[笔记，科普，数学] 素数（57）：关于第 n 个素数 prime p_n 的不等式 Inequalities （4）

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem

   记 p_n 为第 n 个素数。下面它的一些近似估计。

一、如果 n 足够大 for all sufficiently large values of n，

二、更细致些

2.1  n ≥ 20

2.2  n ≥ 2

  图1  忍不住贴图：复古煤油汽灯复古煤油马灯露营灯，

2022-09-05，月亮湾月亮亮

https://mbd.baidu.com/newspage/data/videolanding?nid=sv_5529544775563639981&sourceFrom=qmj

前几天的感想。更多图片在：

（1）2026-05-05 21:13，马灯[mǎ dēng]，手提式防风防雨煤油灯

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1533485.html  

素材来自： 71Zgc2Fvy5L._AC_SX679_.jpg ，感谢原作者和有关人员！

https://m.media-amazon.com/images/I/71Zgc2Fvy5L._AC_SX679_.jpg  

（2） 2026-02-20 18:38，[小资料，图片，怀旧] 煤油灯的火苗

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1522849.html

（3） 2025-01-21 22:49，[图片，小资料，怀旧] 气割在工作（工业，工厂） （附：煤油灯的火苗）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1469801.html

气割： gas cutting, oxygen cutting

气焊： gas welding

激光切割： laser beam cutting

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，黎曼ζ函数

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=283245

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-05-06 21:01，[笔记，科普，数学] 素数（56）：素数计数函数 prime counting function 相关不等式（2）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1533641.html

[2] 2026-05-05 21:13，[笔记，科普，数学] 素数（55）：关于第 n 个素数 prime p_n 的不等式 Inequalities （3）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1533485.html

[3] 2026-05-04 20:35，[笔记，科普，数学] 素数（54）：关于第 n 个素数 prime p_n 的不等式 Inequalities （2）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1533363.html

[4] 2026-05-03 21:01，[笔记，科普，数学] 素数（53）：关于第 n 个素数 prime p_n 的不等式 Inequalities （1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1533274.html

[5] 2026-05-02 19:58，[笔记，科普，数学] 素数（52）：素数计数函数 prime counting function 及相关不等式（1）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1533169.html  

[6] 2026-05-01 16:35，[笔记，科普，数学] 素数（51）：渐近符号 asymptotic notation （全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1533059.html  

[7] 2026-04-30 16:59，[打听，科普，数学] 素数（50）：黎曼ζ函数，可以乘以 1/3s 吗？傻实在想不明白

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1532933.html  

[8] 2026-04-08 22:29，[笔记，科普，数学]素数（28）：素数计数函数 prime counting function <10²⁷ （全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529524.html  

   26  1699246750872437141327603

   27  16352460426841680446427399

[9] 2026-04-16 22:08，[打听，科普，数学] 素数（36）：有穷项的计算，会得到精确的素数计数函数的数值吧？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530752.html  

[10] 2026-04-15 20:57，[随感，科普，数学] 素数（35）：不同素数计数函数方法的准确性（关联：端点效应 end effects，置信区间，等）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530553.html  

[11] 2026-04-09 21:23，[图片，科普，数学] 素数（29）：素数计数函数 prime counting function <1,000,000

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529693.html  

[12] 2026-04-07 22:28，[打听，科普，数学] 素数（27）：素数计数函数，除了切比雪夫 Чебышёв，还有哪些可信的定理？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529339.html  

[13] 2026-03-27 21:04，[笔记，科普，数学] 素数（19）：俄语资料的阅读摘录

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527694.html  

   有该天以前的几乎全部相关博文网址。

[14] 2026-03-05 21:30，[笔记，科普，数学] 素数（2）：素数定理 prime number theorem 之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524561.html  

[15] 2026-03-04 15:36，[笔记，科普，数学] 素数（1）：算术基本定理 fundamental theorem of arithmetic

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524368.html  

[16] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1460458.html  

[17] 2024-11-10 22:51，[数学文化，笔记] 素数有无穷多个之九类证明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1459433.html  

[18] 2026-03-06 01:24，[资源，科普，数学] 素数表（质数表，小于 200000） list of primes, prime numbers

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524570.html  

[19] 2025-09-18 16:55，[讨论，科普] 什么是数学证明？ （关联：演绎、归纳、完全归纳、合情推理）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1502543.html  

一、所有的数学证明都是演绎法

   除了直接的“演绎推理”之外，完全归纳法被认为是演绎推理的逆向归纳法。

   数学归纳法 Mathematical Induction，是一类特殊形式的完全归纳法。

2.2  演绎

   由一般性命题（前提）推出特殊性命题（结论）的逻辑方法。与归纳法相对。又称演绎推理。

   演绎推理的特点在于如果推理形式正确（有效）且前提都真，则结论必然真。

   演绎推理的结论早已包含在前提之中了，实际上是已知的，推理过程只不过是把前提中隐含的信息明朗化，是对前提中已有内容的某种重复。因此，演绎推理推不出新知识。

[20] 2009-03-22 20:54，什么是“证明” The definition of Proof

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-221874.html  

[21] 2024-05-16，[请教，讨论] 同一律与柯尔莫哥洛夫 Kolmogorov 的数学观

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1434414.html  

[22] 2024-10-22 22:21，[打听，笔记] 推导符号公式的局限性：从数学、心理学到哲学

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1456506.html  

[23] 2025-09-11 21:31，[打听，科普，资料] 莫拉维克 Moravec 的“人类能力景观图”及其更多的同类资料 （关联：“自然运算”）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1501526.html  

[24] 2022-08-04 14:42，[科普小资料，复习] 人脑的左右脑功能；思维的分类；多元智力理论

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1349942.html

[25] 2026-04-29 00:30，[资料，科普，数学] 素数（49）：从来没有文字发表过的著名猜想，作者自己都不知道已“发表过”——希尔伯特-波利亚猜想

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1532647.html  

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