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“哥德尔不完全性定理”误解误用实例分析(4) - 所谓“数学公理化”的谬误
程京德
哥德尔证明的两个重要定理的原始陈述如下 [1-9]：
命题IX(“第一不完全性定理”)：在命题VI中言及的所有形式系统中，都存在有受限谓词演算的不可判定问题（亦即，受限谓词演算的逻辑式，其普遍有效性以及其反例的存在性都不可证）。
命题XI(“第二不完全性定理”)：如果 c 是一个给定的递归且一致的逻辑式类，则表达“ c 是一致的”之内容的命题逻辑式不是 c-可证的；特别地，P 的一致性在 P 中不可证，在假设 P 是一致的前提下（如果不是，那么当然，任何言明都是可证的）。
[对于数理逻辑中形式系统/理论的概念不熟悉的读者，在阅读下面内容之前，最好先阅读一下笔者的科普文章 [10]。]
本系列文章[11-13]举例分析说明一些对“哥德尔不完全性定理”的误解误用，指出这些实例都错在哪里。实例大都取自网上可以获得的文章及报道、科学网博文、以及微信公众号推文 [14,15]。但是，那些借“哥德尔不完全性定理”之名实际上极其荒谬的无稽之谈，不在笔者的评价之列。
[申明：笔者就事论事，尊重各位世界级名人、逻辑学家/数学家、专业/非专业学者科学家、以及民间人士，下文中的举例一般都略去出典仅引用原文，批评也仅仅针对误解误用内容而完全无意针对任何个人。]
实例十三：“既然哥德尔已经证明了数学不能公理化，为什么物理学家还相信大一统呢？”
这篇实例文章[以下略称“该文”]，题目就错的一塌糊涂。第一，所谓“数学公理化”纯属是该文作者杜撰，“哥德尔已经证明了数学不能公理化”就更是该文作者信口胡说；第二，“数学能否公理化”（该文作者杜撰）与“大统一理论”毫不相关，所以“既然。。。为什么。。。”之说就是个逻辑谬误；第三，“物理学家还相信大一统”之说也是该文作者杜撰。
哥德尔从未证明过什么“数学不能公理化”[4-9]。
自从古希腊哲学诞生以来，人类社会中为知识提供基础的主要方法就是“基础主义方法 (the foundationalist method)”[16]。基础主义方法寻求将人类知识建立在(1)基础知识(basic knowledge)和(2)知识扩展过程(knowledge-extending procedures)的坚实基础上，而(1)基础知识以及(2)知识扩展过程都被要求是不容置疑的[16]。
数学中的公理化方法最早源于古希腊时代的欧几里得几何，所以，公理化方法论最早在古希腊时代就由欧几里得创立了，形式化公理化方法论也在近代由弗雷格、罗素/怀德海、希尔伯特等先驱创立了。但是，对数学或者某个科学的某个领域应用形式化公理化方法得到该领域的一个形式理论（比如，经典数理逻辑命题演算、经典数理逻辑谓词演算、公理集合论、形式数论、形式几何等等），都仅仅是逻辑学或数学或某科学的一个很小的子领域的公理化，而绝非什么“数学的公理化”。
通俗地说，哥德尔仅仅证明了在包含形式数论的形式理论中可以构造出形式不可判定命题以及提示了这个结果的一个推论[4-9]。
该文正文第一句话，“哥德尔的不完备定理表明，任何足够复杂的公理化系统中必定存在无法被证明或证伪的命题，这给数学基础带来了深远影响。”就是对哥德尔不完全性定理的胡乱解释。“任何足够复杂的公理化系统”是对哥德尔原始工作之对象及哥德尔不完全性定理适用范围的任意无限扩大；“无法被证明或证伪的命题”是对哥德尔不完全性定理中“形式不可判定命题”概念的偷换。该文作者应该是没有真正理解哥德尔不完全性定理的，不知道其解释是多么荒谬的错误，当然也就不知道其根据荒谬错误得出的结论有多么荒谬。
“不完备定理表明，在任何足够复杂的数学系统中，都会存在一些命题是既不能被证明也不能被证伪的。这引发了一个重要的问题：如果物理学依赖数学工具，而这些工具本身在逻辑上是不完备的，物理学家为何还继续相信能够找到一个完全一致且自洽的大统一理论呢？”
该文上述陈述又是毫无逻辑根据的胡说八道。首先，如同前面已经说明过的，哥德尔不完全性定理当然没有“表明，任何足够复杂的公理化系统中必定存在无法被证明或证伪的命题”；其次，什么叫做“在逻辑上是不完备的”？和“工具本身在逻辑上是不完备的”？数理逻辑中，针对形式逻辑系统和基于形式逻辑系统的形式理论的确都有完全性概念（语义/模型论完全性或者语构/证明论完全性），但是并没有什么“逻辑完全性”或“逻辑上完全”的概念，所谓“在逻辑上是不完备”应该又是该文作者的随意杜撰（很可能该文作者自己也不知道自己在说什么）；再次，什么叫做“一个完全一致且自洽的大统一理论”？似乎“完全一致”又是该文作者的随意杜撰出来的伪概念，并且该文作者应该是根本不知道“自洽”仅仅是正规概念“一致性”的中文民间俗称。最后， 物理学中的“大统一理论”还未建立起来，根本就不可能是一个可以要求完全性和一致性的形式理论。
“哥德尔于1931年发表了他的著名“不完备定理”，该定理揭示了任何足够复杂的公理系统（如描述自然数的算术系统）都无法同时满足完备性和自洽性。具体来说，第一不完备定理表明，若系统是自洽的，那么必然存在某些命题既无法被证明为真，也无法被证明为假；第二不完备定理则表明，系统无法证明自身的自洽性。这一发现极大地动摇了当时试图通过公理化途径建立数学基础的希尔伯特计划。它表明，数学系统不可能是全知的，必然存在无法处理的边界。这对于数学的哲学基础影响深远，因为它迫使人们重新思考逻辑和真理的关系。在数学中，某些命题无论怎样推导都无法得到结论，这是否意味着物理学的公理化系统也会遭遇类似的困境呢？”
