因杨六省老师之邀，之前转载过多篇杨老师关于数学方面的论述，如“杨六省：美国《数学教育研究杂志》的退稿理由让我无语”、“√2=p/q（p，q 互质）与√2=p/q（p和q全是整数）等价吗？”、“毕达哥拉斯学派设定√2不是有理数的反论题犯了混淆上位概念与下位概念的逻辑错误”、“试把“√2是非最简分数”设定为“√2不是分数”的反论题”、“偷换概念:把反论题‘√2是分数’换成‘√2是最简分数’”、“如何证明2的立方根不是有理数”、“一句简单的反问，足以揭示其证明是无效的”、“运用孙子兵法破解《囚徒困境》”、“我是这样证明√2不是有理数的”、“√2不是有理数传统证明的两大错误”、"反证法要义"、“欧几里得《几何原本》关于√2是无理数的证明违反一致性原则”等。今天，杨六省老师又寄来一篇新作——质疑第一次数学危机的真相（续），希望借助科学网博客平台，就相关问题进行探讨，下面是杨六省老师的观点阐述，仅仅在此进行转载，欢迎数学行家对此进行点评，也可以直接与杨六省老师联系进行交流探讨。

质疑第一次数学危机的真相（续）

杨六省

yangls728@163.com

笔者于2017-1-1在“数学中国·论坛”上发布了一个帖子，题目叫“质疑第一次数学危机的真相”。其中谈到了笔者怀疑√2不是有理数的传统证明方法的起因，也对√2不是有理数给出了笔者自己的证明。该帖的浏览量已超过一万三千人次。在最近短短三个月的时间里，浏览量猛增超过五千人次。

但是，上述帖子毕竟写于七年半以前。现在看来，在那个帖子里，笔者对√2不是有理数传统证明方法中所出现的错误揭示的远远不够，给出的证明方法也不够简短。为了进行弥补，笔者特写此文，以方便网友讨论交流。

（一）√2不是有理数传统证明方法中所出现的主要错误

（1）把√2=p/q（p，q 互质）作为√2不是有理数的反论题是一个方向性的错误

有人认为，√2不是有理数的反论题既可以是√2=p/q（p，q 都是整数），也可以是√2=p/q（p，q 互素），理由是：假设√2是有理数，而有理数总可以写成最简分数的形式，所以，由√2=p/q（p，q 都是整数）可以推出√2=p/q（p，q 互素）。笔者的质疑是：假设√2是有理数，即假设√2=p/q（p，q 都是整数）。当人们说“有理数总可以写成最简分数的形式”时，实际上是针对一个独立存在的或者说是不会引起矛盾的分数表达式而言的。但是，在√2=p/q（p，q 都是整数）中，由于“p/q（p，q 都是整数）”处于矛盾的关系中（等式两边并非真正相等），所以，它徒有分数之名，而无分数之实。试问，在这种情况下，仍然应用“有理数总可以写成最简分数的形式”进行推理，有何根据，是否合理？事实胜于雄辩。如果由√2=p/q（p，q 都是整数）可以推出√2=p/q（p，q 互素），那么，以√2=p/q（p，q 互素）作为反论题的常见证明方法就可以证明√2不是有理数。但是，笔者已经证明，由√2=p/q（p，q 都是整数）推不出p和q都是偶数，同时还证明了由“p和q都是偶数”与“假设p和q互素”相矛盾推不出√2不是有理数，这说明常见证明方法的推理逻辑链是断裂的，证明是无效的。因此，√2不是有理数的反论题只能是√2=p/q（p，q 都是整数），而不能又是√2=p/q（p，q 互素）。

有人会问，应用反证法就是要应用反论题进行推理，为什么不可以由√2=p/q（p，q 都是整数）推出√2=p/q（p，q 互素）呢？我们说，应用反论题进行推理与对反论题本身进行推理不是一回事，后者会使反论题变为其下位概念的命题，从而不再是原论题的反论题，而前者不会使反论题本身发生改变。

