完全没有柯西的现代泛系量子微积分-牛顿标准分析的现代化

美国归侨冯向军博士

2018/9/7

  牛顿是牛顿原始微积分的发明者。牛顿原始微积分才是标准分析。后来者如柯西之流以柯西水货无限逼近和柯西水货无穷小来彻底异化牛顿原始微积分的精神实质：牛顿说【1】：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等。”）。柯西之流的现行微积分才是地地道道的非标准分析。至于鲁滨逊的非标准分析，也没有完全把握牛顿原始微积分的精神实质，而是在实数集上加了两个复杂程度依然等于零的超实数：无穷小量和无穷大量这一对“合理的虚构之物”而已。

  现代泛系量子微积分-300多年来无原理的牛顿原始微积分的现代化，刚刚问世。固然不成熟。但是，在完全没有柯西水货无限逼近和柯西水货无穷小的前提下来还原牛顿原始微积分的基本概念：无限逼近、极限、导数、微分、连续、左连续、右连续、原函数、定积分、微积分基本定理，那叫小菜一碟。业已初步完成

  阁下既然还是没看明白，就容在下在本文中慢慢细细地一一道来。

  说到对柯西之流的超越，则远的不说说近的。敬请阁下再仔细读读：《柯西绝不可能告诉你的现代泛系量子微积分精确化人生哲理》，《 关于万有量子的测不准原理》以及《包含物理量子、数学量子和逻辑量子的万有量子》诸博文。

 完全没有柯西的牛顿标准分析-

现代泛系量子微积分的标准分析

1.0无限逼近

当指向两个任意给定的、相互对立的指向的单位广义向量A和非A处于具有最大信息熵和最大发生概率的最大似然现代泛系叠加态中，而

最大似然现代泛系叠加态=0.5A+0.5非A   (1）

就叫A与非A相互无限逼近。

【定理】在万事万物的从来不变的本体、自在、实体或实在：

冯向军泛有序对（A，非A)=0.5A+0.5非A   (2)

中，A与非A总是相互无限逼近。

证明：万事万物的从来不变的本体、自在、实体或实在：冯向军泛有序对（A，非A)就是具有最大信息熵和最大发生概率的最大似然现代泛系叠加态。因此，在冯向军泛有序对（A，非A)中，A与非A总是相互无限逼近。

【证毕】。

相互无限逼近，其要义如下：

1.A完全平等地是非A，非A也完全平等地是A。

2.A是非A条件下的A或非A之A；非A是A条件下的非A或A之非A。记做：

A=A|非A；非A=非A|A。

【例1】

镜中花=0.5【花】+0.5【镜】，【花】与【镜】相互【无限逼近】。【花】完全平等地是【镜】；【镜】完全平等地是【花】。【花】是【镜】之【花】；【镜】是【花】之【镜】。

【花】=【花】｜【镜】；【镜】=【镜】｜【花】。

【例2】

  和万事万物的从来不变的本体、自在、实体或实在一样，自变量的增量Δx的从来不变的本体、自在、实体或实在，也是特殊的冯向军泛有序对。

  Δx的从来不变的本体、自在、实体或实在=0.5【零】+0.5【非零】   （3）

 在Δx的从来不变的本体、自在、实体或实在中，【零】与【非零】相互【无限逼近】。【零】完全平等地是【非零】；【非零】完全平等地是【零】。【零】是【非零】之【零】；【非零】是【零】之【非零】。

【零】=【零】｜【非零】；【非零】=【非零】｜【零】。

2.0【极限】

  当自变量x趋近于x0时，f(x)的极限为A等价于：

   |x-x0|处于现代泛系微积分量子坍缩态时，|f(x)-A|也必定处于同类现代泛系微积分量子坍缩态：当|x-x0|因为还在引起变化而坍缩成【非零】或某个非零的数时，|f(x)-A|也必定坍缩成【非零】或某个非零的数，而当|x-x0|因所引起的变化结束了而坍缩成零时，|f(x)-A|也必定坍缩成零。

