发生概率能表达无中生有

美国归侨冯向军博士，2017年7月14日写于美丽家乡

（本文业已基本完成）

【摘要】《关于决定性事件的概率论》【1】的唯一公理：最大概率公理中所出现的发生概率可以表达无中生有【2】。本文系统地论述了发生概率的数理特性并直接用n元广义系统的发生概率推导出各种常用概率分布。

【能表达无中生有的n元广义系统的发生概率】

对于具有概率分布p1，p2，...pn的n元广义系统，发生概率可以表达无中生有。对于概率分布p1，p2，...，pn及其所对应的代表广义方向的相互垂直、正交或对立的单位向量A1，A2，...An,有发生概率【2】：

P(p1A1+p2A2+...+pnAn) = p1*p2*...*pn    (1-4)

而无论i取什么值（i = 1，2，...，n），都有

P(Ai) = P(0*A1+0*A2+1*Ai...+0*An) = 1*0 = 0   （1-5）

这也就是说只要搞“只有我没有其余”这种“我执”，发生概率就为零。

因此，由式（1-4），当概率p1，p2，...pn全都不等于零，就有：

P(p1A1+p2A2+...+pnAn) > p1P(A1)+p2P(A2)+...+pnP(An) = 0    (1-7)

这也就是说：整体（部分的线性组合）的发生概率大于部份的发生概率的线性组合：零。这也就是发生概率的无中生有的涌现（Emergence)。

【发生概率的一个重要数理性质】

定理：概率分布p1，p2，...，pn的发生概率P满足：

P <= (1/n)ⁿ，并且当且仅当概率分布p1，p2，...，pn呈均匀分布p1=p2=...=pn=1/n时，发生概率P才能取最大值。

证明：按几何平均值与算术平均值的关系不等式有：

P = p1p2...pn <= ((p1 + p2 +...+ pn)/n)ⁿ = (1/n)ⁿ,并且当且仅当概率分布p1，p2，...，pn呈均匀分布p1=p2=...=pn=1/n时，发生概率P才能取最大值。

证毕。

【最大发生概率原理】

直接从最大概率公理出发，我们有：在任何约束条件下，概率分布p1，p2，...pn必须使发生概率P取约束条件下的最大值或极大值。换句话说，概率分布p1，p2，...pn必须最大限度地逼近令发生概率P达最大值的均匀分布p1=p2=...=pn=1/n。

【由最大发生概率原理推导出幂律分布】

对于非自然约束条件：p1x1^a + p2x2^a +...+ pnxn^a = 常数C3(这其中x1，x2，...，xn是与广义系统概率分布相对应的n个离散变量值），命由目标函数发生概率的对数log(P)，自然约束条件和上述非自然约束条件所决定的拉格朗日算子为L。有：

L = log(p1) + log(p2)+...+log(pn) + C1(p1 + p2 +...+ pn - 1)

+  C2(（p1x1^a + p2x2^a +...+ pnxn^a - C3)

对于拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi(i=1，2，...,n)并令之为零。有：

dL/dpi = 1 /pi + C1 + C2xi^a = 0，i = 1，2，...，n。

pi = -1/(C1 + C2xi^a ),i = 1，2，...，n。

当待定常数C1 = 0，C2 < 0 而a > 0，这就是幂律。

但是拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵为一主对角线上元素恒负而其余元素全为零的负定对称矩阵，因此令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述幂律分布也必定是令拉格朗日算子L或约束条件下的目标函数发生概率的对数log(P)取得最大值或极大值的概率分布。这也就是说令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述幂律分布也必定是令约束条件下的发生概率P取得最大值或极大值的概率分布，这种幂律分布符合最大发生概率原理。

【由最大发生概率原理推导出负指数分布】

对于非自然约束条件：p1exp(ax1) + p2exp(ax2) +...+ pnexp(axn) = 常数C3(这其中x1，x2，...，xn是与广义系统概率分布相对应的n个离散变量值），命由目标函数发生概率的对数log(P)，自然约束条件和上述非自然约束条件所决定的拉格朗日算子为L。有：

