精选
作者 高关中（德国汉堡）2025/6/3
中学生都要学习几何。几何学的奠基人是古希腊人欧几里得（Euclid，约前330-约前275），他被誉为“几何学之父”。其名著《几何原本》（Elements）是世界上印数最多的书之一，长期被奉为科学著作的典范，影响至今不衰。
在亚历山大从事研究
欧几里得生活在公元前3世纪的古希腊，具体出生年份不详，只知他居于柏拉图 (卒于公元前 347 年) 的学生与阿基米德 (生于前 287 年) 之间。因此他的生卒年代有几种估计，大多倾向于约前330-约前275年。据说他的父亲是一位精通数学的商人，因此欧几里得从小就对数学产生了浓厚的兴趣。他曾在雅典的柏拉图学园学习，为哲学家柏拉图的再传弟子，深受柏拉图学说的影响。
欧几里得年轻时正是亚历山大大帝叱咤风云的年代。前323年亚历山大大帝逝世后，其部将托勒密在埃及称王，尊号托勒密一世（Ptolemay I，约367-前282），建立了托勒密王朝，定都亚历山大城。这座新城很快繁荣起来，居民达五六十万人，一跃成为当时世界最大的城市，地中海的名港，欧洲和东方的贸易集散地和文化交流的枢纽。被称为世界七大奇迹之一的亚历山大灯塔就是代表这一时期文明的杰作。他还于此建立缪斯神殿（Muses是希腊神话中的文学科学艺术女神）和附属机构亚历山大博学园和藏书70万册的亚历山大图书馆。其中博学园西文为Mouseion，Musaeum，博物馆这个词即来源于此。但亚历山大博学园虽然也有一些收藏，但不是博物馆，而是以亚里斯多德的吕刻昂学园（Lyceum，与柏拉图的雅典学园类似）为样板成立的多学科研究教育设施，也可译为缪斯学园。当时古希腊和东方的许多著名科学家、学者、诗人和剧作家，纷纷来到这里研究讲学、著书立说。一时间，亚历山大人才济济、群英荟萃，成为世界的知识中心。这一时期创造的灿烂文化将古希腊文化推向又一个高潮，历史上称之为“希腊后期文化”或“亚历山大文化”。这一文化实际上是希腊和埃及等各地文化互相融合的结晶，对人类的科学与文化事业做出了重大贡献。
就是这个时候，即公元前300年左右，欧几里得应国王托勒密一世之邀，来到亚历山大城，长住于此。主持数学教育，并潜心研究几何学。
有个故事说明欧几里得长于几何学。当时，人们建造了高大的金字塔，可是谁也不知道金字塔究竟有多高。有人这么说：“要想测量金字塔的高度，比登天还难！”这话传到欧几里得耳朵里。他笑着告诉别人：“这有什么难的呢？当你的影子跟你的身体一样长的时候，你去量一下金字塔的影子有多长，那长度便等于金字塔的高度！”
最早的几何学兴起于古埃及，借哲人泰勒斯（Thales，约前626-前548，曾到过埃及）传到古希腊，并由毕达哥拉斯学派奠定了初步的推理基础。在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的知识，然而这些知识存在一个很大的缺点和不足，就是缺乏系统性。大多数是片断、零碎的知识，公理与公理之间、证明与证明之间并没有什么很强的联系性，更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明。
因此，随着社会经济的繁荣和发展，把这些几何学知识加以条理化和系统化，成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系，已经刻不容缓。欧几里得通过早期对柏拉图数学思想，尤其是几何学理论系统而周详的研究，已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势。
他下定决心，要在有生之年完成这一工作，成为几何第一人。为了完成这一重任，他在文化蕴藏丰富的亚历山大城一边收集以往的数学专著和手稿，汇集前人的成果，并向有关学者请教切磋；一边开始著书立说，将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理整理在严密的逻辑系统运算之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。经过欧几里得忘我的工作，终于结出丰硕的果实，这就是数学名著《几何原本》，为古希腊数学发展的顶峰。