 【例1】

  当x趋近于3，x²的极限的是9。

  这是因为，当|x-3|处于现代泛系微积分量子坍缩态时，|x²-9|也必定处于同类现代泛系微积分量子坍缩态：当|x-3|因为还在引起变化而坍缩成【非零】或某个非零的数时，|x²-9|也必定坍缩成【非零】或某个非零的数，而当|x-3|因所引起的变化结束了而坍缩成零时，|x²-9|也必定坍缩成零。

【定理1】可按如下方法求极限：

  如果|x-x0|因为还在引起变化而不等于零，就有|f(x)-A|不等于零。如果|f(x)-A| |令x=x0 = 0，则当x趋近于x0时，f(x)的极限等于A。

  证明：

  如果|x-x0|因为还在引起变化而不等于零，就有|f(x)-A|不等于零。如果|f(x)-A| |令x=x0 = 0。这就意味着:当|x-x0|处于现代泛系微积分量子坍缩态时，|f(x)-A|也必定处于同类现代泛系微积分量子坍缩态：当|x-x0|因为还在引起变化而坍缩成【非零】或某个非零的数时，|f(x)-A|也必定坍缩成【非零】或某个非零的数，而当|x-x0|因所引起的变化结束了而坍缩成零时，|f(x)-A|也必定坍缩成零。所以按定义，当x趋近于x0时，f(x)的极限等于A。

【举例】

  当x趋近于5时，x²+3 的极限等于多少？

  因为当|x-5|还在引起变化而不等于零，就有|x²+3-28|不等于零。又因为|x²+3-28| |令x=5 = 0，所以当x趋近于5时，x²+3 的极限等于28。

3.0【导数】

 【定理1】定义导数df/dx是 (f(x+Δx)-f(x))/Δx，在Δx趋近于零的极限。这就意味着：导数df/dx必须是按牛顿原始求导数法或求流数法所求出的导数。或者说：

  df/dx=F（x,Δx)|令Δx=0，这其中，F（x,Δx)=(f(x+Δx)-f(x))/Δx，是(f(x+Δx)-f(x))/Δx的最终态。

  证明：

  因为df/dx是 (f(x+Δx)-f(x))/Δx，在Δx趋近于零的极限，所以：

 当|Δx-0|处于现代泛系微积分量子坍缩态时，|(f(x+Δx)-f(x))/Δx-df/dx|也必定处于同类现代泛系微积分量子坍缩态：当|Δx-0|因为还在引起变化而坍缩成【非零】或某个非零的数，|(f(x+Δx)-f(x))/Δx-df/dx|也必定坍缩成【非零】或某个非零的数，这时，df/dx不等于(f(x+Δx)-f(x))/Δx）或与(f(x+Δx)-f(x))/Δx）并没有直接关系。但是，当|Δx-0|因所引起的变化结束而坍缩成零时，|(f(x+Δx)-f(x))/Δx-df/dx|的最终态也必定坍缩成零。此时

  df/dx=（f(x+Δx)-f(x))/Δx，（f(x+Δx)-f(x))/Δx=最终态F（x，Δx)，而Δx=0。

  因此，导数df/dx必须是按牛顿原始求导数法或求流数法所求出的导数。或者说：

  df/dx=F（x,Δx)|令Δx=0，这其中，F（x,Δx)=(f(x+Δx)-f(x))/Δx，是(f(x+Δx)-f(x))/Δx的最终态。

【证毕】

【举例】

  对于函数f(x)=x²，（f(x+Δx)-f(x))/Δx=((x+Δx）²-x²)/Δx。

 （f(x+Δx)-f(x))/Δx的最终态F（x，Δx)=2x+Δx。

  所以导数df/dx=F（x，Δx)|令Δx=0 = 2x。

4.0无穷小

  当自变量x趋近于x0时，f(x)的极限为0，则称当自变量x趋近于x0时，f(x）的极限为无穷小。

5.0无穷大

  当自变量x趋近于x0时，1/f(x)的极限为0，则称当自变量x趋近于x0时，f(x）的极限为无穷大。当自变量的倒数1/x趋近于0，就说x趋近于无穷大。

6.0连续

  假如，

  （1）存在f(x0)，使得f(x)|x=x0 = f(x0)。

   (2)当x坍缩成x0的δ邻域中的数，f(x)也必须坍缩成f(x0)的ε邻域中的数。这其中ε是任意給定的正数，δ是与ε相应的正数。这也就是说，对于任意给定的ε>0,存在δ>0，当|x-x0|<δ,则有|f(x)-f(x0)|<ε。