其实在这里，最简单有效的反驳方法应该是以其人之道还治其人之身——如果由√2=p/q（p，q 都是整数）可以推出√2=p/q（p，q 互素），那么，由√2=p/q（p，q 都是整数）也可以推出√2=p/q（p，q 非互素），因为有理数总可以写成非最简分数的形式。但是，由相同的假设前提推出相互矛盾的结论是不可能的，因此，由√2=p/q（p，q 都是整数）不能推出√2=p/q（p，q 互素），换一种说法，是不能对反论题本身进行推理的。这样说来，人教版数学课本七年级下册第58页关于√2不是有理数证明的第一句话——“假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得√2=p/q”——就是错误的！

√2不是有理数所涉及的矛盾应该是有理数与无理数之间的矛盾，具体地说就是，√2=p/q中的p和q能否都是整数？但是，传统证明方法所设立的反论题是“√2是最简分数”，即√2=p/q（p，q 互素），其所涉及的矛盾则是有理数系统内部的某种矛盾（互素与非互素之间的矛盾），这就如同把入场争议变成了座位争议。想想看，如果两张入场卷并非都有效，那么，讨论两人的座位能否被安排在一起是有意义的吗？这样的讨论岂不是很荒唐吗？

下面是笔者对√2不是有理数给出的有效证明：

命题：√2不是有理数，即√2= p/q（p和q不都是整数）。

证明：假设√2= p/q（p和q都是整数）。先固定q是整数，于是有p²=2q²（q是整数）。p不能是奇数，因为奇数的平方不是偶数。假设p是偶数。设p=2r,代入p²=2q²,得q² =2r²，同理，q是偶数；同理，r是偶数，……这样，p将含有无穷多个因数2，这与假设p是偶数矛盾，说明p也不是偶数。所以，p不是整数，命题得证。

美国一位数学人士对笔者的观点很感兴趣。但是，首先应该从我们自己做起——弃用无效证明，采用有效证明。星星之火可以燎原！

（2）反论题不参与后续推理，不符合反证法的要求

应用反证法，反论题必须作为后续推理的条件，否则，凭什么说明反论题就是导致矛盾的原因呢？传统的证明方法（例如，人教版数学课本七年级下册第58页）把√2=p/q（p，q互质）作为“√2不是有理数”的反论题，那么，依据反证法，就应该把这个反论题作为后续推理的条件以便推出矛盾。但是，√2=p/q（p，q互质）中的“p，q互质”并没有参与后续推理，这是不符合反证法要求的。这个错误是传统证明方法的一个明显的硬伤，因此，我们不能承认传统证明方法的有效性。

（3）传统证明方法中从√2=p/q (p和q都是整数)到p和q都是偶数的推理是无效的

传统的证明方法把√2=p/q（p，q 互质）作为√2不是有理数的反论题。考察其论证过程不难发现：传统的证明方法以为，只要从√2=p/q (p和q都是整数)推出p和q都是偶数，就可以否定反论题√2=p/q（p，q 互质），从而证明√2不是有理数。我们姑且不论传统证明方法的思路是否有意义（事实上，√2=p/q（p，q 互质）就是无意义无真假的）。我们只需指出，从√2=p/q (p和q都是整数)推不出p和q都是偶数，即可说明传统证明方法是无效的。假设从√2=p/q (p和q都是整数)可以推出p和q都是偶数。设p=2r（r为整数）,q=2s（s 为整数）,代入√2=p/q（p，q 均为整数），可得√2=r/s（r，s 均为整数）；同理，设r=2t（t为整数）,s=2w（w 为整数）,代入√2=r/s（r，s 均为整数），可得√2=t/w（t，w 均为整数）；……这就是说，假设从√2=p/q（p，q 都是整数）可以推出p和q都是偶数，那么，这个假设蕴涵着一个有序偶数对的无穷序列：p，q；r，s；t，w；……这意味着p和q均含有无穷多个因数2，说明p和q均不是整数。简言之，如果从√2=p/q（p，q 都是整数）可以推出p和q都是偶数，那么，从√2=p/q（p，q 都是整数）就可以推出√2=p/q（p，q 都不是整数），矛盾！所以，从√2=p/q（p，q 都是整数）推不出p和q都是偶数。