L = log(p1) + log(p2)+...+log(pn)  + C1(p1 + p2 +...+ pn - 1)

+  C2(（p1exp(ax1) + p2exp(ax2) +...+ pnexp(axn) - C3)

对于拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi(i=1，2，...,n)并令之为零。有：

dL/dpi = 1 /pi + C1 + C2exp(axi) = 0，i = 1，2，...，n。

pi = -1/(C1 + C2exp(axi)),i = 1，2，...，n。

当待定常数C1 = 0 ，C2 < 0 而a > 0，这就是负指数分布。

但是拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵为一主对角线上元素恒负而其余元素全为零的负定对称矩阵，因此令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述负指数分布也必定是令拉格朗日算子L或约束条件下的目标函数发生概率的对数log(P)取得最大值或极大值的概率分布。这也就是说令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述负指数分布也必定是令约束条件下的发生概率P取得最大值或极大值的概率分布。这种负指数分布符合最大发生概率原理。

【由最大发生概率原理推导出正态分布】

对于非自然约束条件：

p1exp(a(x1-m)²/b) + p2exp(a(x2-m)²/b) +...+ pnexp(a(xn-m)²/b) = 常数C3(这其中x1，x2，...，xn是与广义系统概率分布相对应的n个离散变量值,a、b、c是常数。），命由目标函数发生概率的对数log(P)，自然约束条件和上述非自然约束条件所决定的拉格朗日算子为L。有：

L = log(p1) + log(p2)+...+log(pn)  + C1(p1 + p2 +...+ pn - 1) +  C2(p1exp(a(x1-m)²/b) + p2exp(a(x2-m)²/b) +...+ pnexp(a(xn-m)²/b) - C3)

对于拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi(i=1，2，...,n)并令之为零。有：

dL/dpi = 1 /pi + C1 + C2exp(a(x1-m)²/b) = 0，i = 1，2，...，n。

pi = -1/(C1 + C2exp(a(x1-m)²/b)),i = 1，2，...，n。

当待定常数C1 = 0 ，C2 < 0，a < 0而b > 0，这就是正态分布。

但是拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵为一主对角线上元素恒负而其余元素全为零的负定对称矩阵，因此令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述正态分布也必定是令拉格朗日算子L或约束条件下的目标函数发生概率的对数log(P)取得最大值或极大值的概率分布。这也就是说令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述正态分布也必定是令约束条件下的发生概率P取得最大值或极大值的概率分布。这种正态分布符合最大发生概率原理。

【由最大发生概率原理推导出均匀分布】

当无任何非自然约束条件时，命由目标函数发生概率的对数log(P)，自然约束条件所决定的拉格朗日算子为L。有：

L = log(p1) + log(p2)+...+log(pn) + C1(p1 + p2 +...+ pn - 1)

对于拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi(i=1，2，...,n)并令之为零。有：

dL/dpi = 1 /pi + C1 = 0，i = 1，2，...，n。

pi = -1/(C1) ,i = 1，2，...，n。因为：

p1 + p2 +...+ pn  = 1，所以：

p1 = p2 =...= pn = 1/n 而 C1 = - n。

这就是均匀分布。

但是拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵为一主对角线上元素恒负而其余元素全为零的负定对称矩阵，因此令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述均匀分布也必定是令拉格朗日算子L或约束条件下的目标函数发生概率的对数log(P)取得最大值或极大值的概率分布。这也就是说令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述均匀分布也必定是令约束条件下的发生概率P取得最大值或极大值的概率分布，这种均匀分布符合最大发生概率原理。

【结论】发生概率是能表达无中生有这一客观实际的信息测度。

参考文献

【1】冯向军，关于决定性事件的概率论，科学网，2017年6月13日。http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1060603.html

【2】冯向军，广义的薛定鄂猫的最大发生概率涌现：发生权或存在权的无中生有，科学网，2017年7月14日。http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1066261.html

【3】冯向军，广义系统的发生概率和Tsallis信息涌现，科学网，2017年7月5日。http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1064697.html

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