  就称函数f(x)在x=x0处连续。

  假如，

  （3）存在f(x0+)，使得f(x)|x=x0+ = f(x0+)。这其中x0+是x0的右临域中的数。

   (4)当x坍缩成x0的δ+邻域中的数，f(x)也必须坍缩成f(x0)的ε+邻域中的数。这其中ε是任意給定的正数，δ是与ε相应的正数。这也就是说，对于任意给定的ε>0,存在δ>0，当0<x-x0<δ,则有0<f(x)-f(x0)<ε。

  就称函数f(x)在x=x0+处右连续。

  假如，

  (5）当存在f(x0-)，使得f(x)|x=x0- = f(x0-)。这其中x0-是x0的左临域中的数。

  (6) 当x坍缩成x0的δ-邻域中的数，f(x)也必须坍缩成f(x0)的ε-邻域中的数。这其中ε是任意給定的正数，δ是与ε相应的正数。这也就是说，对于任意给定的ε>0,存在δ>0，当-δ<x-x0<0,则有-ε<f(x)-f(x0)<0。

  就称函数f(x)在x=x0-处左连续。  

7.0微分

  微分dy=(df/dx)Δx。这其中y=f(x)是任意給定的函数，df/dx是函数f(x)在x处的导数，Δx是自变量的增量。因为对于函数y=f(x)=x,dy=dx=(dx/dx)Δx=Δx,所以dx=Δx,dy=(df/dx)dx。这也就是说，函数的微分与自变量的微分之比dy/dx=函数f(x)在x处的导数df/dx。因此，导数又叫微商。

【举例】

  y=f(x)=x³。df/dx=3x²。微分dy=(df/dx)dx=3x²dx。

8.0原函数

  对于函数f(x)，假如存在函数F(x)，其微分dF=f(x)dx，就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。

9.0定积分

9.0.1黎曼积分

  黎曼积分得名于德国数学家波恩哈德·黎曼，建立在函数在区间取样分割后的黎曼和之上。设有闭区间[a,b]，那么[a,b]的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列  。每个闭区间  

叫做一个子区间。定义  为这些子区间长度的最大值：  ，其中  。而闭区间[a,b]上的一个取样分割是指在进行分割 后，于每一个子区间中

  取出一点  。对一个在闭区间[a,b]有定义的实值函数f，f关于取样分割

  的黎曼和定义为以下和式：

和式中的每一项是子区间长度  与在  处的函数值  的乘

积。不同的取样分割方式得到的黎曼和一般都不相同，而如果当  足够小的时候，所有的黎曼和都趋于某个极限，那么这个极限就叫做函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分。即，S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的  

，都存在  ，使得对于任意的取样分割  ，只要它的子区间长度最大值  

，就有：

也就是说，对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。这时候称函数f为黎曼可积的。将f在闭区间[a,b]上的黎曼积分记作：

9.0.2【现代泛系量子积分的定义】-对黎曼积分定义的扬弃

假设黎曼和

的最终形式是

F（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)

当令（xi+1-xi）全部坍缩成零时，就称

 F（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)  | （xi+1-xi）= 0，i=0，...n-1

