因杨六省老师之邀，之前转载过多篇杨老师关于数学方面的论述，如“杨六省：美国《数学教育研究杂志》的退稿理由让我无语”、“√2=p/q（p，q 互质）与√2=p/q（p和q全是整数）等价吗？”、“毕达哥拉斯学派设定√2不是有理数的反论题犯了混淆上位概念与下位概念的逻辑错误”、“试把“√2是非最简分数”设定为“√2不是分数”的反论题”、“偷换概念:把反论题‘√2是分数’换成‘√2是最简分数’”、“如何证明2的立方根不是有理数”、“一句简单的反问，足以揭示其证明是无效的”、“运用孙子兵法破解《囚徒困境》”、“我是这样证明√2不是有理数的”、“√2不是有理数传统证明的两大错误”、"反证法要义"、“欧几里得《几何原本》关于√2是无理数的证明违反一致性原则”、“质疑第一次数学危机的真相（续）”、“评菲尔茨奖得主蒂莫西·高尔斯对√2不是有理数的证明”、“设立√2不是有理数的反论题写入‘p，q互质’是画蛇添足”、“应用反证法证明√2不是有理数应该推出什么样的矛盾？”等。今天，杨六省老师又寄来一篇新作——对反证法误解的几种表现。希望借助科学网博客平台，就相关问题进行探讨，下面是杨六省老师的观点阐述，仅仅在此进行转载，欢迎数学行家对此进行点评，也可以直接与杨六省老师联系进行交流探讨。
对反证法误解的几种表现
杨六省
有些论题用直接证法不好证或者无法证明，这时，可以考虑应用反证法证明。
应用反证法的具体做法是：先找出与原论题具有一真一假矛盾关系的论题，我们把它叫做原论题的反论题；再通过让反论题参与合乎逻辑的推理推出矛盾，从而表明反论题是虚假的；最后，由排中律可知，原论题为真。
反证法是一种常见的重要的证明方法。但是，人们对反证法存在着误解，教科书也不例外，具体表现如下：
1）认为无论推出什么样的矛盾都行
人教版七年级数学下册第58页写道：“p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾。这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数”。
笔者评析：姑且不论关于“p和q都是偶数”的推理是否有效。笔者的质疑是，“p和q都是偶数”与“假设p，q互质”相矛盾，只能说明“假设p，q互质”不成立，等价的说法是其矛盾命题“p，q不互质”成立，但“p，q不互质”是针对两个整数而言的。所以，教科书推出的矛盾不仅不能证明√2不是有理数，反倒是“证明了”√2是有理数，真是南辕北辙啊！
2）认为既然假设了反论题为真，那么，就可以对反论题本身做进一步的推理
错误案例：人教版七年级数学下册第58页写道——“假设√2是有理数”，这个假设当然是正确的，即反论题的设立是正确的。但是，人们认为：既然假设了√2是有理数为真，又因为任何有理数都可以化成最简分数，所以，存在两个互质的正整数p，q，使得√2=p/q，即√2=p/q（p，q互质）（即√2是最简分数）也可以作为√2不是有理数的反论题。事实上，这一步推理是错误的，理由是，当人们说“有理数总可以写成最简分数的形式”时，实际上是针对一个独立存在的或者说是不会引起矛盾的分数表达式而言的。但是，在假设√2=p/q（p，q 都是整数）中，等式的右端徒有分数之名，而无分数之实。试问，在这种情况下，应用“有理数总可以写成最简分数的形式”进行推理的根据是什么呢？为了帮助理解，不妨打个通俗的比方。假设张三尚未吃饭。为了应用反证法证明这一点，设立的反论题应该是张三已经吃过饭。但是，不可以因为假设反论题为真，就可以做如下的推理：既然假设了张三已经吃过饭为真，那么，要么张三这顿饭吃得满意，要么张三这顿饭吃得并非满意。想想看，在张三没有吃饭这个真实的而不是假设的条件下，说“张三这顿饭吃得满意”或说“张三这顿饭吃得并非满意”，有意义吗？这样的说法难道不荒唐吗？至于把√2=p/q（p，q互质）（即√2是最简分数）作为√2不是有理数的反论题，道理是一样的，只是由于后者远离生活常识，其荒谬性比较隐秘罢了。简言之，我们一定要把应用反论题进行推理（这是正当的，也是必要的）与对反论题本身进行推理（这是没有根据的，不正当的）区分开来。
3）应用反证法证题，一定要用到反论题，否则就不是反证法
错误案例：姑且不论反论题的设立是否正确。既然传统的证明方法把√2=p/q（p，q互质）作为√2不是有理数的反论题，那么，依据反证法，这个反论题就应该参与导致矛盾的推理，否则，凭什么说，反论题是导致矛盾的原因呢？那么，这个反论题是否参与了导致矛盾的推理呢？答案是否定的，证据是，论证过程在前面推出了p是偶数，后面又推出了q是偶数，这显然与反论题中的“p，q互质”相矛盾。
4）只求推出矛盾，而不考虑每一步推理是否都是有效推理
说明：上文中说的合乎逻辑的推理就是指有效推理，而有效推理是指“前提蕴涵着结论的推理”（引文参见：彭漪涟，马钦荣主编．逻辑学大辞典[M].上海：上海辞书出版社，2004年，第340页）。
错误案例：在√2不是有理数的传统证明中，
①由√2=p/q（p，q都是整数）推不出√2=p/q（p，q互质），理由是，√2=p/q（p，q都是整数）是一个矛盾式（说明：笔者关于√2不是有理数的证明与毕达哥拉斯学派的证明没有关系，所以，笔者在说理中有理由把√2不是有理数作为论据加以应用），其右端徒有分数之名，而无分数之实，因此，它并不在“任一分数都可以化为最简分数”这个论断的适用范围之内。
②对于p2=2q2 （q是整数）而言，由“p2是偶数”推不出“p是偶数，理由是，其推理前提“p是整数”并不存在，否则，“q和p都是整数”与“√2不是有理数”（即√2=p/q（p，q不都是整数））这一命题相矛盾。
③对于p2=2q2 而言，由“p是偶数”（姑且不论这种推理是否有效）推不出“q是偶数”，否则，与“√2不是有理数”（即√2=p/q（p，q不都是整数））这一命题相矛盾。
④由“p和q都是偶数”与“假设p和q互质”相矛盾推不出“√2不是有理数”，因为条件“p和q都是偶数”（p和q当然都是整数）不蕴涵√2=p/q中的p和q不都是整数。
再举一个常见的错例：“对于p2=2q2 ，其右端所含因数2有奇数个，而左端所含因数2又为偶数个，这就有了矛盾。”这个证明是无效的，理由是，如果我们首先认可“右端所含因数2有奇数个”这个说法，就等于认可了“q是整数”，因为没有后者就没有前者。于是，由笔者关于√2不是有理数的证明可知“p不是整数”，故“左端所含因数2又为偶数个”这个说法就是无意义的。反之，如果我们首先认可“左端所含因数2为偶数个”这个说法，就是认可了“p是整数”，于是，根据笔者已经证明了的“√2不是有理数”可知“q不是整数”，故“右端所含因数2有奇数个”这个说法就是无意义的。还可以把理由说的更简单一些，这就是，对于p2=2q2 而言，等式两边分别以“假设p为整数”和“假设q为整数”进行推理（注：此后并未对“假设p为整数”或“假设q为整数”中的一个进行否定），这是违反已证命题“√2不是有理数”（即√2= p/q（p和q不都是整数））的。
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