科学爱好者的数学探寻与认知（2）

鲍海飞 2023-3-10

数学来源于人类的实践活动，是几千年历史长河中，无数人从不知不觉到有目的和有意识之中发展建立起来，是从简单到复杂，从具体到抽象的过程。数学起源于数，表面上是关于各种数与数之间的关系，本质上是关于信息的产生、处理与传输，无论是作为货币的贝壳，或者作为记事的打草结绳，还是今天的无线电技术。

    命名与分类。为了辨识和交流，达成共识，对事物的命名、定义和分类就显得尤为重要。命名是为了区分，分类是为了简化。分类与集合是相对应的。如果没有分类的话，那么就只能是一花一世界了。我们看到的就永远是事物的个性，而看不到共性。通过分类，我们可以看到不同事物的共性与个性，找到其中的规律，而不是盲目和无规则的。也就有了动物与植物，脊椎动物与无脊椎动物，也就有了有理数、无理数、实数、虚数，也就有了群论。有了集合，就有了从属和包含的属性，也就有了所谓大与小的性质。这个看似简单的概念，在哲学上具有非凡的意义。古希腊哲学家芝诺就讨论过类似的问题。如果一个物体一定包含在另一个物体之内，那么如此推演下去，就可以推断宇宙是无穷的(if space exists it must be contained in something, and this can only be more space, and so on indefintitely. Zeno,born in 490 B.C.)。

结构与几何。任何一个物体都有其固有结构和形状，这些结构与形状隐藏着什么奥秘？物体之间的共性与个性在哪里呢？它们就隐藏在那些平行、垂直、交叉里，隐藏在那些旋转、对称、平移里（比如手性），隐藏在那些嵌套、堆垛、重复里（比如自相似）。形与数贯穿于结构与几何之中。《几何原本》是一部集大成之作。然而我们看到，公理的假设与建立，启发了人类去寻找宇宙构成的法则中那些最简单的要素和单元，以及其间的关系。这就是一个由特殊到一般、由繁至简、由具体到抽象、由实到虚的过程。从平面几何到立体几何，从欧式几何到非欧几何，人类对世界的认知更加深入和广泛。几何与结构、与力学、和其它学科紧密联系在一起。非欧几何的建立，帮助了爱因斯坦构建新的时空观，也打开了我们认识宇宙的时空观。

坐标系。空间中的点（数）如何与形（亦或轨迹）对应起来？笛卡儿（法国，1596年-1650年）直角坐标系的建立就回答了这个问题。笛卡尔坐标系的建立是数学史上的一个重要发展历程。据说，笛卡儿一直思考直观的几何与抽象代数之间的关系。一天，他看到了一只蜘蛛正在蛛网上左右上下奔波，他忽有所悟。同时，他又想道，房屋的两面墙壁与地面相交构成了三条线，这样，三个数轴不就出现了。那么，蜘蛛在空间中任一点的位置不就确定下来了吗？由此，几何与代数的关系就确定了下来。坐标系的建立是数与形的结合与延伸。每一个设计都需要打好腹稿，做到心中有数，然后纸上谈兵再落到具体问题上。简单的房子，可以搭建起来，但复杂的汽车，高耸的大楼，没有图纸，没有计算，就很难制造出来。有了坐标系，世界变得精彩。因为我们有了参照系、有了坐标，有了起点。于是，我们有了球坐标系，有了柱坐标系；于是，我们有了物理学的伽利略变换和洛伦芝变换；凭借于此，爱因斯坦洞悉了四维时空观和相对论的奥秘。笛卡尔坐标的构建，是否能够唤起了人类的思考：我们究竟处于宇宙中一个什么位置？宇宙的中心在哪里？地平线上太阳升起的那一刻，坐标让我们把目光投向宇宙深处。近年来,哈勃望远镜与詹姆斯韦伯望远镜游弋于深空之中，让我们看到了不可思议的天体，让人类重新思考宇宙的产生、构成,以及宇宙大爆炸的模型是否正确等。

定量化。仅仅有大与小、远与近、轻与重是不够的，这些模糊的概念不足以描述和定义一个事物或者过程。必须有数量和单位，也就是数量化，这才赋予了物质和过程的属性和内涵，也才能使信息的交换与比较具有意义。定量化和标准化是现代科学与实践的一种规范和准则。极大与极小构成了我们这个宇宙。极大者，地球、太阳、天狼星、银河系、各种星云；极小者，毫米、微米、纳米、分子、原子、电子、夸克。最小的物质构成个体是原子。定量化，也说明了笛卡尔坐标系数轴的作用、功能和意义，也体现了形与数的结合。

   变量与未知数。数字、几何、坐标，这都是静态的数学，还有动态的数学（不知道这种提法是否是首次）。动态的数学就是指变量的引入以及微积分等的运用。数学中最富有魅力和最引人一大妙处是引入了变量和未知数这一概念，伴随着因与果的输入与输出关系，通过方程而求解。引入了变量和未知数，人们基于此就可以推演过去、现在和构造未来。这无疑为人类带来了极大的想象力和创造力。证明、推导与验证成为科学研究的标准模式。通过函数进一步构造了多姿多彩的世界，数学更是融入到了众多领域。

    科学化。数学只有深入、融入到物理、化学等各学科中去，才真正赋予了数学的功能、意义和作用，也将万事万物联系在一起。从人的角度和尺度认知，数学使各学科具有了内在属性和灵魂。在一定范围内，世界是可以理解和认知的，世界是可以表述和预言的。有了变量和定量化的过程，让我们逐渐认识事物的本质，力的大小、速度的快慢、机械的强度等。数学提供了一种运算规则，对应物理是实现某种操作的依据，比如信号传递过程中的调制与解调。同时，数学结合其它学科，赋予了自然世界的固有属性。但我们也发现了物质运动过程中的随机现象和不确定性等，以及量子力学中某些难以理解或者解释的现象。这一方面，体现了我们并非完全洞悉物质的本性及内在相互作用的关系，另一方面，暴露了我们有限的认知和解析能力。

数学是一门人类经过漫长、艰难而又曲折的抽象过程的学科，才得到它今天的应用和成就。若没有物理和化学学科作为本体，那么数学的实在性也将难以存在。皮之不存，毛之焉附？一方面，物质世界本身就存在着一定的客观规律，无论是毕达哥拉斯的琴弦，还是哥白尼的太阳系，在一定程度和尺度内，它们都遵循着某种物理规律。另一方面，数学结合物理，巧妙构建了事物内在的形与数、质与量、作用与反作用的关系，进而揭示了自然的运行规律。数学本身成为一门重要的学科，同时也成为人类认识自然的最重要工具。数学成为抽象、嵌套出自然规律的唯一模式。

当伽利略（意大利，1564-1642年）从路过的铁匠铺听到了悦耳的铁锤击打声音之后，亦或从琴弦的美妙音色中，悟出了万物皆数的道理之后，科学的探索之路便开始了。

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