《五魔方和Ih点群》序言
爱好群论40年：五魔方和Ih点群
1985年，我在吉林大学读固体物理学硕士时，学习了丁培柱教授的《群论》课，从此我喜欢上了群论，但是，我最爱是点群。今年是2025年，40年过去了，《五魔方和Ih点群》就是“我最爱是点群”的一个证据。
点群是群论的核心内容，点群的概念可以追溯到20世纪初，当时数学家和物理学家(还有化学家)用点群来描述分子的对称性。德国数学家Arthur Schoenflies(1853-1928)，首先把群论用到晶体学，从此有了点群。我近期的博文《魔方和Oh点群》与《五魔方和Ih点群》，这里的符号Oh和Ih就是这位德国数学家Arthur Schoenflies首先使用的，现在称为Schoenflies符号(Schoenflies notation)。
德国物理学家Carl Heinrich Hermann(1898-1961)，确立了点群在空间群中的地位。随后，法国晶体学家Charles-Victor Mauguin (1878-1958)完善了相关的工作。现在的所谓点群和空间群的国际符号(international notation)，就是以他们的名字命名的，即Hermann–Mauguin notation，可以表示点群、平面群和空间群。
Ih点群有120个元素：24个C5轴，20个C3轴，15个C2轴，24个S10轴，20个S6轴，15个镜面，1个单位元素，1个反演中心。
点群Ih的C元素和S元素列表如下：
图1 五魔方安放在笛卡尔坐标系
为了用“魔方方程”描述五魔方，我要把五魔方安放在笛卡尔坐标系，我把五次轴给了Z轴，把二次轴给了Y轴，也就是说，Z轴是一个五次轴，Y轴是一个二次轴，X轴啥也不是。Z轴和Y轴的安放就决定了笛卡尔坐标系原点和五魔方正12面体中心重合。Ih的所有对称元素都穿过笛卡尔坐标系的原点。例如，所有的C转轴和S转轴都穿过坐标系原点，所有的镜面都和坐标系原点相交，反演中心就是坐标系原点，如图1所示。由此可见，如果一个群的所有元素都交于一点，这个群就是点群。
科学符号是科学概念的第1载体，对理解科学和使用科学是至关重要的。科学符号也是建立物理图像的基本模块(积木块)，我对230空间群的理解(构建物理图像)，就是用数学家的积木块(Schoenflies notation)搭建的。230空间群对应32种点群，也就是说，有的点群对应多个空间群。例如，Oh点群对应10个空间群，只能标记为Oh^1, Oh^2, ------, Oh^10。而国际符号(Hermann–Mauguin notation)却能一对一地标记，尽管如此，我还是喜欢使用数学家的符号(Schoenflies notation)，因为我对点群更为专注，我理解点群的物理图像就是用Schoenflies notation积木块搭建的。
以上是有关空间群的10本在线工具书(手册)，高级软件(AI)可以直接调用这些数据。
1890年，俄国数学（晶体学）家Evgraf Stepanovich Fedorov(1853-1919), 首先从理论上推导出了230空间群。1891年德国数学（晶体学）家Arthur Schoenflies(1853-1928)关于230空间群，完成了同样的推导。1892 年，Fedorov 和 Schoenflies 在通信中找到了 230 个空间群的正确列表。1894年英国数学（晶体学）家William Barlow(1845-1934)关于230空间群，也完成了同样的推导。由此可见，1900年之前，数学家已经完成了230空间群的正确列表。点群是空间群的基础，德国数学家Arthur Schoenflies完成了奠基性的工作，Oh和Ih符号就属于Arthur Schoenflies在100多年前使用的符号体系，特别适合于构建点群的物理图像。
点群Ih有120个元素，点群Ih和五魔方的巧妙关系，比点群Oh和Rubik魔方的巧妙关系更好玩。
科学网—用48个魔方体会“魔方和Oh点群” - 李世春的博文
如果你有120个五魔方(Megaminx)，用Ih点群的120个元素操作之后，再把它们按照点群元素类型摆放在一起。此时此刻，一眼望去，你就会有“会当凌绝顶，一览众山小”的感觉，能真正体会Ih点群的奥妙。买到手的五魔方，打开包装之后，五魔方处于复位状态，我把处于复位状态的五魔方称为新五魔方，简称为五魔方。
只有3个角块处于置换状态，其它小块都处于复位状态
图2 五魔方W面上的角块置换三角形
