玻尔兹曼方程和纳维-斯托克斯-傅立叶（NSF：Navier-Stokes-Fourier）方程分别在介观和宏观尺度上描述气体系统的演化，它们之间的关系一直是数学家和力学家研究的重要课题。实际上，最早的宏观方程由麦克斯韦于1866年从弱形式的玻尔兹曼方程推导出，但是仅仅针对麦克斯韦分子，即分子间的作用力与分子距离的五次方成反比；得出的结论是气体的黏性系数和热导率系数跟气体的温度成正比，与实验测量不符。1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个重要问题供二十世纪的数学家研究，其中第六个问题是物理学的公理化，希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理。希尔伯特指出：玻尔兹曼关于力学原理的工作提出了在数学上发展从原子论观点向连续介质运动定律过渡的极限方法。 

从实用的角度看，因为玻尔兹曼方程的高维和非线性特性，人们一直希望找到使用有限变量的宏观方程组描述稀薄气体流动。 对玻尔兹曼方程乘上碰撞不变量后求矩，可以得到关于质量、速度和能量的宏观演化方程组。但是该方程组并不封闭，因为压力张量和热流的表达式不能用密度、速度和温度以及它们的梯度表示。迄今为止，有三种主要方法尝试封闭宏观方程组，它们是希尔伯特展开法，Chapman-Enskog展开法和Grad矩方法。本章首先介绍这些宏观输运方程的推导，然后以稀薄气体中的瑞利-布里渊散射为例，说明宏观方程的精度和适用范围。

第四章依然是最近几周上课笔记的整理：

宏观方程.pdf