前段时间一个热议的话题就是两位物理学家用计算机找到了平面三体问题的13个新解，并进行了分类。大家比较惊奇的就是过去三百年只找到了三个解，而如今一下就又找到了13个解。有了这么多解，就可以进行分类了。不过，和大多数人一样，我起初只是注意到“多了些解”，没有注意到“分类”。
       这周，我的大学同学告诉我这篇文章的作者之一Dmitrašinović教授在他们那里访问，于是我正好可以去讨论一下。
       我主要有两个问题，一是不太理解文章中所说的形状空间（shape space），二是不太明白如何能通过数值计算得到三体问题的解。今天讨论的结果如下。
       形状空间其实就是一种变量替换的产物，将三个位置矢量变换为一个矢量，对应于形状空间的球面上的一个点。假设三个位置矢量为${\bf x_1}$、${\bf x_2}$和${\bf x_3}$，定义$\rho\equiv \frac{1}{\sqrt{2}}({\bf x_1}-{\bf x_2})$和$\lambda\equiv \frac{1}{\sqrt{6}}({\bf x_1}+{\bf x_2}-{\bf x_3})$。令$R=\sqrt{\rho^2+\lambda^2}$，形状空间球面上对应点的坐标为$(\frac{2\rho\cdot\lambda}{R^2},\frac{2\rho\times\lambda}{R^2},\frac{\lambda^2-\rho^2}{R^2})$。这个球面上有三个特殊点，对应两体碰撞，这是实际的三体轨道在形状空间球面上不能到达的点。也就是说，形状空间球面是有三个洞的球面。将一个洞放在北极，然后将球面上的点投影到平面，可以发现有三个洞的球面和有两个洞的平面拓扑等价。于是可以用一个周期内绕两个洞转动的方向和次数对三体轨道进行分类。比如，绕第一个洞逆时针转动称为a，顺时针转动称为A，绕第二个洞逆时针转动和顺时针转动称为b和B。这样，每一类三体轨道就对应一个“单词”，这个单词由a、b、A、B组成。不过最令我惊奇的是同一个单词也可能对应不同的轨道类型。换句话说，就是拓扑不是唯一的分类标准。
       至于通过数值计算得到三体问题的解，关键看怎么算，但看一个位形是没有意义的。但是如果将相空间里的点都计算一遍，研究分布就非常有趣了。


参考文献
Šuvakov, M. & Dmitrašinović, V. Three Classes of Newtonian Three-Body Planar Periodic Orbits. Phys. Rev. Lett., 110, 4301