引言：从量子轨道到集体共振

量子力学起作用的微观体系(低能，原子分子层次)中，电磁相互作用占主导，电磁波必然非常重要。实际上，这样的体系中，即很多相同的原子核加电子，再考虑它们的自旋和“轨道运动”，可以存在很复杂的共振模式，这些模式就是薛定谔方程解出来的本征模式，或者原子分子能级。这样一个体系，与其说是神秘的“量子体系”，不如说是一个具有精细结构的电磁体系。

自波尔模型将电子描绘成围绕原子核运转的微型行星以来，“量子轨道”这一概念便深入人心。它成功解释了氢原子光谱的离散特性，引入了革命性的“能级”思想。然而，这个直观的行星模型在面对更复杂的多电子系统时迅速失效，其内在的局限性也暴露无遗：它无法解释光谱线的强度差异，也无法描述原子在密集环境中的行为。经典的轨道图像，终究只是一个通往真实量子世界的临时脚手架。

现代量子力学通过薛定谔方程，为我们揭示了一幅截然不同的图景。其核心在于，原子和分子的能级并非孤立电子的轨道阶梯，而是整个多原子系统作为一个整体的集体共振频率谱 (the energy levels of atoms and molecules are not orbital ladders for isolated electrons, but the spectrum of collective resonance frequencies of the entire many-atom system as a whole)。正如鼓面只能以特定的模式振动发出和谐的音高，一个由相互作用的原子构成的量子系统，其整体的“电子云”更趋向于以特定的集体模式（即本征模）进行“振荡”。这些稳定存在的振荡模式，每一个都对应一个精确的能量值，它们的集合便构成了我们观测到的能级谱  。

这一视角的转变，是从神秘的量子轨道思维到电磁体系波动的共振思维的变化。它有助于我们更深刻地了解量子世界的本质，也为理解复杂现象提供了统一的理论框架。

核心观点:

• 能级的物理本质: 量子系统的能级是薛定谔方程的本征值，代表了整个系统允许存在的集体激发态或共振模式的频谱 。

• 从个体到集体: 在多原子系统中，由于粒子间的相互作用（如偶极-偶极耦合），单个原子的行为被集体效应所取代，产生了如超辐射（增强发光）和亚辐射（抑制发光）等全新的合作本征模  。

• 环境决定光谱: 在稀疏气体（如星际介质）中，原子间距大，集体效应弱，光谱线主要由原子的热运动（多普勒增宽）决定，呈现接近高斯分布的尖锐共振峰 。在稠密气体（如地球大气）中，频繁的碰撞（压力增宽）主导了光谱线型，使得共振峰变得极其宽阔，呈现洛伦兹分布的特征  。

因此，理解能级即是理解量子系统所能演奏的“谐波”。本文旨在阐述这一思想。首先我们将简要回顾能级作为集体共振的理论基础，随后通过对比稀疏与稠密两种极端环境下原子光谱的巨大差异，具体展示集体共振模式如何在外场与环境中演化，最终揭示光谱线背后那曲由多体量子动力学谱写的复杂交响乐。

薛定谔方程与多体系统的本征模式

量子世界的图景由薛定谔方程描绘，它是一切量子动力学行为的根本出发点。对于一个由N个相互作用的相同原子构成的系统，其总能量（哈密顿量）可以严格给出，它包含了每个原子的动能、内部能级结构，以及至关重要的原子间相互作用项 。正是这最后一项，如同交响乐团中不同乐器间的和声，将孤立的原子行为编织成了复杂的集体交响。

$$\hat{H}=\sum _{i=1}^N{\hat{H}}_0({\mathbf{r}}_i)+\sum _{i<j}{V}_{ij}$$

上式中，${\hat{H}}_0$ 代表单个原子的哈密顿量，而 $V_{ij}$ 描述了原子 $i$ 和 $j$ 之间的相互作用，例如由光子交换引起的偶极-偶极相互作用。求解这个方程的定态解，即寻找其本征态 $\Psi$ 和本征能量 $E$（$\hat{H}\Psi =E\Psi$），就等同于寻找整个系统所有可能的、稳定的集体共振模式  。

集体本征模式：从超辐射到亚辐射

当原子系综通过交换光子而相互作用时，单个原子的激发态不再是系统的稳定模式。取而代之的是一系列全新的集体本征模式（Cooperative Eigenmodes）。这些模式描述了整个原子云的同步、相干的激发分布。由于系统通过辐射与环境耦合，它不再是严格封闭的，其有效哈密顿量变为非厄米（non-Hermitian）的，导致其本征值变为复数 ${\lambda }_m={\Delta }_m-i{\Gamma }_m/2$。

• 集体衰减率 (${\Gamma }_m$)：本征值虚部代表了该集体模式的辐射衰减速率。

• 超辐射模式 (Superradiant Mode)：当 ${\Gamma }_m$ 大于单个原子的自然衰减率 ${\Gamma }_0$ 时，原子系综的辐射被显著增强。这对应于大量原子偶极矩同相振荡，产生强大的相干辐射 。

• 亚辐射模式 (Subradiant Mode)：当 ${\Gamma }_m$ 远小于 ${\Gamma }_0$ 时，辐射被极度抑制。这源于原子偶极矩之间精巧的异相干涉，导致向外的辐射几乎完全相消，能量被“囚禁”在原子系综内部 。

• 集体兰姆位移 (${\Delta }_m$)：本征值实部代表了共振频率的移动，即集体兰姆位移。这是由原子间相干的虚光子交换引起的，其大小和符号依赖于原子排列的几何构型  。

例如，在一维原子链中，这些模式可以被清晰地识别：从所有原子同相振荡的纯超辐射模式，到相邻原子反相振荡的亚辐射模式，构成了一个完整的集体激发谱  。这些集体模式才是多原子系统真正的“能级”，它们决定了系统如何与光场相互作用，并直接体现在光谱的线宽和中心频率上。

稀薄与稠密介质中的谱线展宽机制

原子能级所对应的集体共振模式并非无限尖锐的谱线，其在光谱仪上呈现的形状与宽度，深刻地揭示了原子所处的物理环境。通过比较两种极端环境——极度稀薄的星际介质（Interstellar Medium, ISM）与高密度的实验室气体——我们可以清晰地看到不同展宽机制如何主导光谱的最终形态。

谱线展宽的基本机制

一条光谱线的最终轮廓是多种物理过程共同作用的结果，这些过程被统称为展宽机制。每种机制都对应一种特定的线型函数，如洛伦兹函数或高斯函数 。

自然展宽 (Natural Broadening)

自然展宽是任何原子跃迁所固有的最小线宽，源于量子力学的不确定性原理。由于激发态的寿命 $\tau$ 是有限的，其能量也存在一个微小的不确定范围 $\Delta E$，这导致了谱线的洛伦兹型展宽，其半高全宽（FWHM）为 ${\Gamma }_n=1/(2\pi \tau )$。

以钠原子的D2线（589 nm）为例，其激发态寿命约为16.2纳秒，对应的自然线宽仅为约9.8兆赫兹（MHz），这是一个极其微小的数值 。在大多数情况下，自然展宽都被其他效应所掩盖。

受篇幅限制，全文链接：

https://faculty.pku.edu.cn/leiyian/zh_CN/article/42154/content/2583.htm#article

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