博文

群论玩五魔方(1)：Ih点群的C5元素

已有 876 次阅读 2025-8-26 10:55 |个人分类:2025-扬起数学的帆|系统分类:科普集锦

《五魔方和Ih点群》(1)：24个C5元素

我用Ih点群元素g操作T₀后，得到一个新的T(g)序列，你用这个新的T(g)序列来操作一个五魔方，可以产生一个置换三角形△g。用T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)，也可以产生一个置换三角形△o。三角形△o和三角形△g的方位关系仍然可以用这个点群元素g来描述，如图1 所示。

(a) (b) (c)

图1 Ih点群元素双重操作五魔方

例如，点群元素g=C5(W)，是以心块W为转轴，逆时针方向转动72°的操作元素。以心块W为转轴，如图1(a)，把三角形逆时针转动72°，就得到图1(c)。Ih点群对操作序列的操作，是重点要叙述的。对应图1(a)的操作序列是T₀，对应图1(c)的操作序列为T(g)，两者的代数关系如下：

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)产生△o,

T(g)=C5(W)T₀= (C1W3C1B1C4W4C4W1C1B4C4W4C1W3C4),

此时此刻，g=C5(W)，T(g)=T[C5(W)]=C5(W)T₀，T(g)产生△g，T₀产生△o， C5(W)△o=△g。

图1(a)中的三角形△o，围绕W轴转动72°后，得到图1(c)的三角形△g。也就是说，用元素C5(W)操作三角形△o，得到三角形△g，如图1所示。需要强调的是，五魔方有12个面，如图1(b)所示，C5(W)把三角形△o转动72°，成为三角形△g，只涉及到上半球的面，下半球的面没有任何变化，因此，可以把下半球的展开图略去，如图2所示。

图2 五魔方的W半球和S半球

有一点要特别强调，我这里是用Ih点群玩五魔方。因此，我要把五魔方固定在笛卡尔坐标系。就像我用Oh点群玩Rubik魔方一样，要把Rubik魔方固定在笛卡尔坐标系。无论如何转动Rubik魔方的6个面，Rubik魔方6个心块的方位是固定不变的。五魔方有12个面，无论如何转动五魔方的12个面，五魔方12个心块的方位也是固定不变的。 关于五魔方复位的流行玩法，因为可以使用“驴打滚”，五魔方被转动的面不超过6个， 因此，人们沿用Rubik魔方的符号体系(F,R,U,B,L,D)。毫无疑问，我用Ih点群玩五魔方，五魔方的每个面都有被转动的机会，因此，我需要12个面的符号来描述五魔方的转动。如图1(b)，我把五魔方的12个面分为两组：上半球W,A,B,C,D,E和下半球S,F,G,H,M,N。 在描述Rubik魔方的时候，魔方有6个轴，分别对应F,R,U,B,L,D。我把Rubik魔方安放在笛卡尔坐标系，魔方的方位固定不变：F(X)，R(Y)，U(Z)，B(-X)，L(-Y)，D(-Z)。

五魔方有12个面，无论是用空间方位符号还是颜色符号，都不好用。因此，我首先把五魔方分为两个半球：上半球(W)和下半球(S)。流行的商品五魔方正好有个面是白色，我就把白色面安放在笛卡尔坐标系的Z轴。用点群的话说，就是我把五次轴给了Z轴。W是英文单词白色(White)的第一个字母，S表示黑色，至少在NCS理论，S表示黑色，和W相对。 因此，我用W表示五魔方的上半球，用S表示五魔方的下半球。W位于Z轴，S位于负Z轴。我用A,B,C,D,E表示围绕W的五个面，用F,G,H,M,N表示围绕S的五个面。管它商品五魔方用什么颜色，如果有白色面，我就标记为W，置于笛卡尔坐标系的Z轴，围绕W的五个面，依次标记为A,B,C,D,E，这是最简单的方法。和W平行的那个面，标记为S，围绕S的五个面，依次标记为F,G,H,M,N，如图2所示。英文字母E之后就是F，然后G，再然后H，我跳过了I,J,K,L，选用了M和N。因为 I,J,K,L中字母比较相似，不易区别。

对位于上半球的面，转动的时候用右手操作，大拇指朝向转轴方向，就是心块的法线方向，弯曲的四指就是转动方向，这就是所谓的右手规则。对位于下半球的面，操作的时候用左手转动，大拇指朝向转轴的方向，就是心块的法线方向，弯曲的四指就是转动方向，这就是所谓的左手规则。

Ih点群玩五魔方，这里有两种操作：一是对置换三角形的操作；一是对操作序列的操作。前者属于点群对称操作，只需要6个对称转轴，就是W,A,B,C,D,E。后者属于五魔方转动，需要12个转轴，6个位于上半球，就是W,A,B,C,D,E；6个位于下半球，就是S,F,G,H,M,N。