《几何原本》一问世，就成为流行的数学课本。以至于国王托勒密一世也想赶这一时髦，学一点几何学。虽然这位国王见多识广，但欧氏几何却令他学得很吃力。于是，他问欧几里得“学习几何学有没有什么捷径可走？”，欧几里得笑道：“抱歉，陛下!学习数学和学习一切科学一样，是没有什么捷径可走的。学习数学，人人都得独立思考，就像种庄稼一样，不耕耘是不会有收获的。在这一方面，国王和普通老百姓是一样的。” 从此,“在几何学里,没有专为国王铺设的大道”这句话成为千古传诵的学习箴言。
欧几里得不仅对不肯刻苦钻研、有投机取巧想法的人持批判态度，他也反对那种对学习采取实用主义的态度。另一则故事说，一个学生刚学了第一个命题，就问欧几里得学习几何学后将得到什么。欧几里得瞥了他一眼，给了他三个钱币，冷冷地说道：“看来你拿不到钱，是不肯学习几何学的。”弄得那个学生无地自容。
欧几里得的工作，不仅为几何学的研究和教学提供蓝本，而且对整个自然科学的发展产生了深远的影响。爱因斯坦对欧几里得的成就作过高度评价，他说：“西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，那就是：希腊哲学家发明形式逻辑体系（在欧几里得几何学中），以及通过系统的实验发现有可能找到因果关系（在文艺复兴时期）。”
《几何原本》
数学研究的对象是“数”与“形”，形的数学就是几何学．它是以直观为主导，以培养人的空间洞察力与思维为目的。欧几里得总结希腊古典数学的成就，编写出世界数学史上第一部几何学教科书《几何原本》，主要讨论平面图形和立体图形几何学方面的知识，也有一些代数和数论的内容。这是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作。它不仅保存了许多古希腊早期的几何学理论，而且通过欧几里得开创性的系统整理和完整阐述，使这些远古的数学发扬光大。它对数学的传播与发展起到了重大的推动作用，而且影响了人们的思维方式，直到今天仍受到学术界的推崇。
《几何原本》是一部系统阐述几何学原理的著作。全书共分为13卷，内容主要涉及平面几何和立体几何的各个方面。其中第一卷是几何基础，给出基本定义、公设和公理。做出关于平行线、三角形、平行四边形的许多命题（定理）的证明。第二卷主要讨论毕达哥拉斯定理（勾股定理）及其应用。第三卷关于圆与角。第四卷讨论圆与内接和外切正多边形的尺规作图问题。第五卷研究比例关系，第六卷研究相似性，包括相似三角形、相似多边形等概念及其性质。前6卷主要是平面几何的内容。第七至第九卷为数论内容。第十卷讨论无理量。最后三卷，讨论立体几何。目前中学几何课本中的内容，绝大多数都可以在《几何原本》中找到。
欧几里得采用了独特的、前所未有的编写方式，即公理化方法和逻辑推理。公理（Axioms）就是确定的、不需证明的基本命题。在一个数学理论系统中，尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。
首先他对公理和公设作了适当的选择（这是非常困难的工作，需要超乎寻常的判断力和洞察力），推出一组简洁而精致的公理和公设。然后从这些公设、公理出发，证明各个定理，并做了适当的组织与安排，形成了比较完整的知识体系。其逻辑性非常强，几乎无须改进。
书中包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。他的公理是一些计算和证明用到的方法（公理1，等于同量的量相等； 公理2，等量加等量其和相等；公理3，等量减等量其差相等；公理4，可重合的图形全等；公理5，整体大于局部）他给出的5个公设倒是和几何学非常紧密的,也就是后来我们教科书中的公理。这5个公设分别是：
公设1：任意一点到另外任意一点可以画直线。
公设2：一条有限线段可以继续延长。
公设3：以任意点为心及任意的距离可以画圆。
公设4：凡直角都彼此相等。
公设5：同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角和小于二直角的和,则这二直线经无限延长后在这一侧相交。
23个定义包括点、线、面的定义等等。
