[笔记，科普，数学] 素数（207）：勾股定理的正整数解 （关联：费马大定理）

哥德巴赫猜想： Goldbach conjecture

费马大定理： Fermat’s last theorem,  Fermat’s great theorem

丢番图方程： Diophantine equation

傅里叶分析： Fourier analysis

非平凡零点： nontrivial zero

对数积分： logarithmic integral, Li(x)

默比乌斯函数： Möbius function, μ(n)

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

对数积分： logarithmic integral

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

   费马大定理、哥德巴赫猜想，独立变量的取值范围，都是正整数（可数无穷）。

一、费马大定理的原始描述

   1637年，法国数学家 Pierre de Fermat (1601-08-17 ~ 1665-01-12, 64) 在《Arithmetica by Diophantus of Alexandria》里写道：

   “It is impossible for a cube to be a sum of two cubes, a fourth power to be a sum of two fourth powers, or in general for any number that is a power greater than the second to be the sum of two like powers. I have discovered a truly remarkable proof [of this theorem], but this margin is too small to contain it.” 

   “不可能将一个三次方数分成两个三次方数，或者将一个四次方数分成两个四次方数，或者一般来说，将任何高于二次方的数分成两个同次方的数。我发现了一个真正奇妙的证明，但这个页边太窄写不下。”

二、勾股定理的正整数解

a² + b² = c²

(2mn, m²−n², m²+n²)

m,n ∈ Z>0 are (strictly) positive integers, 是（严格）正整数

m⊥n, that is, m and n are coprime, m和n是互质

m and n  are of opposite parity 奇偶性相反

m > n

a² = 2mn

b² = m²−n²

c² = m²+n²

表1  勾股定理的一些正整数解

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-10-05 21:49，[笔记，科普，数学] 素数（206）：哥德巴赫猜想分解成素数的配对数，经验观察

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1555291.html

[2] 2026-10-04 23:18，[打听，科普，数学] 素数（205）：哥德巴赫猜想分解成素数的配对数，有哪些相关的结果？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1555182.html

[3] 2026-10-03 22:06，[笔记，科普，数学] 素数（204）：哥德巴赫猜想分解成素数的一些实例，Goldbach conjecture

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[4] 2026-10-2 22:48，[打听，科普，数学] 素数（203）：哥德巴赫猜想比费马大定理更难吗？解与候选解数量的视角（1）

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[5] 2026-10-1 22:51，[打听，科普，数学] 素数（202）：黎曼假设的难度：候选解的数量超过哥德巴赫猜想 Goldbach conjecture

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[6] 2026-09-28 22:52，[笔记，科普，数学] 素数（199）：哥德巴赫猜想 Goldbach conjecture 的基本概念

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[7] 2026-07-27 00:42，[小结，科普，数学] 素数（137）：黎曼 1859 论文阅读笔记（16），感慨与疑问，以及德文、汉译、英译 （全网址）

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[8] 2026-08-26 23:11，素数关键词博文网址（2026-03-04 ~ 2026-07-31）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1549711.html

[9] 2026-08-28 22:16，[笔记，科普，数学] 素数（168）：黎曼假设中各个公式推导的条件及其变化（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1550016.html

[10] 2026-10-03 23:21，素数全部博文网址（2026-09）九月份（30篇）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1555082.html

[11] 2026-09-03 21:06，素数全部博文网址（2026-08）八月份（30篇）

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[12] 2025-09-18 16:55，[讨论，科普] 什么是数学证明？ （关联：演绎、归纳、完全归纳、合情推理）

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