因杨六省老师之邀，之前转载过多篇杨老师关于数学方面的论述，如“杨六省：美国《数学教育研究杂志》的退稿理由让我无语”、“√2=p/q（p，q 互质）与√2=p/q（p和q全是整数）等价吗？”、“毕达哥拉斯学派设定√2不是有理数的反论题犯了混淆上位概念与下位概念的逻辑错误”、“试把“√2是非最简分数”设定为“√2不是分数”的反论题”、“偷换概念:把反论题‘√2是分数’换成‘√2是最简分数’”、“如何证明2的立方根不是有理数”、“一句简单的反问，足以揭示其证明是无效的”、“运用孙子兵法破解《囚徒困境》”、“我是这样证明√2不是有理数的”、“√2不是有理数传统证明的两大错误”等。今天，杨六省老师又寄来一篇新作——"反证法要义"，希望借助科学网博客平台，就相关问题进行探讨，下面是杨六省老师的观点阐述，仅仅在此进行转载，欢迎数学行家对此进行点评，也可以直接与杨六省老师联系进行交流探讨。

反证法要义

杨六省

yangls728@163.com

有些论题用直接证法不好证或者无法证明，这时，可以考虑应用反证法证明。

应用反证法的具体做法是：先找出与原论题具有一真一假矛盾关系的论题，我们把它叫做原论题的反论题。再通过让反论题参与合乎逻辑的推理推出矛盾，从而确定反论题为假。于是，由排中律可知，原论题为真。

反证法的要义有如下三点：

①反论题与原论题务必是一真一假的矛盾关系。

②反论题务必参与推理，否则，怎么说明反论题就是导致矛盾发生的原因呢？

错误案例：√2不是有理数的传统证明把√2=p/q（p，q互质）作为√2不是有理数的反论题，但√2=p/q（p，q互质）中的“p，q互质”并没有参与推理。因此，传统证明是在不合法的应用反证法，其证明是无效的。也许有人会说，在传统证明中，也可以把√2=p/q（p和q均为整数）视作√2不是有理数的反论题。但问题是，由√2=p/q（p和q均为整数）既推不出√2=p/q（p，q互质），也推不出2=p/q（p和q均为偶数）（参阅资料同上），从而后续推理也就无从谈起了。

③务必做到每一步推理都是合乎逻辑的，即每一步推理结论都被前提条件所蕴涵。

这里合乎逻辑的推理就是指有效推理，就是指“前提蕴涵着结论的推理。”《哥德尔证明》一书作者说的很是到位，他说：“事实上，数学推演的有效性，并不依赖于前提之中词汇的含义或表达式的意思。……纯数学家所面临的问题，不是所假定的前提或从这些前提演绎出的结论是否为真，而是这些结论在事实上是否为初始前提的必然逻辑结果。”

错误案例：反论题√2=p/q（p和q均为整数）虽假但有意义，而√2=p/q（p，q互质）则是无意义无真假，因此，前者不可能蕴涵后者，也就是说，由前者不可能推出后者，当然，由前者也推不出√2=p/q（p和q均为偶数）。再如，由√2=p/q（p和q均为偶数）（姑且不论关于该表达式的推理是否合乎逻辑，即是否有效）也推不出√2=p/q（p和q不全是整数），即推不出√2不是有理数，想想看，“p和q均为偶数”能够蕴涵“p和q不全是整数”吗？