欧几里得采用公理化方法，先摆出公理、公设、定义，作为已知，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题，使之成为定理。他提出许多重要的几何学命题，并加以证明。如“两点之间线段最短”、“直角三角形的勾股定理”等。这些定理至今仍被认为是几何学的基本原理。其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观止。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最复杂结论的系统。因而在数学发展史上，欧几里得被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人。
而在整部书的内容安排上，也同样贯彻了他的这种独具匠心的安排。它由浅到深，从简至繁，先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭法等内容。其中有关穷竭法的讨论，成为近代微积分思想的来源。
欧几里得的《几何原本》对后世的数学家产生了深远的影响。首先，它奠定了几何学的基础，为后世的几何学研究提供了理论体系和方法。几何学正是有了它，第一次实现了系统化、条理化。许多后来的数学家都是在欧几里得的基础上进行创新和发展的。例如，古希腊科学家阿基米德就是在欧几里得的基础上对几何学进行了深入的研究和拓展，求得较为准确的圆周率。
其次，欧几里得的公理化方法和严密逻辑推理方法对后世的数学研究产生了重要影响。照欧氏几何学的体系，所有的定理都是从一些确定的、不需证明而礴然为真的公理演绎出来的。在这种演绎推理中，对定理的每个证明必须或者以公理为前提，或者以先前就已被证明了的定理为前提，最后做出结论。此书成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范，被誉为“科学史上的《圣经》”。这一方法后来成了建立任何知识体系的样板，在差不多二千年间，被奉为必须遵守的严密思维的范例。许多欧洲科学家都继承了这种严谨的思维方式。
在训练人的逻辑推理思维方面，《几何原本》比任何一本逻辑学著作影响都大。对于欧洲人来讲，只要有了几个基本的物理原理，其他都可以由此推演而来的想法是很自然的。科学家一方面要观察、做实验，提出符合事实的定律或原理，可以看作公理；另一方面，需要由此出发，进行细心的分析和演绎推理，形成学说体系。牛顿所著《自然哲学的数学原理》一书就是以著名的运动三定律出发，按照与《几何原本》类似的形式写成的。像牛顿一样，西方的科学家都在模仿欧几里得的方式，说明他们的结论是如何从最初的几个假设（定律）逻辑地推导出来的。甚至哲学家斯宾诺莎和罗素都运用这样的方法阐述自己的理论。由此可见《几何原本》的深远影响。
《几何原本》是一部传世之作。它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。《几何原本》是用希腊文写成的，问世之后，它的手抄本流传了1800年。欧洲出现印刷术不久，它就于1482年发行了首版。至今《几何原本》已被译为世界各主要语种，出版了数千种不同版本。这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书之一。据说只有《圣经》的抄本和印刷数才可与之相比。两千多年来，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位，被认为是学习几何知识和培养逻辑思维能力的典范教材，至今欧几里得和他的《几何原本》仍然被世界各地的学者所研究和传颂，成为数学史上的一部分永恒的辉煌。
《几何原本》在中国的传播
有意思的是，第一部翻译到中国来的西方科学著作，就是欧几里得的《几何原本》。译者是明代科学家徐光启（1562-1633），“几何”一词即由他拟定，延用至今。现在中学几何课所教的仍是欧几里得《几何原本》的内容。
我国古代数学曾取得辉煌成就，如著有《九章算术》，很早就知道《勾股定理》，但中国传统数学往往偏重于解决某些具体的计算问题，一直受经验实证的限制，没有构成严密的理论系统和科学的推算方法。多少个世纪以来，中国在技术方面一直领先于欧洲。但是从来没有出现一个可以同欧几里得对应的中国数学家。其结果是，中国从未拥有过欧洲人那样的数学理论体系。中国人对实际的几何知识理解得不错，但他们的几何知识从没有提高到演绎体系这样的高度。直到1600年，欧几里得《几何原本》才被介绍到中国。希腊的演绎几何体系才被中国人普遍知晓。
