为了科学地解决实际问题，我们必须经常“回过头来”重新研究基本理论，因为只有依靠深刻的理论分析，才能：（1）在表面的混乱中把握规律性；（2）区分本质与非本质现象；（3）预见事变的发展方向。
—— 一位真正的大专家
用清晰的思想代替盲目的计算。
Replacing blind calculations by clear ideas.
—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）
[笔记，科普，数学] 素数（63）：欧拉乘积 Euler product 推导中存在哪些可能的隐患？
欧拉乘积： Euler product
几何级数： geometric series
解析延拓： analytic continuation
素数： prime number
算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic
素数计数函数： prime counting function
素数定理： prime number theorem
对数积分： logarithmic integral
唯一分解定理： unique factorization theorem
黎曼假设： Riemann Hypothesis
希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem
一、欧拉乘积 Euler product 推导中存在哪些可能的隐患？
既然“黎曼假设 Riemann Hypothesis”是当今数学“第一难题”，“2000年前后, 在千禧问题的征集过程中, 黎曼假设是唯一一个被所有数学家提名的问题.[1]”那么，仔细考察其起源，或许是最终对黎曼假设做出可信判断的途径之一。
第一个问题：
欧拉乘积 Euler product 推导中存在哪些可能的隐患？
欧拉在实数域推导时，涉及到两个无穷：
“无穷级数”、“无穷乘积”。
对“无穷”性质的“定义/约定”，会出现怎样的不可估计的后果？
二、阿诺德谈公式推导
In exactly the same way a small change in axioms (of which we cannot be completely sure) is capable, generally speaking, of leading to completely different conclusions than those that are obtained from theorems which have been deduced from the accepted axioms. The longer and fancier is the chain of deductions ("proofs"), the less reliable is the final result.
Complex models are rarely useful (unless for those writing their dissertations).
与此完全一样的是，公理（那些我们不能完全确定的）的一个小小的改变虽是容许的，一般来说，由那些被接受的公理推出的定理却将导出完全不同的结论。推导的链（即所谓的“证明”）越长越复杂，最后得到的结论可靠性越低。[2]
参考资料：
[1] 葛力明，薛博卿. 黎曼ζ-函数的零点都有1/2+it的形式吗?[J]. 科学通报, 2018, 63(2): 141-147.
doi: 10.1360/N972017-00022
https://www.sciengine.com/CSB/doi/10.1360/N972017-00022
[2] Vladimir I Arnol'd ((Arnold). On teaching mathematics [J]. Russian Mathematical Surveys, 1998, 53(1): 229-234. Number 1, February 1998
doi: 10.1070/RM1998v053n01ABEH000005
https://iopscience.iop.org/article/10.1070/RM1998v053n01ABEH000005
以前的《科学网》相关博文链接：
[1] 2026-05-12 22:43，[笔记，科普，数学] 素数（62）：欧拉乘积 Euler product 在实数范围内
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[2] 2026-05-11 21:44，[笔记，科普，数学] 素数（61）：解析延拓 analytic continuation 与两个气象观测站共享数据
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[3] 2026-05-10 23:31，[笔记，科普，数学] 素数（60）：解析延拓 analytic continuation 与黎曼ζ函数
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[4] 2026-05-09 20:18，[笔记，科普，数学] 素数（59）：关于第 n 个素数 prime pn 的不等式 Inequalities （6）
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[5] 2026-05-08 20:48，[笔记，科普，数学] 素数（58）：关于第 n 个素数 prime pn 的不等式 Inequalities （5）
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[6] 2026-05-07 21:58，[笔记，科普，数学] 素数（57）：关于第 n 个素数 prime pn 的不等式 Inequalities （4）
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[7] 2026-05-06 21:01，[笔记，科普，数学] 素数（56）：素数计数函数 prime counting function 相关不等式（2）
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[8] 2026-05-05 21:13，[笔记，科普，数学] 素数（55）：关于第 n 个素数 prime pn 的不等式 Inequalities （3）
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[9] 2026-05-04 20:35，[笔记，科普，数学] 素数（54）：关于第 n 个素数 prime pn 的不等式 Inequalities （2）
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[10] 2026-05-03 21:01，[笔记，科普，数学] 素数（53）：关于第 n 个素数 prime pn 的不等式 Inequalities （1）
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[11] 2026-05-02 19:58，[笔记，科普，数学] 素数（52）：素数计数函数 prime counting function 及相关不等式（1）
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[12] 2026-05-01 16:35，[笔记，科普，数学] 素数（51）：渐近符号 asymptotic notation （全网址）
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[13] 2026-04-30 16:59，[打听，科普，数学] 素数（50）：黎曼ζ函数，可以乘以 1/3s 吗？傻实在想不明白
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[14] 2026-04-08 22:29，[笔记，科普，数学]素数（28）：素数计数函数 prime counting function <1027 （全网址）
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[16] 2026-03-05 21:30，[笔记，科普，数学] 素数（2）：素数定理 prime number theorem 之一
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[18] 2026-03-06 01:24，[资源，科普，数学] 素数表（质数表，小于 200000） list of primes, prime numbers
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[19] 2025-09-18 16:55，[讨论，科普] 什么是数学证明？ （关联：演绎、归纳、完全归纳、合情推理）
https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1502543.html
一、所有的数学证明都是演绎法
除了直接的“演绎推理”之外，完全归纳法被认为是演绎推理的逆向归纳法。
数学归纳法 Mathematical Induction，是一类特殊形式的完全归纳法。
2.2 演绎
由一般性命题（前提）推出特殊性命题（结论）的逻辑方法。与归纳法相对。又称演绎推理。
演绎推理的特点在于如果推理形式正确（有效）且前提都真，则结论必然真。
演绎推理的结论早已包含在前提之中了，实际上是已知的，推理过程只不过是把前提中隐含的信息明朗化，是对前提中已有内容的某种重复。因此，演绎推理推不出新知识。
[20] 2009-03-22 20:54，什么是“证明” The definition of Proof
https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-221874.html
[21] 2024-05-16，[请教，讨论] 同一律与柯尔莫哥洛夫 Kolmogorov 的数学观
https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1434414.html
[22] 2024-10-22 22:21，[打听，笔记] 推导符号公式的局限性：从数学、心理学到哲学
https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1456506.html
[23] 2025-09-11 21:31，[打听，科普，资料] 莫拉维克 Moravec 的“人类能力景观图”及其更多的同类资料 （关联：“自然运算”）
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[24] 2022-08-04 14:42，[科普小资料，复习] 人脑的左右脑功能；思维的分类；多元智力理论
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[25] 2026-04-29 00:30，[资料，科普，数学] 素数（49）：从来没有文字发表过的著名猜想，作者自己都不知道已“发表过”——希尔伯特-波利亚猜想
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[26] 2025-06-19 22:48，[资料，科普，汇集] 杨振宁（Chen Ning Yang）老师谈“渗透式”学习
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