该文上述陈述中的胡说八道是：首先，对哥德尔不完全性定理的解释都完全不对；其次，“试图通过公理化途径建立数学基础的希尔伯特计划”是对希尔伯特计划的歪曲；再次，哥德尔不完全性定理完全没有“表明，数学系统不可能是全知的，必然存在无法处理的边界”；第四，“在数学中，某些命题无论怎样推导都无法得到结论”也是该文作者杜撰出来的胡说；最后，“物理学的公理化系统”应该并非该文所论“大统一理论”。
因为该文的逻辑结构，以哥德尔不完全性定理的结果为根据来论述“为什么物理学家还相信大一统呢”，在该文作者对哥德尔不完全性定理的误解歪曲之下，完全不能够成立，所以，该文后半部以哥德尔不完全性定理为据关于物理学/物理学家的论述毫无学术意义，不值得评论。
实例十四：“哥德尔不完备定理的影响”
这篇实例文章[以下略称“该文”]声称：“哥德尔不完备定理是数理逻辑中的里程碑 由库尔特·哥德尔在1931年提出。其核心思想是：在任何足够复杂的形式系统中 总会存在无法在系统内部得到证明或证伪的命题。这一发现不仅对数学产生了深远影响 在物理学、计算机科学以及哲学领域也引发了广泛讨论。本文旨在探讨哥德尔不完备定理在上述领域的平行联系、相互激发、交叉融合与系统整合。”但是，该文内容充斥对哥德尔不完全性定理的误读误解。
“数学中的哥德尔不完备定理：在数学中哥德尔不完备定理强调了形式系统的局限性。具体而言它表明任何足够复杂的数学系统都无法通过自身的公理和规则证明其自身的一致性。这一发现对希尔伯特程序（旨在通过形式化方法证明所有数学真理的计划）产生了毁灭性打击。哥德尔的不完备定理显示 数学系统中必然存在一些真命题无法被证明 这些真命题需要依赖于外部的公理或系统。”
哥德尔不完全性定理完全没有“表明任何足够复杂的数学系统都无法通过自身的公理和规则证明其自身的一致性”这个该文作者杜撰出来的结论。该文概要中的“在任何足够复杂的形式系统中 总会存在无法在系统内部得到证明或证伪的命题”已经有失严谨，但是也和“任何足够复杂的数学系统都无法通过自身的公理和规则证明其自身的一致性”完全不等价。
希尔伯特计划并非“旨在通过形式化方法证明所有数学真理”。
哥德尔不完全性定理也完全没有“显示 数学系统中必然存在一些真命题无法被证明 这些真命题需要依赖于外部的公理或系统”。
“物理学中的应用：物理学家一直在寻找描述自然界的最终定律 称为“万有理论”或“统一场论”。然而 哥德尔不完备定理提示我们 即便找到了这样的理论 我们也无法证明其完整性和一致性。”
哥德尔不完全性定理完全没有“提示我们 即便找到了这样的理论 我们也无法证明其完整性和一致性”这个该文作者杜撰出来的结论。
“计算机科学与人工智能：在计算机科学中 哥德尔不完备定理与图灵机的不可判定性问题有密切关系。阿兰·图灵证明了存在一些问题是图灵机无法解决的 例如停机问题。这一结果直接源自于哥德尔的不完备定理 显示了计算系统的局限性。此外 在人工智能研究中 哥德尔不完备定理也被用来讨论智能系统的能力边界。虽然我们可以设计出非常复杂的算法 但这些算法仍然会受到数理逻辑基本定律的限制 无法解决所有可能的问题。”
“阿兰·图灵证明了存在一些问题是图灵机无法解决的 例如停机问题。这一结果直接源自于哥德尔的不完备定理”是该文作者的杜撰。虽然哥德尔发现了第一个不可判定问题，但是不能说后人发现的不可判定问题都直接源自于哥德尔的结果。
“在人工智能研究中 哥德尔不完备定理也被用来讨论智能系统的能力边界”是一个基于对哥德尔不完全性定理的误读误解的对该定理的典型误用。
“虽然我们可以设计出非常复杂的算法 但这些算法仍然会受到数理逻辑基本定律的限制 无法解决所有可能的问题”仍然是该文作者杜撰出来的毫无根据的奇怪结论。笔者讲授数理逻辑多年，基本熟知世界上几乎全部（如果不是全部的话）数理逻辑经典教科书和经典历史文献，从未听说过什么“数理逻辑基本定律”，什么是“数理逻辑基本定律的限制”。
“哲学与人类思维：哥德尔不完备定理对哲学的影响深远 尤其在认识论和心灵哲学领域。它挑战了我们对知识的理解 显示了任何形式系统内在的局限性。哲学家们通过不完备定理探讨了人类认知的边界 认为人类思维可能超越形式系统的限制 能够直观地感知某些数学真理 这被称为“数学直觉”。这种观点引发了关于心灵本质的讨论 即心灵是否完全是算法性的 或者是否包含某种无法形式化的直觉理解。”
“哥德尔不完备定理对哲学的影响深远”是一个已经被世界上众多哲学家及数理逻辑学家批判过的错误论断，笔者在此不再赘述。
参考文献
[1] K. Gödel, “über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I,” Monatshefte für Mathematik Physik, Vol. 38, pp. 173–198, 1931.(The summary of the results of this work, published in Anzeiger der Akad. D. Wiss. In Wien (math.-naturw. Kl.) 1930, No. 19.)