关于五魔方的更多描述方法，可参见

科学网—爱好群论40年：五魔方和Ih点群 - 李世春的博文

Ih点群有120个元素：24个C5轴，20个C3轴，15个C2轴，24个S10轴，20个S6轴，15个镜面，1个单位元素，1个反演中心。今天只讨论24个C5元素。

今天的主题是《五魔方和Ih点群》(1)：24个C5元素

Ih点群有24个C5轴，分别为6个C5轴，6个C5^2轴，6个C5^3轴，6个C5^4轴。需要强调的是，教科书里的C5轴是没有箭头的，即没有方向性。我这里要用数学描述点群的转动操作，需要确定转动的三要素：转轴，转角和转向。例如，对于C5(W)，转轴的方向是从12面体中心o到心块W，转轴方向确定之后，根据右手规则，转向也确定了。因此，如图3所示，根据右手规则，C5(W)把图3(a)中W面的置换三角形△o转动72°，就达到图3(b)。所谓右手规则，就是大拇指朝向o-W，弯曲的四指就指向转动方向，因此转动72°就变成图3(b)。这里再说一次，Ih点群只有6个转轴，它们是o-W，o-A，o-B，o-C，o-D，o-E，转轴的方向是从中心o到心块方向，因为我用的是笛卡尔右手坐标系，转轴确定后，根据右手规则，转向也确定了。

需要强调的是，这里的点群元素，操作的不是一个普通的几何三角形，而是一个置换三角形。在图3(a)中，这个置换三角形是△(WAB)(WDC)(WDE)，在图3(b)中，这个置换三角形是△(WBC)(WDE)(WEA)。到底如何把图3(a)的三角形变成图3(b)的三角形，这就要靠五魔方的操作序列来实现。首先，你用T₀序列产生图3(a)的图案；然后，你再用T(g)序列产生图3(b)的图案。

△(WAB)(WDC)(WDE) △(WBC)(WDE)(WEA)

(a) (b)

图3 元素C5(W)操作前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)= (C1W3C1B1C4W4C4W1C1B4C4W4C1W3C4)

T(g)是怎么来的？是用点群元素C5(W)操作T₀得到的，因此，这里的g=C5(W)。我可以用Ih点群的120个元素来操作T₀，可得到120个T(g)，再用这120个序列来操作五魔方，就可以得到120种置换三角形，平均每个面有10种，因为五魔方有12个面，因此，共有120种，而且和Ih点群的120个元素一一对应。

(a) (b)

图4 《五魔方和Ih点群》的符号标记

为了展现Ih点群和五魔方的微妙关系，我要对经过五魔方操作后的展开图，进行标记，以便对照理解。T₀是一个操作序列，是复位五魔方的一个基本操作。之所以选择这个序列，因为产生一个三角形图案，便于点群操作。

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)，可以产生一个置换三角形，如图4(a)所示。我用点群元素e操作T₀后，操作序列不变，这就是点群单位元素的定义，单位元素也叫恒等元素。因此，T(g)=T(e)=T₀，g=e。用点群单位元素操作T₀之后，我把置换三角形表示为△e，简写为e，如图4(a)所示。我用点群元素C5(W)操作T₀之后，得到T(g)，这里的g=C5(W)，对应T(g)的图案，我标记为C5(W)，如图4(b)所示。下面我就展示用Ih点群妙玩五魔方，先展示24个C5元素。

（1）C5(W)

图5 C5(W)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5(W)T₀=(C1W3C1B1C4W4C4W1C1B4C4W4C1W3C4)

我用C5(W)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5(W)操作三角形△o得到，如图5所示。

（2）C5^2(W)

图6 C5^2(W)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5^2(W)T₀=(D1W3D1C1D4W4D4W1D1C4D4W4D1W3D4)

我用C5^2(W)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5^2(W)操作三角形△o得到，如图6所示。

（3）C5^3(W)

图7 C5^3(W)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5^3(W)T₀=(E1W3E1D1E4W4E4W1E1D4E4W4E1W3E4)

我用C5^3(W)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5^3(W)操作三角形△o得到，如图7所示。

（4）C5^4(W)

图8 C5^4(W)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5^4(W)T₀=(A1W3A1E1A4W4A4W1A1E4A4W4A1W3A4)

我用C5^4(W)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5^4(W)操作三角形△o得到，如图8所示。

（5）C5(A)

(a) (b) (c)

图9 C5(A)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5(A)T₀=(W1E3W1A1W4E4W4E1W1A4W4E4W1E3W4)

