吉林大学之光：丁培柱的《群论》课
山不转水转，水不转人转，人不转魔方转。
描述魔方转动最强有力的数学工具，就是群论。
1985年我在吉林大学读硕士研究生时，学了一门《群论》课，讲课的老师是丁培柱教授，这是40年前的事了。
我不但学了丁培柱的《群论》课，我也用了丁培柱的《群论》课。学了《群论》课6年之后的1991年，我搞出了魔方方程，从此魔方和群论伴随我一路走来。2016年退休后，我使用在丁培柱的《群论》课学到的群论思想，借助我自己编写的计算机VB程序推导出“五魔方=Ih点群”（Megaminx = Ih Point Group）的漂亮结果。我讲的“五魔方=Ih点群”，是可以验证的。买一个五魔方，按照我说的验证一下，就能体会五魔方和Ih点群的奥妙关系。与此同时，你就会自然而然地体会到“群论”的奥妙和精华所在。
再强调一次，1985年我在吉林大学读研究生时，学了一门《群论》课，讲课的老师是丁培柱教授，这是40年前的事了。
1985年到1995年的10年期间，我完成了《魔方及其应用》，我用晶体学的米勒符号描述魔方的小块，我虽然用了群论，但是没有提及群论；
1995年到2005年的10年期间，我完成了《魔方的科学和计算机表现》，我明确提到了O点群，但是还不深刻；
2005年到2015年的10年期间，我完成了《魔方和数学建模》视频公开课，我明确提到了Ih点群，但是没有提到五魔方；
2015年到2025年的10年期间，我完成了“魔方=Oh点群”与“五魔方=Ih点群”，我先是用等号(=)把魔方和Oh点群联系起来，后来又用等号(=)把五魔方和Ih点群联系起来。
在2012年视频公开课《魔方和数学建模》第5集结尾的时候，我播放了一个3D动画：20个菱形晶胞头尾相接，其整体宏观对称性就是Ih点群。正20面体、正12面体和足球C60，它们的对称性是完全一样的，都是Ih点群。五魔方整体外形就对应正12面体，其宏观对称性就是Ih点群，实际上这样对应关系还可以深入到操作序列。教科书里的矩阵，基本上都是方的，其实这只是一种特殊情况。我用矩阵表示五魔方每个面上的11个小块，用字母表示，对应计算机的文本输出，因此，我把它们叫做文本矩阵，对应11个小块的五边形排列。
（a）魔方方程和五魔方固定在笛卡尔坐标系
(b) 五魔方的文本矩阵和空间关系
W,A,B,C,D,E面满足右手规则；W,F,G,H,M,N满足左手规则
(c) 五魔方转动操作规则
图1 体会五魔方和Ih点群的巧妙关系
这个五魔方只有3个角块处于置换状态，其它小块都处于复位状态
图2 计算机输出的文本矩阵和置换三角形
W-face
图3 五魔方W面上置换三角形
例如，T0= B1W3B1A1B4W4B4W1B1A4B4W4B1W3B4这个操作序列，可以在五魔方的W面上产生一个置换三角形。其中B1表示转轴在B面，转动1下，即72°，转动方向满足右手规则，其他符号以此类推。我通过用Ih点群对这个“三角形”进行操作，可以产生120个三角形，数量和Ih点群的阶相同。120个三角形图案分布在五魔方的12个面上，每个面上有10种图案。这120种三角形图案和Ih点群的120个元素一一对应。不但如此，我也可以用Ih点群的120个点群元素来操作这个T0操作序列，可以得到120种操作序列，用这120个操作序列来操作五魔方也可得到120种图案，和Ih点群元素直接操作那个三角形得到的图案，是一一对应的。这就是群论意义上的“五魔方=Ih点群”（Megaminx = Ih Point Group）。
我为什么能搞出“魔方和Oh点群”与“五魔方和Ih点群”的奥妙关系？因为40年前我学过丁培柱的《群论》课，而且我是真学的。
通过丁培柱的《群论》课，我成为是真正精通点群和230空间群的人，因此，我自己研发了原子环境计算（AEC），可以准确无误地计算出余瑞璜的EET电子理论所需的各种键络参数。不仅如此，我用我的AEC，解剖分析了中国科学院长春应用化学研究所张思远的复杂晶体分解理论，解剖分析了加拿大Brown的键价理论。此外，我用我的AEC，计算并且画出了大化学家Pauling梦寐以求的“准晶体的多重孪晶模型”：20个菱形晶胞可以头尾相接，其宏观整体对称性就是Ih点群对称性。需要强调的是：Pauling当年的设想是用20个立方体晶胞，头尾相接，构造出多重孪晶。事实是20个立方体不可能头尾相接。而20个菱形晶胞完全可以头尾相接，我画出的是三维动画：表明20个菱形晶胞可以头尾相接，其整体宏观对称性就是Ih点群。