用操作序列B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4= T0，操作一个五魔方之后，就在W面上产生一个置换三角形。需要强调的是，“五魔方和Ih点群”的故事开讲的时候，这里已经有两样东西：一个三角形(几何)和一个操作序列(代数)，如图2所示。我用Ih点群的120个元素，分别操作图2 (a) 的三角形和序列T0= （B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)^1，就会得到120个三角形和120个操作序列，这120个三角形和这120个操作序列一一对应。换句话说，就是点群元素可以把这个三角形操作到某面的某位置，标记为Ih三角形；点群元素也可以先操作T0，得到一个新的操作序列，标记为Ih序列，用这个Ih序列产生的三角形，和那个Ih三角形完全重合，这就是“五魔方和Ih点群”的物理图像，也是它的数学含义。需要说明的是，五魔方有12个面，图2(a)中示意出6个面，图2(c)中示意出另外的6个面，图2(b)是一个实际的五魔方W面正视图。
图3 描述了五魔方12个面的方位关系，我把五魔方的12个面分为二组，以W面为中心的6个面，分别表示为W,A,B,C,D,E，如图3(a)所示，以S面为中心的6个面，分别表示为S,F,G,H,M,N，如图3(b)所示。
(a) (b)
图3 五魔方12面的方位关系
(a) (b)
图4 五魔方的W-6面和S-6面
图4是五魔方12个面的展开图，每个五边形的相邻关系，满足图3的方位关系。图5和图4一样，是五魔方的展开图，但包含了每个小块的展开细节。从力学结构看，五魔方有：20个角块，30个边块，12个心块。心块有1个色面，边块有2个色面，角块有3个色面。五魔方展开之后，如图5所示，每个五边形有11个色面。我用英文字母表示色面，这样就把颜色问题转化为文本问题，便于计算机输出。由此可见，五魔方的状态就是一个12X11的矩阵，而五魔方的每个面又是一个五边形矩阵，我把它称为文本矩阵，如图6所示，是计算机输出的五魔方状态的文本矩阵。
(a) (b)
图5 五魔方的状态和文本矩阵
(a) (b)
图6 计算机输出文本矩阵(五魔方状态)
学习群论有三种境界：学，用和玩。学，如何学？是个老生常谈的问题，我1985年在吉林大学研学了丁培柱的《群论》课；用，我1991年开始用丁培柱《群论》课的思想，建立魔方方程，初步实现了学以致用；玩，把学和用结合到妙处，才算是玩，是最高境界。如果我把《五魔方和Ih点群》按照时髦的套路发表在刊物上，那就算不上是玩的境界。我把《五魔方和Ih点群》先公布(发表)在科学网上，这就是玩的境界O(∩_∩)O。
用计算机玩五魔方，先要有数学模型，然后是具体的算法，然后是计算机编程，最后是晒(玩)出结果。我用计算机玩五魔方，是从Ih点群出发，代数和几何地进入魔方方程(数学模型)，所谓算法就是“从数学到结果”的章法和文法，我要的“结果”，有时是“五魔方的状态”，有时是一串“操作序列”，有时是一个Loop。为了让计算机按照我要的格式输出结果，为此，我还要逆向返回计算程序，修改算法，有时还需要修改数学模型的表达形式。当然了，我的数学模型就是模块化的，算法和数学模型对应，也是模块化的。我用的程序语言是VB，我的程序是完全的裸码，因为我不会包装，我也不打算包装我的程序。但是，我的VB程序非常好用，例如，用120个Ih点群元素操作T0，我只要点一下程序的运行键，不到一分钟就可以得到120个新的操作序列。然后，在魔方方程模块下，再点击一次运行键，我就得到了120个五魔方的状态，这些五魔方状态分别对应那120个操作序列。
我写《五魔方和Ih点群》的工作量，主要是如何整理和解说计算机输出的文本结果。当然了，在我写文章的桌子上方，挂着一盏“Ih点群”的灯，我会让Ih点群的光辉，照亮《五魔方和Ih点群》的每个段落。
我1991年建立的“魔方方程”，不但适用于Rubik魔方，也适用于五魔方(Megaminx)。《五魔方和Ih点群》，是我用计算机玩五魔方后得到的结果，充分展示了Ih点群的奥妙。
我从1985年学完《群论》课之后就开始玩点群，我构造了所有32点群的乘法表，后来又构造了Ih点群的乘法表，所有这些工作都是通过计算机完成的，这也锻炼了我的计算机编程。为了确认我构造的32点群乘法表是正确的，我又用230空间群验证了我的32点群乘法表，因为我要做到正确无误。我的AEC(原子环境计算)就是在这种背景下产生的。从点群到空间群，再到AEC，所有这一切都是从玩魔方开始的。点群有两个biao：一个乘法表(biao)，一个特征标(biao)。我对乘法表更感兴趣，因为我要建立点群操作的物理图像，以便达到“用魔方玩点群”和“用点群玩魔方”的境界。现在，我能用Ih点群操作五魔方的操作序列，这就说明我已经达到了真正玩的境界O(∩_∩)O。
图7 序列T0产生的三角形