为现代泛系量子积分。

现代泛系量子积分继承了黎曼和而抛弃了黎曼积分定义中基于柯西水货无限逼近的柯西水货极限，因此确实是对黎曼积分的扬弃。

【举例1】

函数f(x)=x在[0，1]上的黎曼和为

【黎曼和】=

=(1/n)²n(n+1)/2 =(1+1/n)/2=（1+Δx）/ 2，这其中自变量增量Δx=1/n=（xi+1-xi），i=0，...n-1。

黎曼和的最终形式=（1+Δx）/ 2。

所以，现代泛系量子积分 = （1+Δx）/ 2｜Δx=0 = 1/2。

【备考】按现代泛系极限概念，导数df/dx必须是按牛顿原始求导数法或求流数法所求出的导数。根本没有所谓的贝克莱悖论。

【举例2】

函数f(x)=x²在[0，1]上的黎曼和为

黎曼和=

=(1/n)³n(n+1)(2n+1）/6 =(1+1/n)(2+1/n）/6=（1+Δx）(2+Δx）/ 6，这其中自变量增量Δx=1/n=（xi+1-xi），i=0，...n-1。

黎曼和的最终形式=（1+Δx）(2+Δx）/ 6。

所以，现代泛系量子积分 = （1+Δx）(2+Δx）/ 6｜Δx=0 = 1/3。

【举例3】

函数f(x)=x³在[0，1]上的黎曼和为

【黎曼和】=

=(1/n)⁴n²(n+1)²/4 =(1+1/n)²/4=(1+Δx)²/4，这其中自变量增量Δx=1/n=（xi+1-xi），i=0，...n-1。

黎曼和的最终形式=(1+Δx)²/4。

所以，现代泛系量子积分 = (1+Δx)²/4｜Δx=0 = 1/4。

【备考】按现代泛系极限概念，导数df/dx必须是按牛顿原始求导数法或求流数法所求出的导数。根本没有所谓的贝克莱悖论。

10.0微积分基本定理

10.1连续函数保号定理

  【定理】： 假设函数f(x)在x=x0连续，且f(x0)>0或f(x0)<0，则存在δ>0，当|x-x0|<δ，f(x)>0或f(x)<0。

  证明：因为函数 f(x) 在 x=x0连续，所以，存在f(x0)并且对于任意给定的ε>0，存在δ>0，当|x-x0|<δ，|f(x)-f(x0)|<ε。

  假设f(x0)>0，命ε=f(x0)/2。则有，存在δ>0，当|x-x0|<δ，|f(x)-f(x0)|<f(x0)/2。f(x0)/2<f(x)<3f(x0)/2。f(x)>0。

  假设f(x0)<0，命ε=-f(x0)/2。则有，存在δ>0，当|x-x0|<δ，|f(x)-f(x0)|<-f(x0)/2。

3f(x0)/2<f(x)<f(x0)/2。f(x)<0。

  【证毕】。

10.2确界存在定理

 【定理】：假设S是非空实数集合，如果S存在上界，则S存在上确界。如果S存在下界，则S存在下确界。

  证明：

(a)因为S是非空实数集合，如果S存在上界，则存在实数M，  ，有  。假设：

E={y|y是S的上界}。又假设y1,y2∈E，则对于任意的α：0<α<1，αy1+（1-α)y2∈E。因此，E是个连续区间。下面来证明：E必存在最小数或S必存在上确界。假设E不存在最小数或S不存在上确界。就有：  E=(-∞，M],或E=(a，M]。

  假设E=(-∞，M]，-∞就是S的上界，S必为空集，这与S非空矛盾。假设E=(a，M]，就有a不是S的上界。因此，存在x0∈S，使得x0>a,a<（x0+a)/2<=M。这也就是说（x0+a)/2∈E。但是存在x0∈S，使得x0>（x0+a)/2。这与（x0+a)/2是S的上界相矛盾。综上所述：E必存在最小数或S必存在上确界。

(b)因为S是非空实数集合，如果S存在下界，则存在实数m，  ，有  。

假设：

E1={y|y是S的下界}。又假设y1,y2∈E1，则对于任意的β：0<β<1，βy1+（1-β)y2∈E1。因此，E1是个连续区间。下面来证明：E1必存在最大数或S必存在下确界。假设E1不存在最大数或S不存在下确界。就有：  E1=[m，+∞）,或E1=[m，b)。