English Translation: B. Meltzer (Translation) and R. B. Braithwaite (Introduction), K. Gödel, “On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I,” Basic Books, 1962, Dover Publications, 1992.
[2] K. Gödel, “Some metamathematical results on completeness and consistency, On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I, and On completeness and consistency”(1930b, 1931, and 1931a), in J. van Heijenoort (Translation, Ed.), “From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931” pp. 592-617, Harvard University Press, 1967, “Frege and Gödel: Two Fundamental Texts in Mathematical Logic,” pp. 83-108, Harvard University Press, 1970.
[3] K. Gödel, “Einige metamathematische Resultate über Entscheidungsdefinitheit und Widerspruchsfreiheit”(1930b) “Some metamathematical results on completeness and consistency,”(1930b), pp. 140-143, “über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I,”(1931) “On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I,”(1931), pp. 144-195, “über Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit,”(1932b) “On completeness and consistency,”(1932b), pp. 234-237, Translated (by J. van Heijenoort) and Repringted in S. Feferman, et al. (Eds.), “Kurt Gödel: Collected Works, Volume I, Publications 1929-1936,” Oxford University Press, 1986.
[4] 程京德，“哥德尔不完全性定理的原始陈述”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年3月13日。
[5] 程京德，“准确地理解哥德尔不完全性定理‘关于PM及相关系统的形式不可判定命题’（1）- 背景及内容”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年6月26日。
[6] 程京德，“准确地理解哥德尔不完全性定理‘关于PM及相关系统的形式不可判定命题’(2) - 理论基础和有效范围”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年6月30日。
[7] 程京德，“准确地理解哥德尔不完全性定理‘关于PM及相关系统的形式不可判定命题’(3) - 意义”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2024年7月2日。
[8] 程京德，“准确地理解哥德尔不完全性定理‘关于PM及相关系统的形式不可判定命题’(4) - 误解误用的一般性原因”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2024年7月8日。
[9] 程京德,“准确地理解哥德尔不完全性定理‘关于PM及相关系统的形式不可判定命题’（5）- 一些相关事实”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年7月15日。
[10] 程京德，“形式理论：将形式逻辑系统应用于具体对象领域的逻辑基础”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年1月30日，科学网博客，2023年2月9日；“形式理论：将形式逻辑系统应用于具体对象领域的逻辑基础（增补版）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年4月17日。
[11] 程京德,“‘哥德尔不完全性定理’误解误用实例分析(1)”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年7月18日。
[12] 程京德,“‘哥德尔不完全性定理’误解误用实例分析(2) - 扯上人工智能的谬误”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年7月22日。
[13] 程京德,“‘哥德尔不完全性定理’误解误用实例分析(3) - 扯上人工智能的谬误”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年7月29日。
[14] 程京德，“哥德尔不完全性定理的内容和有效范围(3) 各种典型误解实例”，科学网博客，2017年5月5日
[15] 程京德，“哥德尔不完全性定理的误读误解实例(1)”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年6月8日， “哥德尔不完全性定理的误读误解实例(2)”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年6月9日，“哥德尔不完全性定理的误读误解实例(3)”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年6月10日， “哥德尔不完全性定理的误读误解实例(4)”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年6月11日， “哥德尔不完全性定理的误读误解实例(5)”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年6月12日， “哥德尔不完全性定理的误读误解实例(6)”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年6月15日， “哥德尔不完全性定理的误读误解实例(7)”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年7月19日， “哥德尔不完全性定理的误读误解实例(8)”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2024年7月9日， “哥德尔不完全性定理的误读误解实例(9)”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2024年7月11日，“哥德尔不完全性定理的误读误解实例(10)”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2024年10月20日。
[16] G. Sher, “The Foundational Problem of Logic,” The Bulletin of Symbolic Logic, Vol. 19, No. 2, pp. 145-197, 2013.
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