留数定理(The Residue Theorem)是复变函数理论的一个重要内容。The Argument Principle 是留数定理的一个重要结果，该原理将一个曲线的环饶数(winding number)与曲线内包含的零点和极点联系了起来。可是，在多数《数学物理方法》的书本和课程里，却鲜有提及此原理。本文中，我们对此原理做一简洁介绍。
考虑复平面上的一个有向封闭围道C，取逆时针旋转方向。要求函数g(z)在C上以及包围的内部区域解析；函数f(z)在C上解析，在C内只有有限数目的极点(pole)和零点(zero),即f(z)是该定义区域上的亚纯函数(meromorphic function)。
The argument principle 说：
(1)
这里，pk和zk分别是函数f(z)的n(pk)阶极点和m(zk)阶零点。
证明：
由pk是f(z)的n(pk)阶极点，可以将f(z)写成洛朗级数：
(2)
这里，f1(z)在pk点以及邻域内解析，非零。
有：
(3)
由f1(z)的性质知f1'(z)/f1(z)在pk点以及邻域内解析。因此，pk是f'(z)/f(z)的一阶极点(simple pole)。并由g(z)的解析性质，知pk是被积函数g(z)f'(z)/f(z)的一阶极点(simple pole),有留数：
(4)
同样的方法，对于零点可以发现：
(5)
这里，f2(z)在zk点以及邻域内解析,非零。因此，zk是被积函数g(z)f'(z)/f(z)的一阶极点(simple pole),有留数：
(6)
综上，我们发现所有的pk和zk均是被积函数的一阶极点，由留数定理，立即得到式(1)。
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