定义虚数i 满足i*i=1， 那么

（a+bi）(c+di) = (ac+bd) + (bc+ad)i

exp(ix) 

= 1+ ix+ (ix)²/2！+(ix)³/3！+...

=1+  x²/2！+...

 +ix +ix³/3 + ...

=ch x+i shx

根据

exp(ix)exp(iy)  = exp(i(x+y))

知道

（chx+i shx）（chy+i shy）  = ch(x+y)+ish(x+y) 

于是

ch(x+y) = chx chy + shxshy

sh(x+y) = shxchy + chx shy  

一切顺利！

当个数学家不容易， 当个数学发明家不难。