  假设 E1=[m，+∞），+∞就是S的下界，S必为空集，这与S非空矛盾。假设E1=[m，b)，就有b不是S的下界。因此，存在x1∈S，使得x1<b,m<=（x1+b)/2<b。这也就是说（x1+b)/2∈E1。但是存在x1∈S，使得x1<（x1+b)/2。这与（x1+b)/2是S的下界相矛盾。综上所述：E1必存在最大数或S必存在下确界。

【证毕】。

10.3零点定理

【定理】：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)× f(b)<0），那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。

  证明：不妨设 ，f(b)>0。令

  E={x|f(x)≤0,x∈[a,b]}.

  由f(a)<0知E≠Φ,且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理，存在ξ=supE∈[a,b]。这其中supE表E的上确界。

  下面来证明f(ξ)=0）.事实上，

  (i)若f(ξ)<0,则ξ∈[a,b).由函数连续的局部保号性知存在δ>0,对x1∈(ξ,ξ+δ):f(x1)<0→存在x1∈E:x1>supE,这与supE为E的上界矛盾；

  (ii)若f(ξ)>0,则ξ∈(a,b].仍由函数连续的局部保号性知存在δ>0,对x1∈(ξ-δ,ξ):f(x1)>0→存在x1为E的一个上界，且x1<ξ,这又与supE为E的最小上界矛盾。

综合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。

  【证毕】。

10.4介质定理

【定理】考虑实数域上的区间  ，以及在此区间上的连续函数  。那么，

如果u满足：，就必定存在  使得  。

证明：构造函数：φ(x)=f(x)-u。就有，

φ(a)=f(a)-u。

φ(b)=f(b)-u。

φ(a)×φ(b)<0。

根据零点定理：必存在  使得φ(c)=0或 。

【证毕】。

10.5定积分基本性质：线性性

设f(x)和g(x)都在[a，b]上可积，则对于任意给定的实数k1和k2,

k1f(x)+k2g(x）也可积，并且,

证明：k1f(x)+k2g(x）的定积分所对应的黎曼和为：

k1f(x)+k2g(x）的定积分所对应的黎曼和等于k乘上f(x)的定积分所对应的黎曼和加上k2乘上g(x)的定积分所对应的黎曼和。

设F（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)为

k1f(x)+k2g(x）的定积分所对应的黎曼和的最终形式,Ff（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)为f(x)的定积分所对应的黎曼和最终形式，而Fg（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)为g(x)的定积分所对应的黎曼和最终形式，

则有：

F（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)

=k1Ff（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)

+k2Fg（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)

F（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)｜（xi+1-xi）= 0，i=0，...n-1

=k1Ff（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)｜（xi+1-xi）= 0，i=0，...n-1

+k2Fg（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)｜（xi+1-xi）= 0，i=0，...n-1

因为f(x)和g(x)均可积，所以 f(x)和g(x)的定积分

Ff（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)｜（xi+1-xi）= 0，i=0，...n-1

和

Fg（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)｜（xi+1-xi）= 0，i=0，...n-1

均存在。

所以k1f(x)+k2g(x）的定积分也存在，且满足：

F（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)｜（xi+1-xi）= 0，i=0，...n-1

=k1Ff（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)｜（xi+1-xi）= 0，i=0，...n-1

+k2Fg（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)｜（xi+1-xi）= 0，i=0，...n-1

或

【证毕】。

10.6定积分基本性质：保序性

  设f(x)和g(x)都在[a，b]上可积，且f(x)≥g(x)，则。

  证明：因为f(x)≥g(x)，所以，在黎曼和中，

  f(x)和g(x)的定积分所对应的黎曼和满足不等式：

设F（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)为

f(x)的定积分所对应的黎曼和的最终形式,而

Fg（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)为g(x)的定积分所对应的黎曼和最终形式。则有：

F（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)

≥Fg（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)