我用C5(A)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5(A)操作三角形△o得到，如图9所示。需要强调的是，C5(A)的转轴在A面的心块A，逆时针转动72°后，把位于W面的置换三角形转动到E面，如图9(b)所示。图9(a)和图9(c)是转动前后的五魔方展开图。

（6）C5^2(A)

(a) (b) (c)

图10 C5^2(A)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5^2(A)T₀=(E1N2E1A1E4N1E4N4E1A4E4N1E1N2E4)

我用C5^2(A)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5^2(A)操作三角形△o得到，如图10所示。需要强调的是，C5^2(A)的转轴在A面的心块A，逆时针转动144°后，把位于W面的置换三角形转动到N面，如图10(b)所示。图10(a)和图10(c)是转动前后的五魔方展开图。

（7）C5^3(A)

(a) (b) (c)

图11 C5^3(A)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5^3(A)T₀=(N4F2N4A1N1F1N1F4N4A4N1F1N4F2N1)

我用C5^3(A)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5^3(A)操作三角形△o得到，如图11所示。需要强调的是，C5^3(A)的转轴在A面的心块A，逆时针转动216°后，把位于W面的置换三角形转动到G面，如图11(b)所示。图11(a)和图11(c)是转动前后的五魔方展开图。

（8）C5^4(A)

(a) (b) (c)

图12 C5^4(A)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5^4(A)T₀=(F4B3F4A1F1B4F1B1F4A4F1B4F4B3F1)

我用C5^4(A)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5^4(A)操作三角形△o得到，如图12所示。需要强调的是，C5^4(A)的转轴在A面的心块A，逆时针转动288°后，把位于W面的置换三角形转动到B面，如图12(b)所示。图12(a)和图12(c)是转动前后的五魔方展开图。

（9）C5(B)

(a) (b) (c)

图13 C5(B)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5(B)T₀=(B1A3B1F4B4A4B4A1B1F1B4A4B1A3B4)

我用C5(B)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5(B)操作三角形△o得到，如图13所示。需要强调的是，C5(B)的转轴在B面的心块B，逆时针转动72°后，把位于W面的置换三角形转动到A面，如图13(b)所示。图13(a)和图13(c)是转动前后的五魔方展开图。

（10）C5^2(B)

(a) (b) (c)

图14 C5^2(B)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5^2(B)T₀=(B1F2B1G4B4F1B4F4B1G1B4F1B1F2B4)

我用C5^2(B)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5^2(B)操作三角形△o得到，如图14所示。需要强调的是，C5^2(B)的转轴在B面的心块B，逆时针转动144°后，把位于W面的置换三角形转动到F面，如图14(b)所示。图14(a)和图14(c)是转动前后的五魔方展开图。

（11）C5^3(B)

(a) (b) (c)

图15 C5^3(B)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5^3(B)T₀=(B1G2B1C1B4G1B4G4B1C4B4G1B1G2B4)

我用C5^3(B)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5^3(B)操作三角形△o得到，如图15所示。需要强调的是，C5^3(B)的转轴在B面的心块B，逆时针转动216°后，把位于W面的置换三角形转动到G面，如图15(b)所示。图15(a)和图15(c)是转动前后的五魔方展开图。

（12）C5^4(B)

(a) (b) (c)

图16 C5^4(B)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5^4(B)T₀=(B1C3B1W1B4C4B4C1B1W4B4C4B1C3B4)

我用C5^4(B)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5^4(B)操作三角形△o得到，如图16所示。需要强调的是，C5^4(B)的转轴在B面的心块B，逆时针转动288°后，把位于W面的置换三角形转动到C面，如图16(b)所示。图16(a)和图16(c)是转动前后的五魔方展开图。

（13）C5(C)

(a) (b) (c)

图17 C5(C)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5(C)T₀=(G4B3G4F4G1B4G1B1G4F1G1B4G4B3G1)

我用C5(C)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5(C)操作三角形△o得到，如图17所示。需要强调的是，C5(C)的转轴在C面的心块C，逆时针转动72°后，把位于W面的置换三角形转动到B面，如图17(b)所示。图17(a)和图17(c)是转动前后的五魔方展开图。

（14）C5^2(C)

(a) (b) (c)

图18 C5^2(C)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5^2(C)T₀=(H4G2H4S4H1G1H1G4H4S1H1G1H4G2H1)

我用C5^2(C)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5^2(C)操作三角形△o得到，如图18所示。需要强调的是，C5^2(C)的转轴在C面的心块C，逆时针转动144°后，把位于W面的置换三角形转动到G面，如图18(b)所示。图18(a)和图18(c)是转动前后的五魔方展开图。

（15）C5^3(C)

(a) (b) (c)

图19 C5^3(C)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5^3(C)T₀=(D1H2D1M4D4H1D4H4D1M1D4H1D1H2D4)

