错误的了 【6】。线性稳定性理论可以用来预测流动稳定性，像两个同轴圆柱间的Taylor-Couette流动以及Rayleigh-Benard对流问题，都没有问题。但是线性稳定性理论描述的这种流动稳定性，在流动失稳后，虽然改变了原来的流动状态，但并不会产生奇点，还没有达到转捩为湍流的能力。

（三）瞬态增长（Transient growth）理论的问题

作者在以前的科普文章里【6】，介绍了和剖析了线性稳定性理论的错误之处，今天在上面再次进行了复习。下面今天来剖析一下瞬态增长（Transient growth）理论的错误。

为了解决线性稳定性理论不能正确预测湍流转捩的问题，欧美和前苏联等国家的物理学家和应用数学家，都提出了各种改进办法。在1988-1993年期间，欧美一批顶尖的应用数学家认为，线性稳定性理论不能正确预测湍流转捩的原因，是由于Orr-Sommerfeld方程的线性算子向量基不正交，引起了线性扰动的瞬态增长，使得真正的湍流转捩提前发生，即认为湍流转捩可以发生在特征值为负的范围内，认为这个想法可以解决线性理论得到的临界雷诺数5772和实验得到的临界雷诺数1000的差距的问题（对槽道流动）。以1993年发表在Science上的一篇长文为标志（Hydrodynamic stability without eigenvalues），其作者为国际上最顶尖的应用数学家。后来20多年来，有一些人跟随，在这方面发表了大量论文。2007年并在ARFM上发表了综述论文（Nonmodal Stability Theory )，积累了很高的引用率。但是瞬态增长理论并不能取得与实验数据的一致性，也不能解释湍流产生和湍流转捩的物理机理，更不能解释湍流的 Kolmogorov的能量级串现象。

让作者觉得不可思议的是，这些顶尖的应用数学家认为，考虑了瞬态增长，预测的临界雷诺数从5772降低到了3000，与实验值1000更接近了，就认为预测更精确了，说明理论更好了，被改进了。这确实有点不可思议，这样的改进有意义吗？这个3000与5772实际有本质的区别吗？应该去检测在雷诺数为3000和5772时，流体内部的瞬时速度分布有没有本质的变化，与雷诺数1000发生湍流转捩时的瞬时速度分布是不是一致。

举个例子，一个人得了肺炎发烧，医生认为发烧就开出了退烧药，结果服药后体温从40度降低到了38度，你就认为根治了发烧、药到病除了？该医生不知道发烧的原因，也不知道根除的方法。只看到其外，并不知其里。

大家可以搜一下，坚持和采用瞬态增长理论的湍流专家，在上世纪末和新世纪初的20年，占据了国际流体力学湍流研究的半壁江山，在JFM和POF,PRL等国际期刊，有大量的论文发表及其引领。这种理论不仅用在了湍流转捩中，而且也用来研究完全发展的湍流流动。而且更有意思的是，当你向流体力学学科的国际期刊投稿时，审稿人还以此为标准，认为你的理论与瞬态增长理论不一致为由，进行拒稿。还有审稿人要求作者应该按此理论的方向去做，才能解决湍流问题。

现在看来，瞬态增长理论，与原始的线性稳定性理论一样，对湍流产生及湍流转捩的预测结果，都是错误的。因为这些理论都是基于线性扰动的发展，而湍流产生和湍流转捩都是非线性扰动所导致的，只有非线性作用才能产生奇点，才能引起湍流转捩【1】，所以这些理论与湍流转捩都没有直接关系。

（四）湍流产生/湍流转捩是由于非线性作用导致的NS方程的奇点出现

为什么非线性作用会引起奇点？因为非线性作用引起扰动的谐振，会导致扰动频率的集中，在非线性作用较强时这是必然现象。工程上用的选矿用的振动筛，就是利用的这个原理。在粘性流动中，由于非线性的作用，当在某些点上，流动突然失去了粘性作用，这些点就成为了奇点。即奇点是粘性流动中，突然失去粘性作用的那些点。奇点越多，代表粘性流动中，无粘作用的点越多，也就是流动越倾向于湍流。现在，你就是否理解了早些年间，有的文献提出湍流是无粘流动主导的流动，而层流是粘性流动主导的流动。这句话只是一种形象的说法，并不完全准确。