对所有的（xi+1-xi），i=0，...n-1成立。因此，

F（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)｜（xi+1-xi）= 0，i=0，...n-1

≥Fg（t₀，（x₁-x₀），t₁，（x₂-x₁），...，t_n，（x_n-x_n-1）)｜（xi+1-xi）= 0，i=0，...n-1

这也就是说：

【证毕】。

10.7积分中值定理

  【定理】若函数 在闭区间  上连续,，则在积分区间  上至少存在一个点  ，使下式成立

其中，a、b、  满足：  。

  证明：设 f(x)在  上连续，且最大值为  ，最小值为  ，最大值和最小值可相等。

由积分保序定理中命g(x)=m或M可得

同除以（b-a）从而

由连续函数的介值定理可知，必定

，使得

，即：

【证毕】。

10.8定积分基本性质：积分区间可加性

  【定理】：设函数c∈(a，b)，则：

证明：对[a，b]作分割T，令T的分割点包含c。则T同时构成对[a，c]和[c，b]的分割T1和T2。

这其中Δx_i=（x_i+1-x_i)，Δx_1j=（x_1j+1-x_1j),Δx_2k=（x_2k+1-x_2k)。

Δx_i=Δx_1j=Δx_2k，对所有的i，1j和2k成立。或，

SUM =SUM1+SUM2。这其中，SUM 、SUM1、SUM2分别是对应上式中分割T、T1和T2的黎曼和。

SUMf =SUM1f+SUM2f。这其中，SUM 、SUM1、SUM2分别是对应分割T、T1和T2的黎曼和的最终形式。

在SUMf =SUM1f+SUM2f中，命Δx_i=Δx_1j=Δx_2k=0，对所有的i，1j和2k，按定义，则有：

  【证毕】。

【备考】本简单证明故意回避可积不可积的问题。

10.9微积分基本定理

  如果函数 f(x) 在区间[a，b]上连续，并且存在原函数 F(x)，则

证明：定义函数：

φ(x)=

则有φ(x+dx)-φ(x)=

根据积分区间可加性，

φ(x+dx)-φ(x)=

又根据积分中值定理，存在c∈[x，x+dx]，使得：

φ(x+dx)-φ(x)=f(c)(x+dx-x)=f(c)dx

(φ(x+dx)-φ(x))/dx=f(c)

在上式中命dx趋近于零，则按导数的定义有：

dφ/dx=f(c)|dx=0 =f(x)

又按原函数的定义：

dF/dx=f(x)

因此

φ(x)=F(x)+常数。

但是，φ(a)=0。所以常数=-F(a)。

φ(x)=F(x)-F(a)

φ(b)=F(b)-F(a)

这也就是说：

【证毕】。

11.0现代泛系量子微积分的勒贝格导数-以狄利克雷函数为例

 【定义】：现代泛系量子微积分的勒贝格导数就是先将自变量区间按不同测度分类，然后再分别根据现代泛系量子微积分求导数的方法-牛顿原始求导法来求导，所得出的各种导数值。 

  【举例】-狄利克雷函数的勒贝格导数

  狄利克雷函数f(x)=1,对于每一个实数域R内的有理数。

  狄利克雷函数f(x)=0,对于每一个实数域内的无理数。

  在现行基于柯西的微积分看来，狄利克雷函数f(x)处处不连续，处处不可导，也处处不可积。狄利克雷函数f(x)是最能反映出现行基于柯西的微积分的重大缺陷的函数。

  按勒贝格积分，狄利克雷函数f(x)在【0，1】内可积。

  按现代泛系量子微积分的勒贝格导数，狄利克雷函数f(x)处处可导：

  （一）将自变量的区间实数域R，按不同测度分为纯有理数区间、纯无理数区间和有理数无理数相邻的实区间等子区间。

  （二）对于纯有理数区间的每一个x，给x一个非零增量Δx，就有狄利克雷函数的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)=1-1=0。狄利克雷函数f(x)的增量与自变量的增量的比值Δy/Δx的最终形式是：F(x,Δx)=0/Δx=0。因此，根据现代泛系量子微积分求导数的方法-牛顿原始求导法,勒贝格导数=df/dx=F(x,Δx)|Δx=0 = 0   (1)