丁培柱的《群论》课，在中国是首屈一指的。从2016年开始，我在UBC图书馆翻看了很多英文版的《群论》书，比较后得到的结论是，丁培柱的《群论》课，在世界上也几乎是首屈一指的。
丁培柱的《群论》课教材上册
丁培柱的《群论》课教材下册
丁培柱的《群论》课教材，既是我的群论教科书，又是我的群论学习笔记。1985年，《群论》课是吉林大学固体物理学硕士学位专业的必修课。当时有100多人选丁培柱的《群论》课，丁培柱的课讲得非常好，教材是自己编写的，还要定期举行答疑。我记得一次答疑时，由于我把转动矩阵用混了（注：问题相当于魔方方程的块位方程和色位方程使用了同一个转动矩阵，当时不是为了建立魔方方程），我的推导过程没有一点错误，但是结果和教材的却不同。丁培柱老师为我检查核对近一个小时才发现了问题，这次答疑给我留下了非常深刻的印象。期末考试给我留下了更深刻的印象，试题分两部分内容，1/3开卷，2/3闭卷。开卷的只有一个题，题目本身并不很大，但是其中涉及到O群的乘法表。当时100多研究生参加考试，大家都反映找不到现成的O群乘法表，因此，只有我们自己构造了。实际上构造O群乘法表并不难，但是，如果符号体系选择得不好，工作量会很大。因为24个元素两两相乘，有276种组合。其实难点并不在于矩阵乘法运算次数的多少，关键在于24种空间方位的表示。我当时就用晶体学符号，即晶向指数来表达24个元素对应的转轴(或镜面)，并且给出了O群完整的乘法表。在276个结果中，考试题只用到3个结果，因此，大多数同学不太愿意干这种效率很低的活。当时我感觉到构造O群乘法表比考试还要有意义，因为我在那一次答疑中，已经把握了转动矩阵的本质，这次把点群O的所有矩阵都过目了一遍。2003年，在国家自然科学基金（60120201）资助下，我出版了《魔方的科学和计算机表现》（简称为《魔方》），我国“两弹一星”功勋科学家程开甲院士为我的《魔方》写了序言。当年我对程先生说：“我之所以能写出《魔方》，是因为我在吉林大学读硕士时学过丁培柱的《群论》课，我正在用我的魔方方程推导点群和230空间群，准备研发一个原子环境计算（AEC）软件，以便为余瑞璜的EET电子理论计算复杂晶体的键络参数”。因为程开甲院士也对余瑞璜的EET电子理论很感兴趣（有公开发表的论文为证）。2007年，我自己完成了VB版本的AEC，2011年发表了基本思路和思想（AEC: A New Tool for EET, TFDC and Crystal Formula，Materials Science Forum，2011）。实际上，这是一次学术会议（IUMRS-ICA2010），就在石油大学家门口（青岛校区）召开，安排我口头发言，但是我没有参加会议，因为我认为注册费太贵，我只提交了文章。按照会议的规定，不出席会议不发表文章，但是他们最后还是在Materials Science Forum上发表了我的文章（AEC: A New Tool for EET, TFDC and Crystal Formula），因为他们看上了我的文章，他们也隐隐约约感觉到，这家伙不但精通点群和230空间群，还精通EET，TFDC，BV和Crystal Formula。他们不知道是，我学过丁培柱的《群论》课。
2011年10月以色列科学家谢赫特曼因为发现准晶体而获得诺贝尔化学奖，上海的《科学画报》在科学网抛绣球说：“请广大网友推荐一位博主，写篇介绍准晶体的文章，5天交稿”。科学网有一众网友振臂高呼推荐说：“介绍准晶体非大毛忽洞莫属O(∩_∩)O”。《科学画报》真信了，我也真写了，而且提前两天交稿。下面是我2011年10月，为《科学画报》写的介绍新科诺贝尔化学奖（准晶体）的文章：
准晶体的发现：2011年诺贝尔化学奖
李世春
（中国石油大学（华东）机电学院材料系）
以色列科学家谢赫特曼（Shechtman）荣获本年度诺贝尔化学奖，其贡献是发现准晶体。
要回答什么是准晶体？这还需要从晶体衍射讲起。无巧不成书，发现X射线衍射的思想正好萌芽于100年前的10月。1911年10月，正在做博士论文的物理学家埃瓦尔德（Paul Ewald）发现他的光散射实验结果和当时的理论有较大的出入。埃瓦尔德用白光照射硬石膏晶体（anhydrite，CaSO4），在不同的方向观察，结果都和理论不同，而且都超过了实验误差的范围。当时人们还不知道晶体结构，即不知道原子在晶体中是如何排列的。