如前所述，《五魔方和Ih点群》的故事，开场时就有两样东西：一个三角形和一个操作序列，前者是由后者产生的。如图7所示，序列T0=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)操作一次，标记为()^1，操作两次标记为()^2，操作三次标记为()^3，显然，用T0这个操作序列，操作三次，五魔方就回到出发前的状态，即()^3=I，完成一个Loop。
以上段落，()表示(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)。
(a) (b)
图8 C5(W)元素转动了置换三角形
再举个例子，说明点群是如何操作五魔方的。C5(W)是Ih点群的一个元素，就是垂直W面的C5轴。图7中的三角形(图8(a))，用C5(W)操作后，相当于三角形围绕垂直W面的轴逆时针转动了72°，如图8所示。需要强调的是，这个三角形是置换三角形，在图8(a)中，是顶点为(WAB)，(WDC)和(WDE)的置换三角形；在图8(b)中，是顶点为(WBC)，(WDE)和(WEA)的置换三角形。C5操作的是一个置换三角形，就是置换3个角块的三角形。
我也可以先用点群元素C5(W)操作T0操作序列，得到新的序列T(C5(W))，我用这个新的序列T(C5(W))操作一个五魔方，就会得到图8(b)的结果。点群操作五魔方的操作序列的表达式可写为
C5(W)T0=T(C5(W)) (1)
T0=(B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4)，T(C5(W))=(C1W3C1B1C4W4C4W1C1B4C4W4C1W3C4)。
点群Ih的元素C5(W)操作T0操作序列，得到了1个新的操作序列T(C5(W))。用这个新的操作序列T(C5(W))操作一个五魔方之后，就会得到图8(b)的结果。
(a) (b) (c)
图9 C3(WAB)元素操作置换三角形
C3(WAB)是Ih点群的一个三次轴元素，五魔方的中心(o)到顶点WAB的连线o-WAB，就是C3(WAB)轴。如图9(b)所示，W面的置换三角形以o-WAB为轴逆时针转动120°，就到达A面，如图9(c)所示。
Ih点群的120个元素，有103个元素涉及到转动问题。描述一个转动有三个要素：转轴，转角和转向。教科书里的点群，转动轴是一条直线，是没有箭头的。如果要数学地表示点群的转动元素，必须要明确转轴，转角和转向。例如，C3(WAB)的定义是：o-WAB为转轴，转轴的方向是从o到WAB，转轴方向确定之后，根据右手规则，转向也确定了。因此，在图9中，根据右手规则，C3(WAB)把W面的置换三角形转动到A面，转动的角度为72°。所谓右手规则，就是拇指为o-WAV方向，弯曲的四指朝向转动方向，因此转动72°就达到A面。
(a) (b)
图10 五魔方中Ih点群的转轴
如果垂直Z轴过Y轴切割五魔方，正好把五魔方对半平分。五魔方的一半位于Z>0；五魔方的另一半位于Z<0。我把Z>0的一半称为上半球，Z<0的一半称为下半球。位于上半球(Z>0)的心块，边块和角块，正好占五魔方的一半。也就是说，在五魔方的上半球，有6个心块，15个边块，10个角块。
从Ih点群的角度看，由图10可见，五魔方有6个五次轴，每个五次轴穿过两个心块，一个在上半球，一个在下半球；五魔方有15个二次轴，每个二次轴穿过两个边块，一个在上半球，一个在下半球；五魔方有10个三次轴，每个三次轴穿过两个角块，一个在上半球，一个下半球。
从力学角度看，五魔方有12个可转动的面(层)， 因为转动的角度对应72°，144°，216°，288°，相当于Ih点群的五次轴。五魔方的每个面对应一个五次轴，五魔方共有12个面，因此五魔方有12个五次轴，这和Ih点群不同，Ih点群只有6个五次轴。
图11 角块置换三角形和操作序列T0
我用T0操作一个五魔方，得到图11所示的图案，即经过T0操作后，五魔方只有W面的三个角块发生了置换，五魔方的图案是一个角块置换三角形，其他所有的小块都处于复位的状态。
我用Ih点群的120个元素操作T0之后，得到了120个新的操作序列，用这120操作序列操作五魔方后，得到了120个五魔方的图案，我把这120个五魔方图案称为Ih点群操作序列图案。
我用Ih点群的120个元素操作图11的置换三角形，可以得到120种图案，这120种图案和刚才的Ih点群操作序列图案一一对应。这就是《五魔方和Ih点群》的故事。因为篇幅太大，我准备按照Ih点群元素类型分为
《五魔方和Ih点群》(1)：24个C5元素
《五魔方和Ih点群》(2)：20个C3元素
《五魔方和Ih点群》(3)：24个S10元素
《五魔方和Ih点群》(4)：20个S6元素
《五魔方和Ih点群》(5)：15个C2元素
《五魔方和Ih点群》(6)：15个镜面元素
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