12.9 erlangen纲领

   1872年, 23 岁的德国人克莱因在erlangen大学准备了一篇讲稿，这篇讲稿提出一个划时代的观点：每一种几何对应一个变换群, 每一种几何研究的对象是各形体在‘相应变换群下不变’的性质。

   erlangen纲领最为人所知的是关于几何学的纲领，但是实际上远不止此，而是贯穿了几何、代数、复分析、群论和数学物理等多个方面。 erlangen纲领认为数学分成不同的领域、不同的逻辑方法论，只不过是表面的现象，因为数学的核心逻辑思维是统一的。不同学科的各种逻辑，只不过是不同群变化下的表现。比如，从数学上来讲狭义相对论是在lorentz变换群下的不变量理论，而广义相对论则是在一般点变换群下的不变量理论，在这个意义上相对论只是克莱因的《erlangen纲领》的一个应用事例而已。

   erlangen纲领的关键是主张各个分支的逻辑统一，而这种大一统的通用逻辑方法，正是未来通用人工智能模型的理论基础。

   下面我们来粗略探讨erlangen纲领的对于深度学习人工智能的指导思想。 [以下主要内容摘自《Erlangen纲领初阶:从群SL2(R)开始》]

   我们知道“深度学习”是高阶张量，是一种多重线性映射。所以这里借用一个最初阶的多重线性映射---双线性映射（默比乌斯映射）为例：

  进一步看，默比乌斯映射的SL2(R)群矩阵g可以分解成：

   其中的矩阵A表示膨胀变换，矩阵N表示左平移作用，矩阵K是旋转变换。

   现在，我们考虑某个研究对象（比如圆形）对于默比乌斯映射（膨胀变换、左平移作用、旋转变换的复合变换）的特征属性“不变性”：

   在初等几何中，我们谈论一个图形是否“不变”，指的是“全等”，也就是刚体力学的几何体（长度在欧氏变换群下不变）。这相当于左平移作用、旋转变换的复合变换的“不变性”。这是不变性的第一层含义。

   erlangen纲领思想中，“不变性”可以扩展到第二层含义，比如在上述平移作用、旋转变换加入伸缩变换, 这样就得到更大的 “相似变换群”。对于群论而言，“相似”是一个等价类，构成一个不变子群，标示了某‘类’不变的特征属性。比如上图不同半径的圆周, 在相似几何中就被视为同样的一类图形。这时刚体几何中的 “全等”概念，等同于相似变换群下的“相似”。这里的一类‘不变量’的逻辑概念，由A=B，扩展成了

    在深度学习人工智能中，识别图片猫，也可依此层次逻辑：

    比如，第一层的‘类特征属性’识别，图像可以平移、可以旋转，都视为不变的“全等”的同一只猫：

   第二层的‘类特征属性’识别，扩张增加了膨胀变换，所以“相似”的大小不一的图像，也会被为同一种类的猫：

     在实际环境中，深度学习识别猫，可能面临更普遍意义下的更多层次性概念问题。所谓的“猫”，并不是一个绝对意义的“全等”概念，而是具有千姿百态的亚属性。

     那么，怎样把狸花猫、波斯猫、缅甸猫、暹罗猫、长毛猫、短毛猫、公猫、野猫、白猫、黑猫......,都一视同仁的看作有共同特征属性的“猫类”呢？如何抽象出猫的整体的共有属性，而不区分猫的各个分支的亚属性呢？

    换句话说，如何来标示不同层次逻辑的特征属性呢？

    关键在于群！

    表征变换的群G不同，则得到的等价类抽象属性就不同。比如，射影几何、仿射几何是比欧式几何更大的抽象类。在仿射几何里所有的平行四边形都是相同的， 而射影几何的椭圆、抛物线、双曲线都看作是同一种类图形。

   为什么，射影几何中能够把椭圆、抛物线、双曲线看作是同一种类图形，究其根本是因为三者的射影变换群轨道都是圆锥体的表面，而群轨道表征了一个群结构的基本结构。

   更进一步，我们甚至还可以考虑更高阶的张量空间，对“圈”的特征概念在更大范围统一。比如，将具有专属结构的“圈”概念看作某个更高阶空间的“点”。而这个更高阶空间应该具备一个适当的结构，从而能够从外部容纳“圈”对象的内部结构性质信息。

  凡是具有等价关系（比如矩阵相似、群共轭：）的图形都属于同一类，同一类里的一切图形所具有的共同几何性质必是变换群G下的不变量（类的固有特征属性）。在更高阶空间中，变换群G意义是不同的。也就是说，不同‘类别’的固有特征属性的‘不变性’是相对的，对应于不同层次意义上的变换群G。并且，erlangen纲领指出，群变换层次越高（越是普遍性的），则这种变换下的共同类的不变性质就越稳定。

    不仅仅几何学的圈，还有泛函分析的函数，在不同群变换g下都具有层次抽象的普遍意义。用矩阵的代数不变量来标识圈的几何不变量，深刻揭示了逻辑的普适统一性，而不是各个分支各行其道的逻辑专有性。

  在正交变换群下保持几何性质不变的是欧式几何，在仿射变换群下保持不变的是仿射几何，在射影变换群下保持不变的是射影几何，在微分同胚群下保持不变的是微分几何。将“距离”概念抽象化而提炼出“单比”概念，进一步将“单比”抽象化而提炼出“交比”概念，于是，从欧式几何中舍弃“距离不变”而保留更普遍的“单比不变”，得到仿射几何；从仿射几何中舍弃“单比不变”而保留更普遍的“交比”，得到一般的射影几何。从欧式空间（长度，夹角）到内积空间（模，不严格的夹角）再到赋范空间（范，完全抛弃夹角）也是如此，不断的改良（抽象、提炼），一改再改，但最终改到不能再改时，就完成了一个革命——甚至连范数（最熟悉因而最不愿抛弃的度量或度规）也抛弃了，从不严格的距离发展到不确定的距离（邻域δ，就像前面提到的无穷小量一样不确定），得到了里程碑式的“拓扑空间”的概念。 经由欧式空间的连续函数抽象出度量空间的连续映射，一直到抽象出拓扑空间中的同胚映射，一层又一层的抽象是关键。

  因为抽象所以普适，因为抽象所以一般，因为抽象所以能抓住本质。

  不仅仅几何图形等价关系可以群变换，群变换在代数系统也具有普遍性。除了上面提到的几何图形等价关系，还有各种各样的代数等价关系。例如同余类、商群（以陪集为元素构成的集合）等概念。普遍意义下，对于两个群，不论它们的元素多么地不同，只要运算性质相同，彼此就是同构的，并且可以因此认为是相同的代数对象而不加区别。比如复指数函数，不论膨胀、收缩、转动、反演都可以统一起来；双曲型方程，不论弦振动、声音、流体、电磁波都可以统一起来。

  所谓的学科分支，erlangen纲领看来只是一种错觉。无论是几何、代数、泛函、复指数傅立叶分析，还是相对论、量子力学，不同领域、不同参照系，在高阶张量群结构中有深刻内在联系。

   因为不同层次的群变换，表征了不同层次类别的抽象特征。所以基于群结构的深度学习模型，不仅可以识别一只猫、可以从不同亚属的猫中抽象共同类的特征属性，甚至还可以演算出猫属于一种生物，可以理解猫和狗的类之间的不变内积关系。也就是说，未来群结构的深度学习，将会赋予人工智能普遍意义的“常识”观念。