随着雷诺数增大，湍流中的奇点数量随之增大，说明雷诺数越大，无粘作用占的成分越多。但是，并不是雷诺数越大，流动就越趋向于无粘流动，毕竟粘性的作用还在，由粘性无粘作用产生的漩涡还在，而且永远不能消失，会耗散能量。这就是为什么当雷诺数趋于无穷大时，为什么湍流的耗散率不趋于零。这些概念已经解释了湍流的反常耗散(anomalous dissipation) 的问题。这种反常耗散称之为湍流的第零次定律。这些分析说明了，粘性流动，当雷诺数趋于无穷大时（含有奇点），不会趋于无粘流动（没有奇点）。即，湍流的反常耗散是由于奇点导致的。

上面已经反复强调了，奇点对于理解湍流是多么重要！

为了全面理解，现在再重述一下作者在另一篇文章中的几句话：湍流是NS方程中的对流项与粘性项相互干扰的结果。对牛顿流体，湍流转捩的条件是高雷诺数和有限幅值扰动。对于湍流产生，粘性是必要的，没有粘性就不能产生奇点。无粘流动中不可能产生湍流，因为不能产生奇点。扰动在湍流转捩中起的作用就是促使流场中产生NS方程的奇点【1】。

重申一下， 根据能量梯度理论得到的准则：湍流产生/湍流转捩的必要及充分条件是流场中出现NS方程的奇点【1】。

NS方程是著名的非线性偏微分方程，大家都知道，当雷诺数增大时，非线性作用增强，而当随着雷诺数增大发生了湍流转捩时，也很容易知道是非线性作用引起了流动状态的改变，即湍流转捩。线性稳定性理论是不能预测由非线性影响发生的流动变化的。根据DNS和实验观察，主要是非线性作用，通过循环的周期操作，逐渐地，在流场中重新分布了机械能，改变了速度剖面的原始形状，创造了奇点产生的临界条件。流场中的这些变化，线性作用是永远做不到的。

到目前为止，能量梯度理论是唯一的一个完全基于三维非定常的NS方程的、基于瞬时速度分布的变化的，考虑了非线性扰动干扰影响的、分析湍流转捩的精确的理论和方法。是唯一的一个与各种类型的流动的实验数据以及DNS/LES计算数据符合一致的理论和方法【1-5】，包括圆管流动、槽道流动、平面Couette流动、边界层流动、Taylor-Couette流动（图1）【7】、尾迹流动【8-9】，等等。

能量梯度理论解释了湍流由奇点产生，湍流大涡的能量通过奇点爆发从主流输入，奇点通过 bifurcation 逐级产生了小涡（解释了K41的标度律），第一级奇点的流向分布成为了拟序结构的来源，奇点之间的部分成为了间歇区，奇点是引起剪切层失稳导致猝发循环过程产生的原因（上抛和下掠），奇点引起的猝发成为了湍流维持的动力源泉，奇点解释了雷诺数趋于无穷大时的反常耗散，解释了为什么平面Couette流动和Taylor-Couette流动中，湍流产生都是从流道中心位置开始，等等。利用能量梯度理论，推导出了NS方程的奇点，解释了几乎所有的湍流里面的问题。还有太多，将另文一一进行表述。

能量梯度理论是唯一的一个同时描述了湍流转捩的物理机理和完全发展的湍流的维持机理的理论。这是因为湍流转捩和完全发展的湍流的机理是唯一的，都是由NS方程控制的。

另外，大家知道，现在的湍流的DNS计算，还只能计算低雷诺数，对大雷诺数，需要的硬件内存和计算资源很大。这是因为，随着雷诺数增大，湍流内部奇点的数量急速增大，而尺度减小，DNS计算扑捉这些小尺度的奇点需要更精细的网格。

