1. 叙述实数列 $left{x_nright}$ 的 Cauchy 收敛原理, 并用 Bolzano-Weierstrass 定理证明之.  证明:   item Cauchy 收敛原理:     [     lim_{ntoinfty}x_nmbox{ 收敛}Leftrightarrow forall varepsilon>0, exists N, forall m,ngeq N, |x_m-x_n|<varepsilon.     ] item 若 $left{x_nright}$ 适合     [     forall varepsilon>0, exists N, forall m,ngeq N, |x_m-x_n|<varepsilon.     ]     则 $left{x_nright}$ 有界. 由 Bolzano-Weierstrass 定理,     [     exists left{n_kright}, x_0inmathbb{R},mathrm{ s.t. } x_{n_k}to x_0.     ]     而     [     exists Kgeq N, forall kgeq K, |x_{n_k}-x_0|<varepsilon.     ]     于是当 $ngeq n_Kgeq K$ 时,     [     |x_n-x_0|leq |x_n-x_{n_K}|+|x_{n_K}-x_0|<2varepsilon.     ]     此即说明 $x_nto x_0$. en    2. 设数列 $left{x_nright}$ 满足     [     x_1=1,quad x_{n+1}=sqrt{4+3x_n} (n=1,2,cdots).     ]     证明 $left{x_nright}$ 收敛, 并求其极限.  证明:  记 $f(x)=sqrt{4+3x}$, 则 [ |f'(x)|=left|frac{3right|{2sqrt{4+3x}}}leq frac{3}{4}<1. ] 于是 $left{x_nright}$ 为压缩数列, 是收敛的. 设极限为 $x_0$, 则 [ x_0=sqrt{4+3x_0}Rightarrow x_0=4. ]    3. 计算 $displaystyle{iiint_Omega sqrt{x^2+y^2}mathrm{,d}xmathrm{,d}ymathrm{,d}z}$, 其中 $Omega$ 是曲面 $z=sqrt{x^2+y^2}$ 与 $z=1$ 围成的有界区域.  解答:  begin{equation*} begin{aligned} iiint_Omegasqrt{x^2+y^2}mathrm{,d}xmathrm{,d}ymathrm{,d}z &=int_0^1 mathrm{,d}ziint_{x^2+y^2leq z^2} sqrt{x^2+y^2}mathrm{,d}xmathrm{,d}y\ &=int_0^1 mathrm{,d}z int_0^z rcdot 2pi rmathrm{,d}r\ &=frac{pi}{6}. end{aligned} end{equation*}    4. 证明函数项级数 $displaystyle{sum_{ntoinfty}x^3e^{-nx^2}}$ 在 $[0,infty)$ 上一致收敛.  证明:  由 [ (x^3e^{-nx^2})'=x^2e^{-nx^2}(3-2nx^2)left{begin{array}{llright.>0,&0<x<sqrt{frac{3}{2n}},\ <0,&x>sqrt{frac{3}{2n}}end{array}} ] 知 [ max_{xin [0,infty)}x^3e^{-nx^2}=left(frac{3right){2n}}^frac{3}{2}e^{-frac{3}{2}}. ] 由 Weierstrass M-判别法即知结论.    5. 讨论级数 $displaystyle{sum_{n=3}^infty ln cosfrac{pi}{n}}$ 的敛散性.  解答:  由 [ lim_{ntoinfty}frac{lncosfrac{pi}{n}}{frac{pi^2}{2n^2}} =lim_{xto0}frac{ln cos x}{frac{x^2}{2}} =lim_{xto 0}frac{sin x}{xcos x}=1 ] 知 [ sum_{n=3}^infty lncos frac{pi}{n}=-sum_{n=3}^infty left[-lncosfrac{piright]{n}} ] 绝对收敛.    6. 设函数 $f:mathbb{R}^nto mathbb{R}$ 在 $mathbb{R}^nbs left{bb0right}$ 可微, 在 $bb0$ 连续, 且 [lim_{bbxtobb0}frac{partial f(bbx)}{partial x_i}=0, i=1,2,cdots,n. ] 证明 $f$ 在 $bb0$ 可微.  证明:  由 begin{equation*} begin{aligned} |f(bbx)-f(bb0)| &leq |f(x_1,x_2,cdots,x_n)-f(0,x_2,cdots,x_n)|\ &quad +|f(0,x_2,cdots,x_n)-f(0,0,cdots,x_n)|\ &quad+cdots +|f(0,0,cdots,x_n)-f(0,0,cdots,0)|\ &=sum_{i=1}^nleft|frac{partial fright|{partial x_i}(bbxi_i)}cdot |x_i| end{aligned} end{equation*} 知 [ lim_{bbxto bb0}frac{|f(bbx)-f(bb0)}{|bbx|}=0. ] 故有结论.    7. 设 $f(x),g(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数, 且 $displaystyle{max_{xin [0,1]}f(x)=max_{xin [0,1]}g(x)}$. 证明: 存在 $x_0in [0,1]$, 使得 [ e^{f(x_0)}+3f(x_0)=e^{g(x_0)}+3g(x_0). ]  证明:  设 [ f(x_1)=max_{xin [0,1]}f(x)=max_{xin [0,1]}g(x)=g(x_2). ]  item 若 $x_1=x_2$, 则取 $x_0=x_1=x_2$ 即有结论. item 若 $x_1neq x_2$, 不妨设 $x_1<x_2$, 则 [ h(x)equiv f(x)-g(x)Rightarrow h(x_1)geq 0geq h(x_2). ] 由连续函数的介值定理, [ exists x_0in [x_1,x_2],mathrm{ s.t. } h(x_0)=0Rightarrow f(x_0)=g(x_0), ] 而也有结论成立. en    8. 