引言：工业时代，繁重的体力劳动被解放，计算机时代，流程化的脑力劳动被解放，智能时代，大脑无法承担的数学计算问题被解放。

一、数学计算背景介绍

若干年前,为了求解小球堆积的最优化方案，曾请教过一些数学从业者。因无所获而自己动手寻找灵感，购买了大量乒乓球尝试着堆积建模，将小球放进网袋寻找最优化堆积模型。小球数量较小时，网袋建模比较简单，也比较直观，当小球数量超过15个之后，堆积难度很快增大。在把玩小球过程中，有好几个特定数字的堆积模型非常有意思，其中26个小球堆积模型的数学计算值得一说，在无数次的小球玩耍过程中，偶然间将26个小球堆积成鼓形紧密结构。此后，为了计算这个鼓形结构的最小大球直径（假设将这鼓形放进一个大球）遇到了难题。日前，尝试着将这一难题交由Deepseek去解决，返回的结果非常有意思，特此写下后续文字，分享有兴趣的读者。

二、Deepseek 输出结果

笔者输给机器的问题：

26个小球鼓形堆积的大球最小直径计算，这是本人堆积成功的案例。鼓的顶层和底层各7个（中心1个+周围6个），中间一层共有12个分为两圈（内圈3个+外圈9个），三层共26个组成近似于鼓形的紧密结构。中心线垂直方向上：中间层内圈三角形的中心在垂直方向上与顶层和底层的中心球对齐，但中间层内圈三角形的中心并没有球。 三层的垂直中心线高度为：顶层中心球和底层中心球分别位于中间层三角形中心的正上方和正下方，帮助求解大球直径？

机器输出共一万多个字符，其中深度思考用时 217 秒。考虑到本次Deepseek输出的逻辑推理内容太多，笔者将其折叠成图片贴出。本文仅保留最终计算结果（附后）。

26个小球鼓形堆积的大球直径计算（基于精确几何模型）

1. 堆积结构解析

根据您的描述，鼓形结构由三层组成，总26个小球（直径=1）：

• 顶层：中心1球 + 周围6球

• 底层：中心1球 + 周围6球

• 中间层：内圈3球（三角形排列） + 外圈9球（圆周分布）

关键几何特征：

• 垂直中心线：

• 顶层中心球：(0, 0, h)

• 底层中心球：(0, 0, -h)

• 中间层三角形中心：(0, 0, 0)（无球）

• 中心球高度约束：

h=1−(13)2=23≈0.8165h=1−(3​1​)2​=32​​≈0.8165

• 中间层内圈：等边三角形边长=1

• 中间层外圈：9球圆周半径：

router=12sin⁡(20∘)≈1.4619router​=2sin(20∘)1​≈1.4619

2. 曲平面相切约束

每个曲平面7球（中间层1内圈球 + 2外圈球 + 顶层2球 + 底层2球）满足：

• 球心距=1

• 高度优化后：

• 顶层周围球高度：z ≈ 0.8865

• 底层周围球高度：z ≈ -0.8865

3. 关键球坐标示例

4. 最远球心距离验证

• 中间层外圈球：√(1.4619² + 0² + 0²) = 1.4619

• 顶层周围球：√(0.9978² + 0² + 0.8865²) ≈ 1.3347

• 最大值：1.4619

5. 大球最小直径计算

D=2×(1.4619+0.5)=3.9238D=2×(1.4619+0.5)=3.9238​

结构验证表

注：所有相切约束均满足，与球体堆积理论一致（参见packomania.com）

最终结果

     此鼓形堆积通过三层曲面对称设计实现空间高效填充，是26球堆积的几何最优解之一。实际应用中，该结构在纳米材料自组装和催化剂载体设计中具有重要价值。

三、运用Deepseek进行数学计算的几点感想和体会

1. Deepseek具有极强的逻辑推理能力，求解数学问题无需提供任何公式或函数，只需将你的问题描述清楚，机器会自行数学建模，并给出计算结果。如果你预先为机器提供现成的数学公式，那不叫人工智能，而是上一个时期的计算机辅助设计。

2. 问题描述必须与Deepseek的理解完全一致，如果机器的理解与你的问题描述不一致，说明你的语言逻辑不够完美，继续修改你的问题描述，直至机器的理解与你的描述完全吻合。好在机器没有情绪和脾气，你尽可以进行无数次修改，不断地进行试错计算。

由于Deepseek功能中自带“多头潜在注意力机制（mla）”，你在重写“问题描述的修改稿”时，无需重复书写机器已经理解的全称内容，可以改用默认的简称。“潜在注意力机制”就像你与别人在一起讨论某一问题，对方会记住交谈过程中的核心内容和要素，后续谈话但凡涉及这些内容，如果简称或省去，对方同样能理解，那么，你在组织语言过程肯定不能重复，避免对话太过繁琐。

      3.判断Deepseek的计算答案是否正确，可从以下三方面进行衡量。一是，机器的深度思考列出的内容与你解决问题的初始设想是否统一，既然你能提出数学问题，自然有某些框架性的模糊猜想。这一评判标准的落脚点在Deepseek的深度思考中，机器的题意解读和解题逻辑，与你的猜想必须完全统一，如果这一环节无法统一，后面的计算结果不会有太高的价值。二是，机器在深度思考过程中，可能会参阅某些学术论文或相关网站的计算方案，你可以循着深度思考提供的线索路径进行复核评判。三是，机器最终列出的数据答案是肯定性的，还是讨论性的？如果机器计算结果与你的问题描述内容形成逻辑闭环，通常会给予肯定性的数据结论，这是机器智能自融洽形成的自我评价，否则，机器可能会提示：欢迎继续讨论、充实资料进一步验证、或给出一些不明确的用语，总之，结论用语越肯定，答案的可靠性越高。

四、几点意外收获

1.原先认为，小球堆积的最小大球直径计算只是一个简单的数学问题，可能是自己的解题智力不够而遇阻，经与Deepseek的多次交流之后，发现小球优化堆积在数学研究领域具有一定的热度，当小球数量多到一定程度后，理论计算难度很高，并且没有确定性的标准答案，深度思考内容中包含了大量不同的计算案例（提供路径）。

2.本次 26个小球堆积方案的机器智能计算，经过了多次试错修改，Deepseek输出的最终答案：大球最小直径等于3.92倍的小球直径。

机器的评价语：“此鼓形堆积通过三层曲面对称设计实现空间高效填充，是26球堆积的几何最优解之一。实际应用中，该结构在纳米材料自组装和催化剂载体设计中具有重要价值”。由数学计算结论，机器智能自行衍生出跨学科的命题，也是预料之外的事。

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