（五）总结

今天的文章主要指出了湍流研究领域里的2项错误。（a）线性稳定性理论用来预测湍流转捩的错误。（b）瞬态增长理论用来预测湍流转捩的错误。

（1）线性稳定性理论预测的失稳，失稳后是另一种层流，并不是湍流，这已被实验和数值计算所验证。因此，线性稳定性理论不能用来预测湍流转捩。

（2）瞬态增长理论预测了在层流线性失稳之前，小扰动具有瞬态增长的特性，导致了扰动幅值在特征值为负的条件下会有所增长。但是因为这种方法，也不能预测奇点的出现，所以不能用来预测湍流转捩。

能量梯度理论和数值模拟研究表明，尾迹流动里面的湍流产生/湍流转捩过程和机理与壁面流动里面的完全相同。实验研究和数值模拟，包括直接数值模拟（DNS）与大涡模拟（LES），都显示了湍流产生和湍流转捩是由NS方程的奇点（速度间断）所导致的（即猝发Burst）。任何理论，如果不能预测NS方程的这种奇点，就不能正确预测湍流的转捩。因此，过去100多年来的所有理论，除能量梯度理论外，预测湍流转捩时，都不能获得与实验数据的一致性，正是由于这个原因。

现在幸运的是，能量梯度理论与所有得到的实验数据和DNS/LES结果都一致，能量梯度理论及其预测的奇点学说解释了所有的可能的湍流的任何问题，起到了正本清源的作用。

湍流问题本身就很难，而湍流领域里的若干理论和物理解释充满了太多的错误，所以湍流问题就更难。如果误入歧途，你可以能够跟随主流文献，对一些错误理论进行锦上添花的工作，而发表一些无关紧要的文章，也能获得很高的引用率，但是做的研究没有任何科学价值，你一生的才华就浪费了。

作者的做法是，除了必须帮助研究生毕业，不得不做一些在要求的期限内能够快速完成的工作外，坚决不去浪费脑力体力，跟随主流文献，做一些无关紧要而又与科学无关的工作，而去发表一些论文。这就是作者倾尽30多年，矢志攻克湍流的原因所在，尽管那些诸位神级的顶尖科学家在上帝也不清楚的湍流难题面前已经选择急流勇退了。

作者的湍流专著详细论述了作者创立的能量梯度理论【1】，介绍了怎样根据NS方程推导出了奇点，以及该理论对若干具体流动问题的应用。该专著在德国Springer出版后两年多来，已经被下载了50000次，引起了各国同行学者的广泛关注。

参考文献

1.Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer.    https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7  (全书下载地址).

2. Dou, H.-S., Singularity of Navier-Stokes equations leading to turbulence, Adv. Appl. Math. Mech., 13(3), 2021, 527-553. https://doi.org/10.4208/aamm.OA-2020-0063  -2020-0063 (AAMM);

https://arxiv.org/abs/1805.12053v10   (Arxiv） （通过物理学推导出奇点）

3. Dou, H.-S., No existence and smoothness of solution of the Navier-Stokes equation,

Entropy, 2022, 24, 339.  https://doi.org/10.3390/e24030339   （通过数学推导出奇点）

4.窦华书教授在纳维-斯托克斯方程问题上取得新进展，浙江理工大学官网新闻， 2021。

https://news.zstu.edu.cn/info/1033/41169.htm 

5. Dou, H.-S., Structure of solutions of the Navier-Stokes equation at existence of singularity, Preprint, Submitted to a Journal, October 2024.

6. 窦华书，线性稳定性理论在层流到湍流转捩中的应用问题，https://mp.weixin.qq.com/s/RKW02JwgEam5KOSGxsGxyw   (流体空间公众号)。

7. Zhou, C., Dou, H.-S.*, Niu, L., Xu, W., Inverse energy cascade in turbulent Taylor–Couette flows, Physics of Fluids, 37, 2025, 014110. https://doi.org/10.1063/5.0250908  

8. Niu, L., Dou, H.-S.*, Zhou, C., Xu, W., Turbulence generation in the transitional wake flow behind a sphere, Physics of Fluids, 36, 2024, 034127. https://doi.org/10.1063/5.0199349 

9. Niu, L., Dou, H.-S.*, Zhou, C., Xu, W., Solitary wave structure of transitional flow in the wake of a sphere, Physics of Fluids, 37, 2025, 014111. https://doi.org/10.1063/5.0251193 

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