科学网-[打听，科普，数学] 素数（65）：欧拉乘积 Euler product 的推导随想-杨正瓴的博文

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[打听，科普，数学] 素数（65）：欧拉乘积 Euler product 的推导随想

2026-5-15 23:16

阅读：195

为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。

—— 一位真正的大专家

用清晰的思想代替盲目的计算。

Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

[打听，科普，数学] 素数（65）：欧拉乘积 Euler product 的推导随想

欧拉乘积： Euler product

几何级数： geometric series

解析延拓： analytic continuation

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem

一、波利亚 George Pólya, György Pólya 谈欧拉

在 1954年的“《数学与猜想》（Mathematics and Plausible Reasoning, Volume 1: Induction and Analogy in Mathematics, Mathematics and Plausible Reasoning: Vol. II: Patterns of Plausible Inference, 1954年）”里，波利亚援引数学史上的实例，生动地向人们展现了这些数学大师们用观察、归纳、类比等方法发现数学真理的过程，他对欧拉成功地用类比方法求得所有自然数平方的倒数之和这一史实评述道：

“欧拉成功的决定性因素是大胆。从严格逻辑角度来回顾，他的做法是荒谬的。他把对某种情况来说尚未发明的法则应用到这种情况上了，即把关于一个代数方程的法则应用到一个非代数方程的情况中去。在严格的逻辑意义下欧拉的步骤是不允许采取的，但是他用了一门新兴科学中最好的成就来做类比，而类比告诉他可以这样做。”在严格逻辑意义下是荒谬的步骤导致了数学真理的发现，这体现了数学的两重性。

《数学与猜想》（Mathematics and Plausible Reasoning）有汉译版：Pólya G. (李心灿等译), 《数学与猜想》第一卷，第二卷，科学出版社(1984).

二、欧拉自己的“欧拉乘积”公式推导

‌欧拉乘积公式推导中的主要隐患是“无穷级数”与“无穷乘积”的使用。

网上的一些说法：

（1）Euler 乘积公式的证明十分简单，唯一要小心的就是对无穷级数和无穷乘积的处理，不能随意使用有限级数和有限乘积的性质。

（2）在18世纪数学分析尚未完善的时代，欧拉的推导依赖于形式化操作，未充分考虑收敛条件。

三、随感：数学定理是否成立，并不直接依赖与其证明

数学定理是否成立，是客观的。由人类漫长的历史来判定。

没有得到“严格”证明的公式（定理），也有可能是成立的。

“严格”证明的具体标准，随着历史的进步也在变化。

参考资料：

[1] 澎湃，2024-08-20 14:21，波利亚的数学思想：解题是人类的最富有特征的活动