（4）由“p和q都是偶数”与“假设p和q互素”相矛盾推不出√2不是有理数

姑且不论关于“p和q都是偶数”的推理是否有效。我们说，“p和q都是偶数”与“假 设 p和q互素”相矛盾只能说明“p与q互素”不成立，而“p与q 非互素”是成立的。但 后者蕴涵“p与q都是整数”，所以，不能证明√2不是有理数。换一种说法，条件是p和q 都是偶数（p与q当然也都是整数），结论是√2不是有理数（即p和q不都是整数），结论 与条件不相容，即条件不蕴涵结论，所以，不能通过有效推理由p和q都是偶数推出√2不是有理数。

（二）为什么人们的推理会出错？

（1）人们没有意识到，推出的“p为偶数”仍是一种假设

在人教版数学课本七年级下册第58页有如下表述：“由2q²是偶数，可得p²是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。”论证者在推理过程中虽然没有明确声明，但“q是整数”这个假设显然是首先被用到的，否则，就不会有“2q²是偶数”和“p²是偶数”之结论。另外，“q是整数”这个假设可以得到满足也是很明显的事，因为√2=p/q总可以写成√2=p/q（q是整数）的形式。这样说来，在毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明中，“q是整数”这一点就被固定下来了。于是，接下来才是在“p是整数”的假设下由“p²是偶数”推出了“p是偶数”。所以，说到底，“p是偶数”仍是一种假设。既然“p是偶数”只是一种假设，那么，下一步该做的事就是审查这个假设能否成立（参看笔者关于√2不是有理数的证明）。

（2）人们没有意识到，p为偶数之假设蕴涵着一个无穷偶数序列

基于人们没有把“p为偶数”看作是一种假设的错误，于是，人们又犯了另一个错误，这就是，在对√2不是有理数的证明中，人们没有意识到，对于p²=2q²（q是整数）而言，如果假设p是偶数，则这个假设蕴涵着一个无穷偶数序列：p，q，r， ……（理由参见上文笔者关于√2不是有理数的证明）。但是，人们只应用这个无穷偶数序列的前两项参与推理，这是错误的。

（三）对于√2不是有理数的传统证明方法，由于人们缺乏反思精神，从而失去了发现和纠正错误的机会

无论哪一种证明方法都是从√2=p/q开始，首先假设q为整数（注：这个假设是必要的，否则就推不出2q²和p²是偶数；另外，这个假设显然也是可以得到满足的）。接下来，如果真能推出p是偶数，那就是说，由√2=p/q可推出“q是整数且p是偶数”，而“q是整数且p是偶数”意味着p和q都是整数，从而说明√2是有理数。但这对于“已经证明了”√2不是有理数的毕达哥拉斯学派和已经知道√2不是有理数的后世来说，都是一个矛盾！同理，由√2=p/q推出p和q都是偶数，同样说明√2是有理数，矛盾！对此，无论是毕达哥拉斯学派，还是毕达哥拉斯学派的后世，只要具有反思精神，就应该对证明的有效性提出质疑。然而，遗憾的是，人们没有这样做，从而失去了纠正错误的机会。

（四）人们对反证法的要义仍缺乏透彻的认识

√2不是有理数的传统证明方法的负面作用还表现在它的误导性：人们以为，应用反证法，只要能够推出矛盾（无论什么矛盾），就表明已经证明了原论题。殊不知，如果反论题的设立是错误的，或者，即使反论题的设立是正确的，但如果接下来的推理包含无效推理，那么，就不能说原论题已经得到了证明。特别要指出的一点是，设立的反论题务必作为条件参与后续推理以导出矛盾，这应该是再浅显不过的常识！但是，在√2不是有理数的传统证明方法中，人们居然无视这一常识！

结论：第一次数学危机的真相是，毕达哥拉斯学派只是最早发现了√2不是有理数，但没有证明它。当然，人们常用的传统证明方法也没有证明√2不是有理数。（参考笔者的另一个题名为“欧几里得《几何原本》关于√2是无理数的证明违反一致性原则”的帖子）