（三）对于纯无理数区间的每一个x，给x一个非零增量Δx，就有狄利克雷函数f(x)的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)=0-0=0。狄利克雷函数f(x)的增量与自变量的增量的比值Δy/Δx的最终形式是：F(x,Δx)=0/Δx=0。因此，根据现代泛系量子微积分求导数的方法-牛顿原始求导法,勒贝格导数=df/dx=F(x,Δx)|Δx=0 = 0   (2)

（四）对于从有理数变到无理数的区间的每一个x，给x一个非零增量Δx，就有狄利克雷函数f(x)的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)=0-1=-1。狄利克雷函数f(x)的增量与自变量的增量的比值Δy/Δx的最终形式是：F(x,Δx)=-1/Δx。因此，根据 现代泛系量子微积分求导数的方法-牛顿原始求导法,勒贝格导数=df/dx=F(x,Δx)|Δx=0 = -∞   (3)

（五）对于从无理数变到有理数的区间的每一个x，给x一个非零增量Δx，就有狄利克雷函数f(x)的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)=1-0=1。狄利克雷函数f(x)的增量与自变量的增量的比值Δy/Δx的最终形式是：F(x,Δx)=1/Δx。因此，根据现代泛系量子微积分求导数的方法-牛顿原始求导法,勒贝格导数=df/dx=F(x,Δx)|Δx=0 = +∞  (4) 

12.0连续不是除连续以外的任何现代泛系量子微积分存在的必要条件（修订版）

  现代泛系量子微积分存在实质是：当自变量增量坍缩成非零时，不论这个非零有多大，都会引起某种变化。当自变量增量所引起的变化结束时，自变量增量必须坍缩成零。这时，所引起的变化的最终态就是现代泛系量子微积分存在的最终值。

  因此，实际上，现代泛系量子微积分存在只与自变量增量坍缩成零时的所引起的变化的最终态有关，而与中间过程并无直接关系。

  因此，一般来说，与函数的连续性或柯西无限逼近没有关系。

  连续不是除连续以外的任何现代泛系量子微积分存在的必要条件。

  无限逼近、极限、导数、微分、无穷小、无穷大、原函数、现代泛系量子积分、现代泛系量子微积分的勒贝格导数、现代泛系量子微积分的仿勒贝格积分、现代泛系量子微积分的量子勒贝格积分、勒贝格积分等等均不以连续或柯西无限逼近为必要条件。不过连续函数有很多特殊的性质而已。

  打个比方。人生必以死亡为其极限，但可以慢慢死去，也可以突然死去。由此可见连续不是极限存在的必要条件，柯西无限逼近不应与极限划等号。

【1】https://www.xzbu.com/4/view-13807.htm

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唐白玉 发表了评论   2018-9-7 11:55。

 ”平常，人们头脑里有两个概念“，这如“一一对应”之说一样，说得太不清。当然，你有自由以为”人们“。“一一对应”之类，在讨论函数、极限、连续、可导之前，要理理。
很早了，有人疑问：假如，如你所言，不用柯西等的”水货“，是否可以发展出在应用中同样成功的”非标准分析“？你与丁，去试试？
历史，不许这样的假设，即使未来真那样”分析“了，也是一种新发展。你与丁，有那点作为？
就你博文看，普通本科高等数学的一部分阵，你都极可能”打不出去“，还要面对工程等的理论体系？
驳什么呢？数学，算不算得上一门自然科学，这个问题就还是个麻烦呢？
直觉、逻辑、某理论（或许假设、构造、先验、客观、真理）体系内、其外在理论关联、实践检验、适用时空范围，这些方面相容性越宽广深远越好——很可能就更正确，形式越简约优美越好？居士自认为，这种观念不是新奇的而是古朴的，耳觉回音”人法地......道法自然“。
它们与人一起前行成长（不清楚是否是死亡的别名）？
可遇不可求。天之予夺好恶，谁知其故。老爱，也意识到”共鸣“的神秘？