[笔记，科普，数学] 素数（52）：素数计数函数 prime counting function 及相关不等式（1）

素数： prime number

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

素数计数函数： prime counting function

素数定理： prime number theorem

对数积分： logarithmic integral

唯一分解定理： unique factorization theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

希尔伯特的第 8问题： Hilbert's 8th Problem

一、定义：素数计数函数 prime-counting function π(x)

   这里，x 是作为上限的实数，

   p 素数，

   π(x) 小于或等于 x ，即（≤x）的素数计数。

   David Baugh, 2020-08-30 给出

   x = 10²⁸

   π(x) = 157,589,269,275,973,410,412,739,598

   Kim Walisch, 2022-03-04 给出

   x = 10²⁹

   π(x) = 1,520,698,109,714,272,166,094,258,063

二、素数计数函数相关的不等式 Inequalities

   Pierre Dusart 在 2010 证明

上面不等式要求 x ≥ 5393（左边） 以及 x ≥ 60184（右边）。

   2018-01，Dusart 证明

上面不等式要求 x ≥ 88789（左边） 以及 x ≥ 1（右边）。

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，黎曼ζ函数

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=283245  

以前的《科学网》相关博文链接：

[1] 2026-04-08 22:29，[笔记，科普，数学]素数（28）：素数计数函数 prime counting function <10²⁷ （全网址）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529524.html  

   261699246750872437141327603

   27 16352460426841680446427399

[2] 2026-04-16 22:08，[打听，科普，数学] 素数（36）：有穷项的计算，会得到精确的素数计数函数的数值吧？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530752.html  

[3] 2026-04-15 20:57，[随感，科普，数学] 素数（35）：不同素数计数函数方法的准确性（关联：端点效应 end effects，置信区间，等）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1530553.html  

[4] 2026-04-09 21:23，[图片，科普，数学] 素数（29）：素数计数函数 prime counting function <1,000,000

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529693.html  

[5] 2026-04-07 22:28，[打听，科普，数学] 素数（27）：素数计数函数，除了切比雪夫 Чебышёв，还有哪些可信的定理？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1529339.html  

[6] 2026-05-01 16:35，[笔记，科普，数学] 素数（51）：渐近符号 asymptotic notation （全网址）

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[7] 2026-03-27 21:04，[笔记，科普，数学] 素数（19）：俄语资料的阅读摘录

   https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1527694.html  

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[8] 2026-03-05 21:30，[笔记，科普，数学] 素数（2）：素数定理 prime number theorem 之一

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1524561.html

[9] 2026-03-04 15:36，[笔记，科普，数学] 素数（1）：算术基本定理 fundamental theorem of arithmetic

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[10] 2024-11-17 22:51，[数学文化，客观派，讨论] 欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1460458.html

[11] 2024-11-10 22:51，[数学文化，笔记] 素数有无穷多个之九类证明

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[12] 2026-03-06 01:24，[资源，科普，数学] 素数表（质数表，小于 200000） list of primes, prime numbers

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