带着这个问题，埃瓦尔德去请教物理学家劳厄（Laue）。等埃瓦尔德讲述完自己的问题后，劳厄敏锐地感觉到问题在于“短波在晶体中如何传播”。劳厄给埃瓦尔德提供了思考的路子，由于埃瓦尔德急于提交博士论文，还要准备答辩，因此，对劳厄的意见没有给予更多的关注。
1912年2月16日，埃瓦尔德提交了他的博士论文，3月5日完成了论文答辩。博士毕业不久找到了工作，埃瓦尔德已经把劳厄感兴趣“短波在晶体中的传播”的事情给忘记了。
1912年6月，劳厄发表了划时代的发现—X射线在晶体中的衍射，并且于1914年获得诺贝尔物理学奖。
图1 1912年劳厄第一次发表晶体X射线衍射照片（4次对称性）
如图1所示，照片中央的大黑点对应X射线入射的地方，周围的小黑点来源于晶体对X射线的散射。把照片中的那些小黑点围绕中心大黑点旋转90°，看起来照片和没有旋转是完全一样的。因此，我们认为这种晶体具有4次对称轴（360°/90°＝4），晶体学家就是根据这些衍射斑点来解读原子在晶体中是如何排列的，这种学问被称为X射线晶体学，是一个非常重要的科学研究领域。
图2 1912年劳厄第一次发表晶体X射线衍射照片（3次对称性）
如图2所示，把照片中的那些小黑点围绕中心大黑点旋转120°，和没有旋转是完全一样的。因此，我们称呼这种晶体具有3次对称轴（360°/120°＝3）。
当我们从不同的角度照射晶体时，我们就会得到不同的衍射照片。
1895年，德国科学家伦琴发现了X射线，此前人们认识晶体只是从矿物晶体的外形和数学理论的推断。直到1912年劳厄发现晶体X射线衍射后才开创了从微观上研究晶体的新时代。
但是，关于晶体对称性的数学理论（32点群和230空间群），在此之前各国的数学和晶体学家们都已经完成了。
1890年，俄国数学（晶体学）家首先从理论上推导出了230空间群；1891年德国数学（晶体学）家关于230空间群，完成了同样的推导；1894年英国数学（晶体学）家关于230空间群，也完成了同样的推导。
100多年来，晶体学（或固体物理和结构化学）的教科书里明确写到：“晶体里不存在5次或10次对称轴”。
图3 1982年谢赫特曼在电子显微镜拍摄的照片
1982年4月8日，以色列人谢赫特曼在电子显微镜拍摄到一张让正统的晶体学家们非常吃惊的照片，如图3所示。
利用透射电镜的电子衍射功能，人们可以拍摄到和晶体X射线衍射完全相同的照片。但是，谢赫特曼的照片很特殊，围绕中心斑点等距离分布的有10个斑点，如图3所示。
问题的实质是，围绕中心斑点，无论是旋转90°，还是60°或120°，还是180°，都不能使那些斑点在旋转前和旋转后完全重合在一起。只有旋转36°（360°/36°＝10）或72°（360°/72°＝5），才能使旋转前后的斑点完全重合在一起。这就是五次对称性问题，这在传统的晶体学教科书里是绝对不能允许的。
图4 具有5次对称性的正20面体（准晶体）
100年来，无论是X射线衍射照片，还是电子衍射照片，衍射斑点围绕中心斑点等距离分布，只能呈现出2次、3次、4次和6次对称性，这已经是常识了。
谢赫特曼不但能坚持自己的发现，还用了2年的时间来解释自己的发现。谢赫特曼根据一种数学工具—点群理论，把图3中的衍射斑点还原为原子在三维空间中排列组成的一个正20面体。
大化学家鲍林（Pauling）是批评和反对谢赫特曼发现准晶体最坚决的人，发表了很多(有关准晶体)晶体结构方面的文章，想方设法要把谢赫特曼的准晶体归纳到传统的晶体学教科书里。
非常巧合的是， 1960年鲍林在他的《化学键的本质》一书里（425页），曾在描述Al12Mo晶体结构时，提到了图4中的正20面体。鲍林说：在Al12Mo晶体中，有12个Al原子围绕着Mo原子，12个Al原子分布在正20面体的顶点，而Mo原子却位于正20面体的中心。
如果我们把Al12Mo晶体中其他的原子去掉，剩下的这13个原子就组成了一个正20面体，是最小的准晶体，有时也被称为正20面体原子团簇。
谢赫特曼发现的准晶体，比1960年鲍林所描述的正20面体要大很多，有10～20纳米，比现在人们所说的13原子团簇也要大很多。