徐光启是“西学东渐”的代表人物和引进西学的先行者，他敏锐地看到了《几何原本》的重要科学价值。1605年（万历三十三年）冬，他和意大利传教士利玛窦（1552-1610）在北京开始合作翻译《几何原本》。1607年，全书前六卷（平面几何）译成，刻印出版。
徐光启明白数学是科学的基础，认为“度数旁通十事”。他在序中说：“几何原本者，度数之宗，所以穷方圆平直之情，尽规矩准绳之用也。”《几何原本》的翻译标志着我国近代自然科学探索的开始，意义是重大的。《几何原本》是第一部被翻译成中文的西方数学名著，由此引进了西方严密的逻辑推理体系，对中国近代科学技术的兴起奠定了第一块基石。徐光启在翻译中创造的点、线、面、平行线、垂线、对角线、直角、锐角、三角形等名词十分贴切，沿用至今。徐光启还创造性地使用了几何这个词。几何，本来只是一个虚词，意为多少，经徐光启使用后，几何就成了数学一个分支的名称。这部近乎完美的科学名著，被梁启超誉为“字字精金美玉，是千古不朽之作”。现徐光启纪念馆藏有清刻本《几何原本》。遗憾的是，由于利玛窦去世，徐光启未能翻译《几何原本》的后半部（主要是立体几何）。随着满清闭关锁国，打断了我国科学发展的进程。直到1857年，才由我国数学家李善兰（1811-1882）与英人伟烈亚力合作将该书后半部译出，整整晚了250年。如今我国已有多种版本的《几何原本》。
欧氏几何与非欧几何学
欧几里得在一系列公理、公设、定义的基础上，创立了欧几里得几何学体系，简称欧氏几何。欧氏几何现在仍广泛地应用于科学研究和生产实践之中。
过去人们普遍认为，在数学原理中，特别欧氏几何学的公理、公设，都是客观永恒的真理，例如，整体等于部分的总和，直线是两点之间最短的距离。只是到了19世纪才认识到，公理仅是得到一致同意的陈述，并不是绝对真理。
特别是第五个公设非常啰嗦,没有前四个简洁好懂。第五公设又叫平行公理，可以换个说法表述为，在平面上过直线外一点只能作一条和这直线不相交的直线。这个公设既是对平行概念的论述，也衍生出“三角形内角和等于180度”的定理。平行公理是欧氏几何赖以存在的根基。
欧几里得想出平行公理，用来构建欧氏几何，这足以说明他的天才。从欧几里得提出这个公理后的2000多年时间里虽然人们没有怀疑整个欧氏几何体系的正确性,但是对这个第五公设即平行公理却一直耿耿于怀。
很多数学家想把这个公设从这个体系中去掉,但是几经努力而无果,无法从其他公设中推导出第五公设。德国数学家高斯（1777-1855）1799年在给朋友的信中说，他相信平行公理不能从其他的公设中推导出来。 1818年他提出了非欧几里得几何可能性的思想，在他的几何中，三角形内角和可以大于180度。也就是非欧几何中过直线外一点的平行线可以无穷。这些研究成果虽然生前未发表，但实际上他是非欧几何的创始人之一。
当然创立非欧几何的不止高斯一人。俄国数学家罗巴切夫斯基（1792-1856）也发现了一个新的非欧几何,即罗氏几何（双曲几何）。他的三角形内角和是小于180度的。此外德国数学家黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866）提出了名为黎曼几何（椭圆几何）的非欧几何，后来成为爱因斯坦创立的广义相对论的数学工具。
如今数学家们已经认识到欧几里得的几何学并不是能够设计出来的唯一的一种内在统一的几何体系。在现实的宇宙中欧几里得的几何学并非总是正确的。例如，在黑洞和中子星的周围，引力场极强。在这种情况下，欧几里得的几何学无法准确地描述宇宙的情况。但是，这些情况是相当特殊的。欧氏几何作为平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。在一般情况下是正确的。正如牛顿的经典力学即使在爱因斯坦相对论出现后，仍然保留着它的价值。
公理化结构已成为现代数学的主要特征。而作为完成公理化结构的最早典范的《几何原本》，用现代的标准来衡量，在逻辑的严谨性上还存在着不少缺点。这些缺陷直到1899年德国数学家希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）在其《几何基础》出版时得到了完善。
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