设 $Omega=left{bbxinmathbb{R}^3; |bbx|leq 1right}$. 设 $V:mathbb{R}^3tomathbb{R}^3$, $bbV=(V_1,V_2,V_3)$ 是 $C^1$ 向量场, $bbV$ 在 $mathbb{R}^3bs Omega$ 上恒为零, $displaystyle{frac{partial V_1}{partial x}+frac{partial V_2}{partial y}+frac{partial V_3}{partial z}=0}$ 在 $mathbb{R}^3$ 上恒为零.  item 设 $f:mathbb{R}^3to mathbb{R}$ 是 $C^1$ 函数, 求 $displaystyle{iiint_Omega nabla fcdot bbVmathrm{,d}xmathrm{,d}ymathrm{,d}z}$. item 求 $displaystyle{iiint_Omega V_1mathrm{,d}xmathrm{,d}ymathrm{,d}z}$. en  解答:  begin{equation*} begin{aligned} 0&=iint_{pOmega} fbbVcdotbm{n}mathrm{,d}S\ &=iiint_Omega Div(fbbV)mathrm{,d}xmathrm{,d}ymathrm{,d}z\ &=iiint_Omega nabla fcdotbbV+fDiv bbVmathrm{,d}xmathrm{,d}ymathrm{,d}z\ &=iiint_Omega nabla fcdot bbVmathrm{,d}xmathrm{,d}ymathrm{,d}z. end{aligned} end{equation*} 特别地, 取 $f(bbx)=x_1$, 有 [ iiint_Omega V_1mathrm{,d}xmathrm{,d}ymathrm{,d}z=0. ]    9. 设 $f:mathbb{R}tomathbb{R}$ 是有界连续函数, 求 $displaystyle{lim_{tto 0^+}int_{mathbb{R}} frac{t}{t^2+x^2}f(x)mathrm{,d}x}$.  解答:  设 $displaystyle{M=sup|f|<+infty}$. 由 $f$ 在 $0$ 连续知对任意固定的 $varepsilon>0$, 存在 $delta>0$, 使得当 $|x|<delta$ 时, $displaystyle{|f(x)-f(0)|<frac{varepsilon}{2pi}}$. 又对该 $delta>0$, 由 $displaystyle{lim_{tto 0^+}arctan frac{delta}{t}=frac{pi}{2}}$ 知 [ exists T>0,mathrm{ s.t. } 0<t<TRightarrow frac{pi}{2}-arctan frac{delta}{t}<frac{varepsilon}{Mdelta}. ] 于是当 $0<t<T$ 时, begin{equation*} begin{aligned} &quad left|int_{mathbb{R}right| frac{t}{t^2+x^2}f(x)mathrm{,d}x-pi f(0)}\ &leqint_{mathbb{R}} frac{t}{t^2+x^2}|f(x)-f(0)|mathrm{,d}x\ &=int_{|x|geq delta}+int_{|x|leqdelta} frac{t}{t^2+x^2}|f(x)-f(0)|mathrm{,d}x\ &leq 2Mint_{|x|geq delta}frac{t}{t^2+x^2}mathrm{,d}x +frac{varepsilon}{2pi}int_{|x|leqdelta}frac{t}{t^2+x^2}mathrm{,d}x\ &=4Mint_delta^infty frac{1}{1+left(frac{xright){t}}^2}mathrm{,d}frac{x}{t} +frac{varepsilon}{pi}int_0^delta frac{1}{1+left(frac{xright){t}}^2}mathrm{,d}frac{x}{t}\ &=4Mleft(frac{piright){2}-arctan frac{delta}{t}} +frac{varepsilon}{pi}arctan frac{delta}{t}\ &<frac{varepsilon}{2}+frac{varepsilon}{2}\ &=varepsilon. end{aligned} end{equation*} 故 [ lim_{tto 0^+}int_{mathbb{R}} frac{t}{t^2+x^2}f(x)mathrm{,d}x=pi f(0). ]    10. 设 $f:[0,1]to [0,1]$ 是 $C^2$ 函数, $f(0)=f(1)=0$, 且 $f''(x)<0$, $forall xin [0,1]$. 记曲线 $left{(x,f(x)); xin [0,1]right}$ 的长度为 $L$. 证明: $L<3$.  证明:  由 Rolle 定理, [ exists xiin (0,1),mathrm{ s.t. } f'(xi)=0. ] 又由 $f''<0$ 知 [ f'(x)left{begin{array}{llright.>0,&0<x<xi,\ <0,&xi<x<1.end{array}} ] 于是 begin{equation*} begin{aligned} L&=int_0^1 sqrt{1+f'^2(x)}mathrm{,d}x\ &=int_0^xi +int_xi^1 sqrt{1+f'^2(x)}mathrm{,d}x\ &<int_0^xi [1+f'(x)]mathrm{,d}x+int_{xi}^1 [1-f'(x)]mathrm{,d}x\ &=xi+f(xi)-f(0)+(1-xi)-[f(1)-f(xi)]\ &=1+2f(xi)\ &leq 3. end{aligned} end{equation*}