我用C5^3(C)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5^3(C)操作三角形△o得到，如图19所示。需要强调的是，C5^3(C)的转轴在C面的心块C，逆时针转动216°后，把位于W面的置换三角形转动到H面，如图19(b)所示。图19(a)和图19(c)是转动前后的五魔方展开图。

（16）C5^4(C)

(a) (b) (c)

图20 C5^4(C)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5^4(C)T₀=(W1D3W1E1W4D4W4D1W1E4W4D4W1D3W4)

我用C5^4(C)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5^4(C)操作三角形△o得到，如图20所示。需要强调的是，C5^4(C)的转轴在C面的心块C，逆时针转动288°后，把位于W面的置换三角形转动到D面，如图20(b)所示。图20(a)和图20(c)是转动前后的五魔方展开图。

（17）C5(D)

(a) (b) (c)

图21 C5(D)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5(D)T₀=(G4C3G4B1G1C4G1C1G4B4G1C4G4C3G1)

我用C5(D)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5(D)操作三角形△o得到，如图21所示。需要强调的是，C5(D)的转轴在D面的心块D，逆时针转动72°后，把位于W面的置换三角形转动到C面，如图21(b)所示。图21(a)和图21(c)是转动前后的五魔方展开图。

（18）C5^2(D)

(a) (b) (c)

图22 C5^2(D)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5^2(D)T₀=(S4H2S4G4S1H1S1H4S4G1S1H1S4H2S1)

我用C5^2(D)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5^2(D)操作三角形△o得到，如图22所示。需要强调的是，C5^2(D)的转轴在D面的心块D，逆时针转动144°后，把位于W面的置换三角形转动到H面，如图22(b)所示。图22(a)和图22(c)是转动前后的五魔方展开图。

（19）C5^3(D)

(a) (b) (c)

图23 C5^3(D)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5^3(D)T₀=(N4M2N4S4N1M1N1M4N4S1N1M1N4M2N1)

我用C5^3(D)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5^3(D)操作三角形△o得到，如图23所示。需要强调的是，C5^3(D)的转轴在D面的心块D，逆时针转动216°后，把位于W面的置换三角形转动到M面，如图23(b)所示。图23(a)和图23(c)是转动前后的五魔方展开图。

（20）C5^4(D)

(a) (b) (c)

图24 C5^4(D)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5^4(D)T₀=(A1E3A1N4A4E4A4E1A1N1A4E4A1E3A4)

我用C5^4(D)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5^4(D)操作三角形△o得到，如图24所示。需要强调的是，C5^4(D)的转轴在D面的心块D，逆时针转动288°后，把位于W面的置换三角形转动到E面，如图24(b)所示。图24(a)和图24(c)是转动前后的五魔方展开图。

（21）C5(E)

(a) (b) (c)

图25 C5(E)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5(E)T₀=(C1D3C1W1C4D4C4D1C1W4C4D4C1D3C4)

我用C5(E)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5(E)操作三角形△o得到，如图25所示。需要强调的是，C5(E)的转轴在E面的心块E，逆时针转动72°后，把位于W面的置换三角形转动到D面，如图25(b)所示。图25(a)和图25(c)是转动前后的五魔方展开图。

（22）C5^2(E)

(a) (b) (c)

图26 C5^2(E)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5^2(E)T₀=(H4M2H4D1H1M1H1M4H4D4H1M1H4M2H1)

我用C5^2(E)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5^2(E)操作三角形△o得到，如图26所示。需要强调的是，C5^2(E)的转轴在E面的心块E，逆时针转动144°后，把位于W面的置换三角形转动到M面，如图26(b)所示。图26(a)和图26(c)是转动前后的五魔方展开图。

（23）C5^3(E)

(a) (b) (c)

图27 C5^3(E)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5^3(E)T₀=(S4N2S4M4S1N1S1N4S4M1S1N1S4N2S1)

我用C5^3(E)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5^3(E)操作三角形△o得到，如图27所示。需要强调的是，C5^3(E)的转轴在E面的心块E，逆时针转动216°后，把位于W面的置换三角形转动到N面，如图27(b)所示。图27(a)和图27(c)是转动前后的五魔方展开图。

（24）C5^4(E)

(a) (b) (c)

图28 C5^4(E)操作T₀前后

T₀=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)

T(g)=C5^4(E)T₀=(F4A3F4N4F1A4F1A1F4N1F1A4F4A3F1)

我用C5^4(E)操作T₀后，得到新的操作序列T(g)，T(g)产生置换三角形△g，这个三角形也可以用C5^4(E)操作三角形△o得到，如图28所示。需要强调的是，C5^4(E)的转轴在E面的心块E，逆时针转动288°后，把位于W面的置换三角形转动到A面，如图28(b)所示。图28(a)和图28(c)是转动前后的五魔方展开图。