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古希腊的毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前500年)学派信奉“万物皆数”,认为宇宙间各种不同的关系都可以用整数或整数之比(有理数)来表示。但是毕达哥拉斯的学生希帕索斯(Hippasus)却发现,二个边长为1的直角三角形的斜边,根据“勾股定理”等于√2,而√2是“无限不循环小数”,无法表达为有理数。希帕索斯的发现被称作“希帕索斯悖论”【1】【2】。
√2的发现不仅使毕达哥拉斯学派的人感到困惑,而且冲击着当时希腊人持有的“一切量都可以用有理数表示”的信仰,传说希帕索斯因此被毕达哥拉斯学派的人扔进大海淹死。
此后柏拉图的学生欧多克索斯(Eudoxus,约公元前400)创立了“比例论”,写入欧几里得(Euclid,约公元前300年)的《几何原本》(Elements),提出“几何量”,把无理数当作附在几何量上的单纯符号,而不是真正的数,回避了无理数。
直到18世纪,当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时,承认无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶,实数理论建立起来后,无理数本质被彻底搞清,无理数在数学园地中才真正扎下了根。
参考文献:
【1】https://zh.wikipedia.org/wiki/数学危机
【2】 Ode to Hippasus ,http://jdh.hamkins.org/ode-to-hippasus/
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