自谢赫特曼发现准晶体后，各国科研人员陆续在实验室中制造出其他种类的准晶体，后来在俄罗斯一条河流的矿物样本中发现了天然准晶体。
在科学界，越来越多的人开始承认谢赫特曼关于准晶体的发现，终于在27年后今天，谢赫特曼和大化学家鲍林一样，荣获了诺贝尔化学奖。
以上蓝色字体就是2011年我为《科学画报》写的介绍准晶体的文章，毫无疑问，我是站在点群的立场上介绍准晶体的。这是问题的关键，也是问题的本质。那些和准晶体“插肩而过”的人，因为他们不懂点群，结果和准晶体撞了个满怀，也认不出他们的一流实验发现的是准晶体。
这个图就是准晶体的点群表示，换句话说，谢赫特曼之所以能获得2011年诺贝尔奖，就是因为根据他的电子衍射照片，他画出了这个Ih点群的投影图，而且谢赫特曼认定他的准晶体具有Ih点群对称性。世界上很多人，他们甚至比谢赫特曼更早拍摄到类似图3的电子衍射照片，但是他们都说不清楚自己的实验结果到底得到了什么？
2012年，我用我的AEC，计算后用晶体学软件画出了大化学家Pauling梦寐以求的准晶体的多重孪晶模型：20个菱形晶胞可以头尾相接，其宏观整体对称性就是Ih点群对称性。需要强调的是：Pauling当年的设想是用20个立方体晶胞，头尾相接，构造多重孪晶。事实是20个立方晶胞不可能头尾相接。而20个菱形晶胞完全可以头尾相接，我画出的是三维动画：20个菱形晶胞头尾相接，其整体宏观对称性就是Ih点群。
需要强调的是，我画出了3D动画，20个菱形晶胞可以头尾相接，其宏观整体对称性就是Ih点群对称性。仅此而已，至于“准晶体的多重孪晶模型”，这话是Pauling说的，不是我说的。
以上所列的文章，第一篇是谢赫特曼的，发表于1984年，其他5篇都是Pauling论述“准晶体的多重孪晶模型”的文章，是Pauling自己亲自写的文章，因为文章署名只有Pauling一人，而且都是Pauling用第一人称I写的。
五魔方（12个正五边形头尾相接）
这是我用我的AEC计算后用晶体学软件画出的3D动画，12个正五边形头尾相接，就是五魔方的外形，其整体宏观对称性也是Ih点群。因此，整体看，五魔方就是Ih点群。从操作序列看，五魔方也可以表达出Ih点群的特性。因此，我也可以说“五魔方=Ih点群”（Megaminx = Ih Point Group）。
1985年我在吉林大学读硕士研究生时，学了一门《群论》课，讲课的老师是丁培柱教授，这是40年前的事了。
从1985年丁培柱的《群论》课开始，加上我喜欢的计算机编程，40年来，我一直在用从丁培柱的《群论》课学到的群论思想，研究我喜欢的对称性问题（魔方和点群，魔方和空间群，魔方和AEC）。
山不转水转，水不转人转，人不转魔方转。
40年来，魔方（包括五魔方）既是我的研究对象，魔方也是判断我想法是否正确的唯一绝对的“权威专家”。
2016年退休后，我就有个想法：如何把魔方的操作序列和Oh点群关联起来，如何把五魔方的操作序列和Ih点群关联起来。
例如，T0= B2URL’B2LR’UB2这个操作序列，可以在魔方的U面上产生一个置换三角形（边块）。我通过用Oh点群对这个“三角形”进行操作，可以产生48个三角形，数量和Oh点群的阶相同。48个三角形图案分布在魔方的6个面上，每个面上有8种图案。这48种三角形图案和Oh点群的48个元素一一对应。不但如此，我也可以用Oh的48个点群元素来操作这个T0操作序列，可以得到48种操作序列，用这48个操作序列来操作魔方也可得到48种图案，和Oh点群元素直接操作那个三角形得到的图案，是一一对应的。这就是群论意义上的“魔方=Oh点群”（Rubik’s Cube = Oh Point Group）。
毫无疑问，当我在计算机上用我的VB程序实现了这个想法的时候，同时也表明，我已经用手中的魔方验证了我的想法(魔方=Oh点群)。因此，我说魔方既是我的研究对象，魔方也是我的研究结果是否正确的唯一客观公正权威的“鉴定专家”。俗话说，是骡子是马，拉出遛一遛就知道了。同样，关于魔方的研究结论，是否正确，拿个魔方转一转，就知道了。40年前，我从群论出发走入魔方。今天，我从魔方（五魔方）走出来，又回到了群论(Oh点群和Ih点群)。
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